注意事項：
1．本試卷共6頁，共120分．考試時間120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．答題前，請務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號、座號填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．
3．所有的試題都必須在專用的“答題卡”上作答．寫在試卷上或答題卡指定區(qū)域以外的答案一律無效．
4．選擇題用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號、作圖題用2B鉛筆（加黑加粗，描寫清楚）或0.5毫米的黑色簽字筆作答．其它題目用0.5毫米的黑色簽字筆作答．如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．
5．不要求保留精確度的題目，計算結果保留準確值．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）
1. 一批食品，標準質量為每袋．現(xiàn)隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負數(shù)表示．那么，最接近標準質量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了絕對值的意義，正負數(shù)的意義，直接利用正負數(shù)的意義以及絕對值的意義可得最接近標準是哪一袋．
【詳解】解：∵超過標準質量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負數(shù)表示．
∴
∴最接近標準質量的是
故選：C．
2. 據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優(yōu)越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了用科學記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，用科學記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：百萬分之一．
故選：B．
3. 下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，根據實數(shù)的大小比較即可求解．
【詳解】解：，
∵
∴最小的數(shù)是
故選：A．
4. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查合并同類項、同底數(shù)冪的除法、積的乘方，根據合并同類項、同底數(shù)冪的除法、積的乘方的運算法則計算即可．
【詳解】A、，運算錯誤，該選項不符合題意；
B、，運算錯誤，該選項不符合題意；
C、，運算正確，該選項符合題意；
D、，運算錯誤，該選項不符合題意．
故選：C
5. 下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三視圖；分別判斷四個選項中幾何體主視圖、左視圖與俯視圖，通過比較即可得出答案．
【詳解】解：A、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；
B、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；
C、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；
D、主視圖為，左視圖和俯視圖為，主視圖、左視圖與俯視圖完全相同，故該選項符合題意；
故選：D．
6. 如圖，在扇形中，，點是的中點．過點作交于點，過點作，垂足為點．在扇形內隨機選取一點，則點落在陰影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵點是的中點
∴
∴
∴
∴，，
點落在陰影部分的概率是
故選：B．
7. 定義新運算：
①在平面直角坐標系中，表示動點從原點出發(fā)，沿著軸正方向（）或負方向（）．平移個單位長度，再沿著軸正方向（）或負方向（）平移個單位長度．例如，動點從原點出發(fā)，沿著軸負方向平移個單位長度，再沿著軸正方向平移個單位長度，記作．
②加法運算法則：，其中，，，為實數(shù)．
若，則下列結論正確的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標系，根據新定義得出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
解得：，
故選：B．
8. 《九章算術》是我國古老的數(shù)學經典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多尺．繩長、井深各是多少尺？若設繩長尺，井深尺，則符合題意的方程組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的應用，此題中的等量關系有：①將繩三折測之，繩多四尺；②繩四折測之，繩多一尺，不變的是井深，據此即可得方程組．正確理解題意，找準等量關系解題的關鍵．
【詳解】解：設繩長x尺，井深y尺，
依題意，得：．
故選：C．
9. 如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，連接，，，交于點．下列結論錯誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，，則
C. 若，，則
D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，菱形的性質與判定，垂直平分線的性質，全等三角形的性質與判定；根據相似三角形的性質與判定即可判斷A，根據題意可得四邊形是的角平分線，進而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上，則成立，據此，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴
A. 若，即，又，
∴
∴
∴，故A選項正確，
B. 若，，，
∴是的角平分線，
∴
∵
∴
∴
∴
∴四邊形是菱形，
∴
在中，
∴
∴
又∵
∴
∴，故B選項正確，
C. ∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴四邊形是菱形，
∴，
又∵
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴
∴，故C選項正確；
D. 若，則四邊形是菱形，
由，且時，
可得垂直平分，
∵
∴，故D選項不正確
故選：D．
10. 同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發(fā)前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續(xù)行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時間（）的函數(shù)關系．下列結論正確的是（ ）
A. 甲車行駛與乙車相遇B. ，兩地相距
C. 甲車速度是D. 乙車中途休息分鐘
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)圖象，根據函數(shù)圖象結合選項，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：根據函數(shù)圖象可得兩地之間的距離為（）
兩車行駛了小時，同時到達地，
如圖所示，在小時時，兩車同向運動，在第2小時，即點時，兩車距離發(fā)生改變，此時乙車休息，
點的意義是兩車相遇，點意義是乙車休息后再出發(fā)，
∴乙車休息了1小時，故D不正確，
設甲車的速度為，乙車的速度為，
根據題意，乙車休息后兩車同時到達地，則甲車的速度比乙車的速度慢，
∵
即
在時，乙車不動，則甲車的速度是，
∴乙車速度為，故C不正確，
∴的距離為千米，故B不正確，
設小時兩輛車相遇，依題意得，
解得：即小時時，兩車相遇，故A正確
故選：A．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結果）
11. 計算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據二次根式的性質以及二次根式的乘法進行計算即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：
故答案：．
13. 如圖，在正六邊形中，，，垂足為點I．若，則________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本題考查了正六邊形的內角和、平行線的性質及三角形內角和定理，先求出正六邊形的每個內角為，即，則可求得的度數(shù)，根據平行線的性質可求得的度數(shù)，進而可求出的度數(shù)，再根據三角形內角和定理即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵正六邊形的內角和，
每個內角為：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
14. 計算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查分式的加減，根據同分母分式的加減法則解題即可．
【詳解】
．
故答案為：．
15. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，根據圖象解答即可求解，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象可得，當或時，，
∴滿足的的取值范圍為或，
故答案為：或．
16. 將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點處，折痕為，點D落在點處，交于點E．若，，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質，勾股定理，先根據勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．
【詳解】解：在中，，
由折疊可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
設，則，
在中，，即，
解得：，
故答案為．
三、解答題（本大題共8小題，共72分）
17. 某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數(shù)量的型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節(jié)能燈每年的用電量比一盞型節(jié)能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節(jié)能燈每年的用電量．
【答案】千瓦·時
【解析】
【分析】本題考查分式方程的應用，根據題意列方程是關鍵，并注意檢驗．根據兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式分式方程求解即可．
【詳解】解：設一盞型節(jié)能燈每年用電量為千瓦·時，
則一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時
整理得
解得
經檢驗：是原分式方程的解．
答：一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時.
18. 為增強學生體質，某校在八年級男生中試行“每日鍛煉，每月測試”的引體向上訓練活動，設定6個及以上為合格．體育組為了解一學期的訓練效果，隨機抽查了20名男生2至6月份的測試成績．其中，2月份測試成績如表1，6月份測試成績如圖1（尚不完整）．整理本學期測試數(shù)據得到表2和圖2（尚不完整）．
2月份測試成績統(tǒng)計表
本學期測試成績統(tǒng)計表
請根據圖表中的信息，解答下列問題：
（1）將圖1和圖2中的統(tǒng)計圖補充完整，并直接寫出a，b，c的值；
（2）從多角度分析本次引體向上訓練活動的效果；
（3）若將此活動在鄰校八年級推廣，該校八年級男生按400人計算，以隨機抽查的20名男生訓練成績?yōu)闃颖?，估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數(shù)．
【答案】（1）見解析，
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據總人數(shù)減去引體向上為其他個數(shù)的人數(shù)，進而補充條形統(tǒng)計圖，根據題意求得合格率，補充折線統(tǒng)計圖，根據平均數(shù)，眾數(shù)的定義，即可得出的值；
（2）根據平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，合格率，分析；
（3）根據樣本估計總體即可求解．
【小問1詳解】
解：月測試成績中，引體向上個的人數(shù)為
根據表2可得，
；
【小問2詳解】
解：本次引體向上訓練活動的效果明顯，
從平均數(shù)和合格率看，平均數(shù)和合格率逐月增加，
從中位數(shù)看，引體向上個數(shù)逐月增加，
從眾數(shù)看，引體向上的個數(shù)越來越大，（答案不唯一，合理即可）
【小問3詳解】
解：（人）
答：估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數(shù)為人
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖，統(tǒng)計表，樣本估計總體，以及求平均數(shù)，眾數(shù) ，中位數(shù)的意義；掌握相關的統(tǒng)計量的意義是解題的關鍵．
19. 某校九年級學生開展利用三角函數(shù)解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）
（1）設，，，，，，，，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數(shù)據，把表示數(shù)據的小寫字母填寫在“測量數(shù)據”一欄．
（2）根據（）中選擇的數(shù)據，寫出求的一種三角函數(shù)值的推導過程．
（3）假設，，，根據（）中的推導結果，利用計算器求出的度數(shù)，你選擇的按鍵順序為________．
【答案】（1），，，；
（2），推導見解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）根據題意選擇需要的數(shù)據即可；
（）過點作于點，可得，得到，即得，得到，再根據正弦的定義即可求解；
（）根據（）的結果即可求解；
本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：需要的數(shù)據為：，，，；
【小問2詳解】
解：過點作于點，則，
∵，
∴，
∴
∴，
即
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：∵，
∴按鍵順序為，
故答案為：．
20. 感悟
如圖1，在中，點，在邊上，，．求證：．
應用
（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線上取點，點（點在點的左側），使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線上取一點，在直線上取一點，使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質、尺規(guī)作圖：
證明，即可求得；
應用（1）：以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接，；
應用（2）：以點為圓心，以長為半徑作弧，交的延長線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接．
【詳解】感悟：
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
應用：
（1）：以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接，，圖形如圖所示．
（2）：以點為圓心，以長為半徑作弧，交的延長線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接，圖形如圖所示．
根據作圖可得：，
又，
∴，
∴.
21. 定義
我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值．數(shù)軸上表示數(shù)a，b的點A，B之間的距離．特別的，當時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于．當時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于．
應用
如圖，在數(shù)軸上，動點A從表示的點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動．
（1）經過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？
（2）求點A，B到原點距離之和的最小值．
【答案】（1）過4秒或6秒
（2）3
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，不等式的性質，絕對值的意義等知識，解題的關鍵是：
（1）設經過x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據“點A，B之間的距離等于3個單位長度”列方程求解即可；
（2）先求出點A，B到原點距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對值的意義，不等式的性質求解即可．
小問1詳解】
解：設經過x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，
根據題意，得，
解得或6，
答，經過4秒或6秒，點A，B之間的距離等于3個單位長度；
【小問2詳解】
解：由（1）知：點A，B到原點距離之和為，
當時，，
∵，
∴，即，
當時，，
∵，
∴，即，
當時，，
∵，
∴，即，
綜上，，
∴點A，B到原點距離之和的最小值為3．
22. 如圖，已知是的直徑，點C，D在上，且．點E是線段延長線上一點，連接并延長交射線于點F．的平分線交射線于點H，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，根據角平分線的定義得到是解題的關鍵．
（1）連接，根據圓周角定理得到，即可得到，然后根據角平分線的定義得到，然后得到即可證明切線；
（2）設的半徑為，根據，可以求出，然后根據，即可得到結果．
【小問1詳解】
證明：連接，
則，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵是半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：設的半徑為，則，
∵，即，
解得，
∴，，
又∵
∴，
∴，即，解得．
23. 如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．
（1）求證：；
（2）求與的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）求為何值時，線段的長度最短．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）設與相交于點，證明，可得，，利用三角形外角性質可得，即得，即可求證；
（）過點作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達式，最后由，可得自變量的取值范圍；
（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長度最短，即的長度最短，當時，取最短，又由菱形的性質可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；
本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，解直角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，垂線段最短，掌握菱形的性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【小問1詳解】
證明：設與相交于點，
∵四邊形為菱形，
∴，，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：過點作于，則，
∵，
∴，
∵四邊形為菱形，，
∴，，
即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴線段的長度最短，即的長度最短，當時，取最短，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當時，線段的長度最短．
24. 已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．
（1）若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據的大?。ㄌ顚?、或）：
①________；②________；③________．
（2）若，，求b的取值范圍；
（3）當時，最大值與最小值的差為，求b的值．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）b的值為或或．
【解析】
【分析】本題考查根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖像與性質，不等式性質，二次函數(shù)最值情況，解題的關鍵在于熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質．
（1）根據根與系數(shù)的關系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數(shù)的圖像與性質得到，進而得到，利用不等式性質變形，即可判斷②③．
（2）根據題意得到，結合進行求解，即可解題；
（3）根據題意得到拋物線頂點坐標為，對稱軸為；當時，，當時，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當在取得最大值，在取得最小值時，②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，建立等式求解，即可解題．
【小問1詳解】
解： 與x軸交點的坐標分別為，，且，
，且拋物線開口向上，
與x軸交點的坐標分別為，，且．
即向上平移1個單位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案為；；；；
【小問2詳解】
解：，，
，
，
；
【小問3詳解】
解：拋物線頂點坐標為，
對稱軸為；
當時，，
當時，，
①當在取得最大值，在取得最小值時，
有 ，解得；
②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，
有，解得（舍去）或，
③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，
有，解得（舍去）或；
綜上所述，b的值為或或．
個數(shù)
人數(shù)
表1
1
平均數(shù)/個
眾數(shù)/個
中位數(shù)/個
合格率
2月
3月
4月
5月
6月
表2
課題
測量某護堤石壩與地平面的傾斜角
成員
組長：××× 組員：×××，×××，×××
測量工具
竹竿，米尺
測量示意圖
說明：是一根筆直的竹竿．點是竹竿上一點．線段的長度是點到地面的距離．是要測量的傾斜角．
測量數(shù)據
……
……

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