注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合、邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)、平面向量。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．曲線的一條對(duì)稱軸的方程可以為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量不平行，向量與平行，則（ ）
A．B．C．D．
4．若，則（ ）
A．B．
C．D．
5．若甲、乙、丙、丁四人同上一輛有12節(jié)車廂的動(dòng)車，則這4人恰有3人上同一節(jié)車廂的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)對(duì)任意，都有的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．某日，分針長為的時(shí)鐘從走到，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為，分針的針尖走過的弧長為，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知一組數(shù)據(jù)為，其中，則（ ）
A．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能為3
B．當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的方差為1.25
D．當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，的最小值為
11．已知，則
A．B．C．D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．
13．一質(zhì)點(diǎn)沿著正西方向從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)處測得點(diǎn)在其北偏西方向，且，則______．
14．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的最小正周期為______，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）求在上的單調(diào)區(qū)間與最值．
16．（15分）
在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．
（1）求；
（2）若，求的周長．
17．（15分）
貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽面有暈．貴妃杏口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一．已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個(gè)計(jì)算）的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，且．從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量（單位：克）為，這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克．
（1）求．
（2）求．
（3）甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏．記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
18．（17分）
已知函數(shù)．
（1）若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值；
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，求的最小值；
（3）若函數(shù)在上的最大值為整數(shù)，求的值．
19．（17分）
當(dāng)一個(gè)函數(shù)值域內(nèi)任意一個(gè)函數(shù)值都有且只有一個(gè)自變量與之對(duì)應(yīng)時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．例如，由，得，通常用表示自變量，則寫成，我們稱與互為反函數(shù)．已知函數(shù)與互為反函數(shù)，若兩點(diǎn)在曲線上，兩點(diǎn)在曲線上，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個(gè)矩形為與的“關(guān)聯(lián)矩形”．
（1）若函數(shù)，且點(diǎn)在曲線上．
（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（ii）求以點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積．
（2）若函數(shù)，且與的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S．證明：．（參考數(shù)據(jù)：）
2024—2025學(xué)年高三（上）質(zhì)檢聯(lián)盟第一次月考
數(shù)學(xué)參考答案
1．C 因?yàn)?，所以?br>2．B 令，得，所以曲線的一條對(duì)稱軸的方程可以為．
3．A 因?yàn)橄蛄颗c平行，所以．因?yàn)橄蛄?br>不平行，所以解得．
4．D 因?yàn)椋?br>所以，所以．
5．A 依題意可得這4人恰有3人上同一節(jié)車廂的概率為．
6．D ，依題意可得，當(dāng)時(shí)，，則，所以．
7．B （方法一）因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，所以
（方法二）取滿足題意，得
．
8．A 令，則，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)．
因?yàn)椋?br>所以等價(jià)于，
則，所以，
即，所以．
9．AC 因?yàn)榉轴樖前凑枕槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)的，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為負(fù)數(shù)，所以
10．BCD 當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A錯(cuò)誤．當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，這與這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1矛盾，所以，B正確．
當(dāng)時(shí)，，C正確．
當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確．
11．ACD ．令，則在上單調(diào)遞減，所以，即．因?yàn)?，所以．令，則在上單調(diào)遞減，所以，即．
12．2 因?yàn)?，所以．又，故?br>13． 由題可知，在中，由余弦定理可得
14． 令，得，則．令，得，則．令，得，則．因?yàn)椋?，解得．所以的最小正周期為．?dāng)時(shí)，，令，得，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為350．
15．解：（1），
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．
（2）令，得或．
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為．
當(dāng)或時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．
因?yàn)椋?br>所以在上的最大值為5，最小值為-27．
16．解：（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)闉殇J角，所以．
（2）．
在銳角中，，即，
解得或．
當(dāng)時(shí)，為鈍角，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．
故的周長為．
17．解：（1）．
（2）因?yàn)椋裕?br>所以．
（3）設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為，則．
依題意可得的可能取值為，
，
，
，
，
則的分布列為
所以．
18．解：（1）因?yàn)榈慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，
又，所以，
所以．
（2）
，則．
將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，
依題意可得，
則，因?yàn)椋裕?br>（3）若，則，
則．
設(shè)，則．
因?yàn)椋詾闇p函數(shù)，
所以，
又的最大值為整數(shù)，所以，即．
19．（1）解：（i）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以．
由，得，則，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（ii）由，得．
根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，可得，
則．
若，則直線的方程為，與曲線相切，不符合題意．
若，則直線的方程為，聯(lián)立方程組解得或
（舍去），
則，
則該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積．
（2）證明：由，得．
顯然，根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，且．設(shè)，其中，且．
因?yàn)椤瓣P(guān)聯(lián)矩形”是正方形，所以，
．由，得．
由，可得．
令，則，則在上單調(diào)遞增．由，可得．
令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則
從而．
0
1
2
3
4
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04

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