專題03 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（原卷版+解析版）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講學(xué)案（人教A版2019必修第一冊(cè)）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【清單01】作差法比較大小
作差法的依據(jù)：①；②；③
步驟：
(1)作差；
(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）
(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類討論）
(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）
【清單02】不等式的性質(zhì)
【清單03】重要不等式
一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
【清單04】基本不等式鏈
（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
【考點(diǎn)題型一】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小
【解題方法】作差法，作商法
【例1-1】（23-24高一·上海·課堂例題）設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小
【分析】利用作差法得到，進(jìn)而即可比較.
【詳解】由，
又a、b為實(shí)數(shù)，，，則，
所以.
【變式1-1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）設(shè)x是實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小
【分析】通過差比較法證得兩者的大小關(guān)系.
【詳解】，，
因?yàn)?，所以?br>即.
【例1-2】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】作商法比較代數(shù)式的大小
【分析】由均大于0，可用作商法，再化簡(jiǎn)后與1作大小比較，即可得出答案.
【詳解】∵，即.
又，
.
故答案為：>.
【變式1-2】（23-24高一下·黑龍江鶴崗）設(shè)，比較與的大小
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】作商法比較代數(shù)式的大小、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小
【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.
【詳解】，
，
，
.
【考點(diǎn)題型二】基本不等式（和為定值求積的最值）
【解題方法】基本不等式
【例2-1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則有（）
A．最小值0B．最大值2
C．最大值D．不能確定
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值
【分析】根據(jù)基本不等式求乘積的最大值，再檢驗(yàn)最小值的情況即可得解.
【詳解】由基本不等式，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故有最大值，故C正確，BD錯(cuò)誤；
令，解得或，
又，所以取不到函數(shù)值0，故A錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式2-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的最大值．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、基本不等式求積的最大值
【分析】利用基本不等式可求函數(shù)的最大值或?qū)⒃瘮?shù)變形為二次函數(shù)求最值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出最大值.
【詳解】法1：因?yàn)?，故?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為4.
法2：根據(jù)題意知，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象開口向下，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.
【例2-2】（24-25高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根據(jù)已知結(jié)合應(yīng)用基本不等式得出乘積的最大值.
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故ab的最大值為．
故答案為：．
【變式2-2】（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知，且滿足，則的最大值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值
【分析】利用基本不等式求積的最大值即可
【詳解】因，由基本不等式得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：
【考點(diǎn)題型三】基本不等式（積為定值求和的最值）
【解題方法】基本不等式
【例3-1】（23-24高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知，的最小值為 .
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值
【分析】由均值不等式求解即可.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：1
【變式3-1】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值即得.
【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為4.
故選：C
【例3-2】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值
【分析】變形給定的等式，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】由，得，由，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為3.
故選：A
【變式3-2】（23-24高一下·河北·期末）已知，且，則的最小值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等號(hào)成立的條件.
【詳解】因?yàn)榍遥裕?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以最小值為.
故答案為：．
【考點(diǎn)題型四】基本不等式（湊項(xiàng)（系數(shù)））
【解題方法】拼湊項(xiàng)，化整體，利用基本不等式
【例4-1】（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知，則的最小值為，此時(shí)等于 .
【答案】 21 11
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：；
【變式4-1】（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知，則的最大值為（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解，注意基本不等式的成立的條件.
【詳解】因?yàn)?，則，
可得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為4.
故選：A.
【例4-2】（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根據(jù)題意，得出，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由題意得，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．
故答案為：.
【變式4-2】（24-25高三上·河北邯鄲·開學(xué)考試）已知，則的最小值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值
【分析】根據(jù)用1的活用，結(jié)合常值代換應(yīng)用基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
【考點(diǎn)題型五】基本不等式（常數(shù)代換法）
【解題方法】將已知條件中的等式與目標(biāo)式相乘
【例5-1】（23-24高一上·河北保定）已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（）
A．B．C．3D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根據(jù)條件對(duì)變形，利用均值不等式求解即得.
【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故選：D.
【變式5-1】（23-24高一上·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由題可得，化簡(jiǎn)利用基本不等式即可得出結(jié)論．
【詳解】正數(shù)，滿足，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．
故答案為：．
【例5-2】（23-24高一下·陜西西安·開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由題設(shè)條件得，，利用基本不等式求出最值．
【詳解】由已知，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又，所以時(shí)取最小值．
故答案為：
【變式5-2】（24-25高一上·廣東梅州·開學(xué)考試）已知，且，則的最小值是．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【詳解】因?yàn)閤>0，，且，可得，
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)；
所以的最小值為；
故答案為：
【考點(diǎn)題型六】基本不等式（消元法）
【解題方法】帶入消元
【例6-1】（23-24高二下·天津紅橋·期末）已知，且，則的最小值為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值
【分析】由得，得到，進(jìn)而，所以，由均值不等式求得最小值.
【詳解】因?yàn)榍遥?，所以，所以?br>所以，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，
故選：A.
【變式6-1】（23-24高二下·天津河?xùn)|·期末）已知正數(shù)x，實(shí)數(shù)y滿足，則的最小值為 .
【答案】/0.75
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值
【分析】由已知條件可得，代入并利用基本不等式求解即得.
【詳解】由正數(shù)x，實(shí)數(shù)y滿足，得，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：
【例6-2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，且，則的最小值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值
【分析】由已知可得，代入變形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以
，
因?yàn)?，所?
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
【變式6-2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值
【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由為正實(shí)數(shù)，且，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值9.
故選：C.
【考點(diǎn)題型七】基本不等式（二次與二次（或一次）商式）
【解題方法】分離常數(shù)法
【例7-1】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求x2?2x+22x?2的最大值．
【答案】（1）18；（2）-1.
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、二次與二次（或一次）的商式的最值
【解析】（1）可將已知條件作適當(dāng)變形，利用“1”的活用，將變形，用基本不等式求最小值
（2）將式子變形成，再利用基本不等式求解即可.
【詳解】（1）由，得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
故當(dāng)，取最小值18.
（2）若，則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
.
即若，x2?2x+22x?2的最大值為．
【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
【變式7-1】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；
（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.
【答案】（1）函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）函數(shù)的最小值為5，此時(shí).
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值
【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，將代入整理得，利用基本不等式求解即可；
【詳解】（1）∵，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.
故函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；
（2）令，
將代入得：
，
∵，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即，
即時(shí)，等號(hào)成立.
故函數(shù)的最小值為5，此時(shí).
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值的問題.屬于中檔題.
【例7-2】（23-24高一上·天津和平·階段練習(xí)）設(shè).
（1）若對(duì)于一切實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若且，求的最大值及對(duì)應(yīng)的的值.
【答案】（1）；（2）最大值為，對(duì)應(yīng)的的值為.
【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題
【解析】（1）先討論當(dāng)?shù)那闆r，當(dāng)時(shí)，結(jié)合開口方向及根的判別式，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）將代入先化簡(jiǎn)，借助基本不等式即可求出最大值及對(duì)應(yīng)的的值.
【詳解】解：（1）由已知，對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立
當(dāng)時(shí)，只需，解得.
故的取值范圍是；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的最大值為，對(duì)應(yīng)的的值為.
【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，考查基本不等式在求解最值問題中的應(yīng)用，難度一般.
【變式7-2】（23-24高一下·四川成都）已知.
（1）解不等式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】（1）由得出，將不等式變形為，解此不等式，結(jié)合可得出原不等式的解集；
（2）將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）由可得，由可得，即，
解得或，
由于，因此，不等式的解集為；
（2）由可得，，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，函數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解，同時(shí)也考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
【例7-3】（23-24高三上·江蘇常州）求函數(shù)的最小值.
【答案】最小值為2.
【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值
【解析】先求出函數(shù)的定義域，再將函數(shù)化簡(jiǎn)到，然后利用基本不等式即可求出最小值.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到“”.
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.
【變式7-3】（23-24高一上·上海寶山·階段練習(xí)）已知，則的最大值為 ;
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值
【分析】當(dāng)時(shí)，，，然后利用基本不等式求最大值即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：.
【考點(diǎn)題型八】在實(shí)際問題中判斷使用基本不等式求最值
【解題方法】基本不等式
【例8-1】（24-25高二上·湖南郴州·開學(xué)考試）由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說法正確的是（）
A．采用第一種方案劃算B．采用第二種方案劃算
C．兩種方案一樣D．采用哪種方案無法確定
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用
【分析】設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，表達(dá)出兩種方案購(gòu)買的均價(jià)，結(jié)合基本不等式比較出大小，得到答案.
【詳解】不妨設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，
第一種方案，均價(jià)為，
第二種方案，均價(jià)為，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以采用第二種方案劃算.
故選：B
【變式8-1】（23-24高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤(rùn)最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間t為年．
【答案】7
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用
【分析】求出年平均利潤(rùn)函數(shù)，利用均值不等式求解即可.
【詳解】依題意，年平均利潤(rùn)為,
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
所以當(dāng)每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間時(shí)，年平均利潤(rùn)最大.
故答案為：7.
【例8-2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;
方案二：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．
（其中）
(1)試問哪種購(gòu)買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說明理由；
(2)若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購(gòu)買方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．
【答案】(1)采用方案二；理由見解析
(2)24
【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、基本（均值）不等式的應(yīng)用
【分析】（1）列出兩種方案的總費(fèi)用的表達(dá)式，作差比較，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，利用換元法和基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：方案一的總費(fèi)用為（元）；
方案二的總費(fèi)用為（元），
由，
因?yàn)?，可得，所以?br>即，所以，所以采用方案二，花費(fèi)更少.
（2）解：由（1）可知，
令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)椋傻茫?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以差的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以兩種方案花費(fèi)的差值最小為24元.
【變式8-2】（23-24高二上·湖南永州·階段練習(xí)）某種汽車，購(gòu)車費(fèi)用是12萬元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.88萬元，年維修費(fèi)用第一年是0.24萬元，以后每年遞增0.24萬元，問這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少？（提示：年平均費(fèi)用=）
【答案】10年
【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用
【分析】設(shè)出未知數(shù)，得到關(guān)系式，利用基本不等式進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)使用年時(shí)，汽車的年平均費(fèi)用（萬元）最少，依題意有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最少值3.4，
故汽車使用10年時(shí)平均費(fèi)用最省.
【考點(diǎn)題型八】不等式中的新定義題
【例9-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）設(shè)是不小于1的實(shí)數(shù).若對(duì)任意，總存在，使得，則稱這樣的滿足“性質(zhì)1”
(1)分別判斷和時(shí)是否滿足“性質(zhì)1”;
(2)先證明:若，且，則; 并由此證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得.
(3)求出所有滿足“性質(zhì)1”的實(shí)數(shù)t
【答案】(1)不滿足性質(zhì)1，不滿足性質(zhì)1.
(2)證明見詳解
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)證明不等式
【分析】（1）分別舉反例證明和時(shí)性質(zhì)1不成立；
（2）先分別就，討論證明若，且，則，再利用這個(gè)結(jié)論可得證；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可得解.
【詳解】（1）記，，
假如，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，均有，不滿足要求；
假如，則當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，均有，，
若，同正或同負(fù)，則，其余情況下總有，不滿足要求.
（2）先來證明：若，且，則，同時(shí)該結(jié)論記為引理.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，又，所以.
所以若，且，則.
下面證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得，
若，則取，此時(shí)，
其中，，且，
由引理可得，
若，則取，此時(shí)，
其中，，且，故由引理可得，
綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得.
（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可取，使得，理由如下：
當(dāng)時(shí)，取，則；
當(dāng)時(shí)，取，則，則，故，
同理，可取，使得，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得.
結(jié)合（2）的結(jié)論可得，對(duì)任意，總存在，使得.
綜上，所有滿足性質(zhì)1的實(shí)數(shù).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此題考查等式和不等式的新定義問題，屬于難題.
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，分別舉反例證明和時(shí)性質(zhì)1不成立；
（3）分別就，分類討論證明若，且，則，再利用這個(gè)結(jié)論證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得；再證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得，注意完備性.
【例9-2】（23-24高一上·四川宜賓·階段練習(xí)）若存在常數(shù)，使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)都有，，則稱是與的分隔直線函數(shù)．當(dāng)時(shí)，被稱為雙飛燕函數(shù)，被稱為海鷗函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，?。蟮慕饧?；
(2)判斷：當(dāng)時(shí)，與是否存在著分隔直線函數(shù)．若存在，請(qǐng)求出分隔直線函數(shù)解析式；若沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)存在分隔直線函數(shù)，解析式為，理由見解析
【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、函數(shù)新定義、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)n分類討論解不等式；
（2）對(duì)m，n分類討論找出介于兩個(gè)函數(shù)值之間的函數(shù)解析式.
【詳解】（1），時(shí)，，
可化為，即，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或；
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或x>1.
（2）若，，當(dāng)時(shí)，恒成立，
恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；
若，，當(dāng)時(shí)，恒成立，
恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；
綜上所述，與的分隔直線函數(shù)解析式為.
提升訓(xùn)練
一、單選題
1．（22-23高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，均成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的恒成立問題
【分析】由恒成立，利用基本不等式，分別討論當(dāng)，，時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】若；
若，，
因?yàn)?，所以?br>若，，
因?yàn)?，所以?br>所以，即.
故選：B．
2．（24-25高三上·山東·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)一元二次不等式解集與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系可得，再由基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)論.
【詳解】由不等式的解集為，
可知1和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
由韋達(dá)定理可得，即可得，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；
即可得.
故選：D
3．（24-25高三上·江蘇徐州·開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（）
A．12B．C．16D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)乘1法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則，且，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
4．（23-24高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，對(duì)均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)都恒成立，結(jié)合二次函數(shù)以及一次的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，對(duì)均有成立，
在上單調(diào)遞增，，
依題意有對(duì)均有成立，
即在時(shí)恒成立，∴，解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
5．（23-24高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（）
A．45B．42C．40D．38
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【詳解】由題意得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
故選：A
6．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題
【分析】分和兩種情況討論，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到的取值范圍.
【詳解】時(shí)，原不等式化為，解得，不對(duì)所有的恒成立，不符合題意；
時(shí)，原不等式為一元二次不等式，要對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，
則二次函數(shù)的圖象開口向下且與軸無交點(diǎn)，
從而，解得，
所以，的取值范圍為，
故選：B.
7．（25-26高一上·上?！ふn后作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的應(yīng)用、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】由，得，則化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.
【詳解】由，，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
8．（23-24高一下·天津薊州·階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題
【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論
【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，恒成立；
當(dāng)時(shí)，，解之得，
綜上可得
故選：D
二、多選題
9．（24-25高二上·河南駐馬店·開學(xué)考試）若正數(shù)a,b滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可得出A正確，將等式整理變形可得，即B正確，由不等式性質(zhì)計(jì)算可得C正確，利用基本不等式可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】由題可知：
對(duì)于A，易知，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；
對(duì)于B，由可得，可得，
同理可得，所以，
所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即B正確；
對(duì)于C，由可得，
又，
所以，即，，可得，
即可得，即C正確；
對(duì)于D，由可得，即；
因此，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即D錯(cuò)誤；
故選：ABC
10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正數(shù)x，y滿足，則下列說法一定正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】CD
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】由，得，
對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確．
故選：CD
三、填空題
11．（24-25高三上·福建莆田·開學(xué)考試）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用
【分析】利用基本不等式可求得，通過配湊即可得出結(jié)果.
【詳解】由可得，
可得；
而，
所以，解得；
當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，上式右邊等號(hào)成立；
此時(shí)的最大值為.
故答案為：.
12．（23-24高二上·湖南常德·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值
【分析】由得，由基本不等式求解得，然后，求解最小值即可.
【詳解】，所以，
即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
，
故答案為：
四、解答題
13．（24-25高一上·江蘇·開學(xué)考試）（1）求函數(shù)的最大值；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）9；（3）9
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）（2）對(duì)函數(shù)解析式變形，利用基本不等式求解最值；
（3）先常數(shù)代換變形，再利用基本不等式求解最值；
【詳解】（1）由，得，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最大值為.
（2）由，得，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最小值為9.
（3）因?yàn)?，且?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，所以的最小值為.
14．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）《見微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入：（4）整體求和等．
例如，，求證：．證明：原式．
波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng)”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征．
閱讀材料二：基本不等式（，），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為2．請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：
(1)已知，求的值．
(2)若，解關(guān)于的方程．
(3)若正數(shù)，滿足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、等式的性質(zhì)與方程的解
【分析】（1）由題意把代入式中化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解；
（2）將代入方程后化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解；
（3）由已知條件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值．
【詳解】（1）由題意得；
（2）由，
故原方程可化為：，
即：，
，即，解得：；
（3）由，則有
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
有最小值，此時(shí)有最大值，
從而有最小值，即有最小值．
性質(zhì)
性質(zhì)內(nèi)容
特別提醒
對(duì)稱性
（等價(jià)于）
傳遞性
（推出）
可加性
（等價(jià)于
可乘性
注意的符號(hào)（涉及分類討論的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同為正數(shù)

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