一、單選題
1．“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
2．若點在圓的外部，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為( )
A． B． C． D．
4．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.如圖3中每個正方體的棱長為1，則點到平面的距離為（ ）

A．B．C．1D．
5．已知點，，點是圓上任意一點，則△PAB面積的最小值為
A．6B．C．D．
6．已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點，F(xiàn)在AC上，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．若圓上有且只有兩個點到直線的距離等于則半徑r的取值范圍是
A．B．C．D．
8．已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知橢圓，則下列說法中正確的是（ ）
A．橢圓的焦點在軸上B．橢圓的長軸長是
C．橢圓的焦距為D．橢圓的離心率為
10．（多選）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點的距離的比為常數(shù)的點的軌跡為圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知，，圓上有且只有一個點滿足，則的取值可以是（ ）
A．1B．4C．3D．5
11．如圖，一個漏斗形狀的幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個邊長為1的正方形，則（ ）
A．該幾何體的體積為
B．直線與平面所成角的正切值為
C．異面直線與的夾角余弦值為
D．存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上
三、填空題
12．過點，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為 ．
13．已知是橢圓的左焦點，直線交橢圓于兩點.若，則橢圓的離心率為 .
14．如圖所示，正方體的棱長為2，E、F分別是棱BC、的中點，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，若平面AEF，則線段長度的最小值是 ．
四、解答題
15．如圖，已知圓，點，為圓上的動點，線段的垂直平分線與線段相交于點.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)設(shè)（1）中曲線為，直線與曲線交于兩點，求線段的中點坐標和弦長.
16．已知圓：關(guān)于直線的對稱圓的圓心為，若直線過點.
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓交于兩點，，求直線的方程.
17．如圖，已知平面，，，點為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求直線與平面所成角的大小．
18．如圖，在四棱錐中，，，平面平面為中點．
(1)求證：平面；
(2)點在棱上，與平面所成角的正弦值為，
求平面與平面夾角的余弦值．
19．數(shù)學家歐拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若的頂點A(2,0)，B(0,4)，且的歐拉線的方程為，記外接圓圓心記為M. 求：
(1)圓M的方程；
(2)已知圓N：，過圓M和圓N外一點P分別作兩圓的切線，與圓M切于點A，與圓N切于點B，且，求P點的軌跡方程.
數(shù)學答案
1-8．AAAA DCBB 9．ABD 10．AD 11．ABD
12．或 13． 14．
15.（1）連接，由題意得圓的圓心為，半徑為，且，
所以，
根據(jù)橢圓的定義，點的軌跡為橢圓，其方程為.
（2）解：設(shè)
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，
所以的中點坐標為，弦長.
16.（1）由題意可知圓：的圓心坐標，半徑，
當直線的斜率不存在時，直線過點.即的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；
當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，直線過點.設(shè)直線的方程為，
即化為一般式：，直線與圓相切，則，
即，解得，所以的方程為：，即.
綜上，當直線與圓相切，直線的方程為或.
（2）圓：的圓心坐標，半徑，
設(shè)，因為圓關(guān)于直線的對稱圓的圓心為，
所以，解得，圓的圓心為，半徑為1.
當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線過圓的圓心，，不符合題意；
當直線斜率存在時，設(shè)斜率為，直線過點.設(shè)直線的方程為，即化為一般式：，圓心到直線的距離.
若直線與圓交于兩點，，根據(jù)勾股定理可得，解得，
所以直線的方程為或
17．（1）取中點，連接，，，如圖所示，
又因為，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因為點為的中點，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）因為平面，，
所以平面，
因為平面，所以平面平面，
因為，點為的中點，所以，
因為平面平面平面，
所以平面，
（3）由（1）得四邊形為平行四邊形，所以，
所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，
因為平面，所以即為直線與平面所成角，
因為點為的中點，，
所以，
所以，由，所以，
所以直線與平面所成角為．
18．（1）由題意：，同理，
又．而，即
又平面平面，平面平面平面，
平面平面，又，且面面平面．
（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，
設(shè)，有，
取面的一個法向量，
則，故．
令是平面的一個法向量，則，即
令，有，則，
故平面與平面夾角的余弦值為．
19．（1）因，則AB的中點為，
又，則AB的中垂線方程為，
將其與歐拉線方程聯(lián)立有，解得，
故的外心為，則外接圓半徑為，故圓M的方程為.
（2）設(shè)，由題有
，
.
因，則.
化簡得：
所以點的軌跡方程為：.

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