數(shù) 學(xué) 試 卷
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．如圖，是的高，是的角平分線，若，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列長度的四根木棒中，能與、長的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，則∠BOC=( )
A．105°B．115°C．125°D．135°
4．下列說法正確的是（ ）
A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形B．兩個(gè)全等圖形形狀一定相同
C．兩個(gè)周長相等的圖形一定是全等圖形D．兩個(gè)正三角形一定是全等圖形
5．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，則∠CDE的度數(shù)為（ ）
A．68°B．70°C．71°D．74°
6．如圖，已知∠ABC=∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（ ）

A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
7．小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，分別以為一邊，向外作正方形和（正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角），連接和與的延長線交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③是的中線；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
9．如圖，中，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連，則線段的最小值是 ．
10．如圖，三角形紙片中，，將沿翻折，使點(diǎn)C落在外的點(diǎn)處．若，則的度數(shù)為 ．
11．一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)是 ．
12．如圖所示，平分，，于點(diǎn)E，，，那么的長度為 cm．
13．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為 ．
14．在中，為邊上的高，，，則是 度．
15．如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝4，△ABC的面積是 ．
16．如圖，在中，，以 為邊，作，滿足，點(diǎn)E為 上一點(diǎn)，連接AE，，連接 ．下列結(jié)論中正確的是 ．（填序號(hào)）
①；②；③若，則；④．
三、解答題
17．（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：___________，___________．

（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

18．如圖1，已知直線，點(diǎn)A為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C是直線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，過點(diǎn)C作交直線于點(diǎn)D，連接．
(1)若平分，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；
(2)作，交直線于點(diǎn)E，平分．（說明：解答過程用數(shù)字表示角）
①如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)都在點(diǎn)B的右側(cè)，求的度數(shù)．
②在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的情形，使成立？若存在，求出的度數(shù)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
19．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．
(1)求證：MP=NP；
(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．
20．如圖1，，直線與、相交于點(diǎn)、，平分，平分．

(1)求證：；
(2)如圖2，為、之間一點(diǎn)（），若，求的度數(shù)；
(3)若為直線下方一點(diǎn)，，為直線右側(cè)一點(diǎn)，滿足，則、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是______．
21．如圖，在中，，．過點(diǎn)作，垂足為，延長至點(diǎn)．使．在邊上截取，連接．求證：．

22．如圖，于于F，若，

(1)求證：平分；
(2)已知，求的長．
23．如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
24．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．
(1)求證：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度數(shù)；
(3)求證：CD＝2BF+DE．
25．我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，若，則＝ ，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在外部時(shí)，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請(qǐng)求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．
26．閱讀理解
半角模型：半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角兩邊相等，通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)造全等三角形，使條件弱化，這樣可把握問題的本質(zhì)．

【問題背景】
如圖1，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，，試探究圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步探索】
小亮同學(xué)認(rèn)為解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，則可得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________．
【探索延伸】
如圖2，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
【結(jié)論運(yùn)用】
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，則此時(shí)兩艦艇之間的距離為__________海里．

寧夏固原市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期八年級(jí)期中素養(yǎng)測評(píng)
（人教版）
數(shù)學(xué)試卷參考答案
1．A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線的定義求出，求出，再求出答案即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的邊上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和有關(guān)性質(zhì)．
2．C
【分析】判定三條線段能否構(gòu)成三角形，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
【詳解】解：設(shè)三角形的第三邊為x，則
9-4＜x＜4+9
即5＜x＜13，
∴當(dāng)x=7時(shí)，能與4cm、9cm長的兩根木棒釘成一個(gè)三角形，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．
3．B
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及角平分線的定義解答即可.
【詳解】∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=140°，∠D=90°
∴∠ABC+∠BCD=130°
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=65°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查的是四邊形的內(nèi)角和及角平分線，掌握四邊形的內(nèi)角和是360°及角平分線的定義是關(guān)鍵.
4．B
【分析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A：兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B：兩個(gè)全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；
C：兩個(gè)周長相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
D：兩個(gè)正三角形不一定是全等圖形，故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，熟練運(yùn)用“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形”是本題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BED=∠BAD即可解決問題．
【詳解】解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，
∴∠BAC=112°，
在△BMA和△BME中，
．
∴△BMA≌△BME（ASA），
∴BA=BE，
在△BDA和△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=112°，
∴∠CED=68°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
6．D
【詳解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)不合題意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)不合題意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)不合題意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)符合題意．
故選D．
7．B
【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；
A.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得 ，，即可判斷；
B.不一定等于，即可判斷；
C.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；
D. 過作，可得 ，由對(duì)稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；
掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A.，
，
由對(duì)稱得，
點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，與都是等腰三角形，
，，
，
，結(jié)論正確，故不符合題意；
B.不一定等于，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；
C.由對(duì)稱得，
∵點(diǎn) E ，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，
，結(jié)論正確，故不符合題意；
D.
過作，
，
，
，由對(duì)稱得，
，
同理可證，
，結(jié)論正確，故不符合題意；
故選：B．
8．D
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)作輔助線的延長線于P，過點(diǎn)G作于Q構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，分析題意，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得可求出，由“邊角邊”可得，可判斷①是否正確；設(shè)、相交于點(diǎn)N，由可得，即可判斷②的正確性；根據(jù)同角的余角相等求出，再證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可判斷④是否正確；證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可判斷③是否正確，從而完成解答．
【詳解】解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正確；
設(shè)相交于點(diǎn)N，
，
，
，
，
，故②正確；
過點(diǎn)G作于Q，過點(diǎn)E作的延長線于P，如圖所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正確；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中線，故③正確．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確，共4個(gè)．
故選：D．
9．
【分析】根據(jù)垂線段最短，得到當(dāng)時(shí)，的值最小，利用等積法進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】∵點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
在中，
∵，
∴，即：，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．
10．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：，，
，
由折疊的性質(zhì)可知，，
，
，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
11．6或7
【分析】求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．
【詳解】解：由多邊形內(nèi)角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多邊形為6邊形，
∵過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角，
∴原來的多邊形可以是6邊形，也可以是7邊形，
故答案為6或7．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和；熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】通過輔助線構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化，最后代入長度計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖
作，交的延長線于點(diǎn)
，平分
，
，
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，主要相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：全等三角形的判定、同角的補(bǔ)角相等、全等三角形的性質(zhì)等，輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
13．4+4．
【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長＝BD+DC，代入求出即可．
【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：
由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三點(diǎn)共線，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，
∴△DMN的周長為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，
故答案為4+4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形全等的性質(zhì)和解直角三角形，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是做輔助線.
14．40或80/80或40
【分析】根據(jù)題意，由于類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：
①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：
在中，為邊上的高，，
，
，
；
②高在三角形邊上，如圖所示：
可知，
，
故此種情況不存在，舍棄；
③高在三角形外部，如圖所示：
在中，為邊上的高，，
，
，
；
綜上所述：或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．
15．42
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等（即OE＝OD＝OF），從而可得到的面積等于周長的一半乘以2，代入求出即可．
【詳解】如下圖，連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝4，
∵的周長是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，
∴
＝42，
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及三角形面積的求法，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
16．②③④
【分析】因?yàn)?，且，所以需要?gòu)造2倍的，故延長至，使，從而得到，進(jìn)一步證明，且，接著證明，則，，所以②是正確的，也可以通過線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④是正確的，設(shè)，則，因?yàn)椋?，接著用表示出，再?jì)算出，故③是正確的，當(dāng)時(shí)，可以推導(dǎo)出，否則不垂直于，故①是錯(cuò)誤的．
【詳解】解：如圖，延長至，使，設(shè)與交于點(diǎn)，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在與中，
，
（SAS），
，，故②是正確的；
，
，
平分，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則無法說明，故①是不正確的；
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，故③是正確的；
，
，
，
，
，
，
故④是正確的．
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，角度的計(jì)算，構(gòu)造兩倍的，是本題解題的關(guān)鍵．
17．（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；（2）見解析
【分析】（1）應(yīng)從對(duì)稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；
（2）應(yīng)畫出既是軸對(duì)稱圖形，且面積為4的圖形．
【詳解】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；
故答案為：觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；
（2）如圖：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱圖形設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握利用軸對(duì)稱的作圖方法來作圖，通過變換對(duì)稱軸來得到不同的圖案．
18．(1)
(2)①；②存在，的度數(shù)為或
【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，再根據(jù)角平分線的定義求得結(jié)果；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊性質(zhì)，角平分線的定義求解即可；②分情況討論即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①∵平分，
∴，
∵，
∴；
②存在．
當(dāng)E在B右側(cè)時(shí)，如圖，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
當(dāng)E在B左側(cè)時(shí)，如圖，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
存在，的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的定義，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用角平分線定義與平行線的性質(zhì)解題．
19．(1)見詳解；
(2)0.5a．
【分析】（1）過點(diǎn)M作MQCN，證明即可；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
【詳解】（1）如下圖所示，過點(diǎn)M作MQCN，
∵為等邊三角形，MQCN，
∴，
則AM=AQ，且∠A=60°，
∴為等邊三角形，則MQ=AM=CN，
又∵M(jìn)QCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，

∴，
則MP=NP；
（2）∵為等邊三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
則PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．(1)證明見解析；
(2)；
(3)；
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，角平分線的定義即可解答；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可知，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和即可解答；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可知，根據(jù)三角形的內(nèi)角和及四邊形的內(nèi)角和即可解答．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四邊形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
21．見解析
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】證明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
22．(1)見詳解
(2)12
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可求出答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由得，即，從而即可證得；
（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．
【詳解】（1）證明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．(1)見解析；
(2)；
(3)見解析
【分析】（1）先根據(jù)等角的余角相等證得，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得即可求解；
（3）延長BF到G，使得，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)證明，得到即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）證明：延長BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求解線段問題是解答的關(guān)鍵．
25．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)平角定義求出，，然后利用折疊性質(zhì)可得，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
由折疊得：
.
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
由折疊得：
∴，
∴的度數(shù)為；
（3）解：如圖：

∵，
∴，
由折疊得：
，
∴

，
∴與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：．
【點(diǎn)睛】本題考擦汗折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．
26．【問題背景】，理由見詳解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由見詳解；【結(jié)論運(yùn)用】
【問題背景】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，與重合，可證點(diǎn)共線，可證，，由此即可求證；【初步探索】根據(jù)作圖可證，再證即可；【探索延伸】證明方法與“初步探索”的證明方法相同；【結(jié)論運(yùn)用】如圖所示，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，，由此即可求解．
【詳解】解：【問題背景】，理由如下，
如圖所示，

∵，，
∴將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，與重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴點(diǎn)共線，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探索】根據(jù)題意，，延長至點(diǎn)，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，

∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
【結(jié)論運(yùn)用】如圖所示，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

根據(jù)題意可得，，，，，
∴在中，，，則，
∴，
∵，
∴，
∵艦艇甲向正東方向以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，形式小時(shí)，
∴（海里），（海里），
如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，則，

在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
，
∴，
∴，
∴（海里），
∴此時(shí)兩艦艇之間的距離為海里，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，方位角的運(yùn)用，理解圖示，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的的關(guān)鍵．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
B
B
D
D
B
D


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