一、選擇題（每小題3分，共36分每小題均有A、B、C、D四個選項，其中只有一個選項正確）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的一次項系數(shù)是（ ）
A．2B．1C．D．4
3．若是一元二次方程的根，則（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值是（ ）
A．9B．C．11D．
5．關(guān)于x的一元二次方程的解為（ ）
A．B．C．，D．，
6．用配方法解方程，下列變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根D．無實數(shù)根
8．已知m是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則的值為（ ）
A．B．6C．4D．
9．若關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程的根，則這個三角形的周長是（ ）
A．8B．10C．12D．10或12
11．參加足球友誼賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽，共比賽了45場，設(shè)參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（ ）
A．B．C．D．
12．如圖，將邊長為的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把沿著AD方向平移，得到．若兩個三角形重疊部分的面積為，則它平移的距離等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．已知，則______．
14．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為______．
15．一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個兩位數(shù)是______．
16．對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號表示a，b中的較大值，如：，．按照這個規(guī)定，若，則x的值是______．
三、解答題（本大題共9題，共98分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本題滿分12分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）；（2）．
18．（本題滿分10分）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道關(guān)于解一元二次方程的題：．
小明同學(xué)的做法如下：
解：兩邊同時除以，得．……….第一步
去括號，得．……….第二步
移項，得．……….第三步
合并同類項，得．……….第四步
（1）上面的運算過程中從第______步開始出現(xiàn)了錯誤；
（2）請寫出正確的解題過程．
19．（本題滿分10分）關(guān)嶺火龍果是安順市關(guān)嶺縣的特產(chǎn)，也是中國國家地理標志產(chǎn)品．隨著種植技術(shù)的改進，火龍果產(chǎn)量逐年增加，已知2022年該火龍果的產(chǎn)量為350t，預(yù)計2024年該火龍果的產(chǎn)量為423.5t，求這兩年該火龍果產(chǎn)量的年均增長率．
20．（本題滿分10分）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不等的實數(shù)根；
（2）若，是原方程的兩根，且，求m的值．
21．（本題滿分10分）某單位要新建一個矩形的活動區(qū)（圖中陰影部分），根據(jù)規(guī)劃，活動區(qū)的長和寬分別為和，同時要在它四周外圍修建寬度相等的小路．已知活動區(qū)和小路的總面積為．求小路的寬度．
22．（本題滿分10分）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，盡量減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件襯衫降價4元，則商場每天銷售該襯衫可盈利______元；
（2）若商場平均每天要通過銷售該襯衫盈利1200元，且讓顧客盡可能多得實惠，則每件襯衫應(yīng)降價多少元？
23．（本題滿分12分）閱讀材料：解方程：，我們可以將視為一個整體，然后設(shè)，則，原方程化為．解得，．
當時，，所以，所以；
當時，，所以，所以．
所以原方程的解為，，，．
請利用以上知識解決下列問題：
已知，求的值．
24．（本題滿分12分）已知矩形ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD為正方形？并說明理由；
（2）若AB的長為2，求矩形ABCD的對角線長．
25．（本題滿分12分）【概念理解】如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個根是，，則方程是“倍根方程”
【初步運用】
（1）通過計算，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
【拓展運用】
（2）若關(guān)于x的方程是“倍根方程”，求代數(shù)式的值；
【能力提升】
（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（n是常數(shù)）是“倍根方程”，請直接寫出n的值．
答案：
1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．C 11．B 12．B
13．2或 14． 15．98 16．5或
17．（1）解：移項，得．
配方，得，．
由此可得，，．
（2）解：，，．．
方程有兩個不等的實數(shù)根，，
即，．
18．（1）一
（2）解：移項，得．
因式分解，得．
于是得，或，，．
19．解：設(shè)這兩年該火龍果產(chǎn)量的年均增長率為x．
根據(jù)題意，得．
解得，（不合題意，舍去）．
答：這兩年該火龍果產(chǎn)量的年均增長率為10%．
20．（1）證明：因為，
所以無論m取何值，方程總有兩個不等的實數(shù)根．
（2）解：因為，所以．
由題意得，，
所以，解得，．即m的值為或．
21．解：設(shè)小路的寬度為．根據(jù)題意，得．
整理，得．解得，（不合題意，舍去），
答：小路的寬度為．
22．（1）1008
（2）解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則平均每天可售出件．
根據(jù)題意，得．
整理，得，解得，．
因為要擴大銷售，減少庫存，且讓顧客盡可能多得實惠，所以．
答：每件襯衫應(yīng)降價20元．
23．解：設(shè)．則原方程化為，
即，解得，．因為，所以．
24．解：（1）當時，四邊形ABCD為正方形．
理由如下：當時，矩形ABCD為正方形，此時，即，
解得．所以當時，四邊形ABCD為正方形．
（2）設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，即，
所以矩形ABCD的對角線長為．
25．解：（2），或，解得，．
因為是“倍根方程”，所以或．
當時，．當時，．
綜上所述，代數(shù)式的值為26或5．
（3）根據(jù)題意，設(shè)方程的根的兩根分別為，，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，或，．所以n的值為13或．

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