考生注意：
1．考試時間120分鐘
2．本試題共三道大題，28個小題，總分120分
3．所有答案都必須寫在答題卡上所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)
一、單項(xiàng)選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）
請?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將你的選項(xiàng)所對應(yīng)的方框涂黑
1. 實(shí)數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：實(shí)數(shù)的相反數(shù)是，
故選：D．
2. 下列所述圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是
A. 圓B. 菱形C. 平行四邊形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.
【詳解】A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.辨別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；.辨別中心對稱圖形的關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3. 某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個幾何體的三視圖，那么構(gòu)成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是（ ）
A. 5個B. 6個C. 7個D. 8個
【答案】A
【解析】
【分析】此題主考查了三視圖，由主視圖易得這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個數(shù)，由主視圖和左視圖可得第二層立方體的個數(shù)，相加即可．
【詳解】解：由三視圖易得最底層有個正方體，第二層有個正方體，那么共有個正方體組成．
故選：A．
4. 若式子有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得，即可求解．
【詳解】解：∵式子有意義，
∴，
解得：，
故選：C．
5. 下列計算中，結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式，算術(shù)平方根，積的乘方，據(jù)此逐項(xiàng)分析計算，即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：A．
6. 小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中，，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項(xiàng)，得到方程的兩個根是和；
∴，
又∵寫錯了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．
∴
A. 中，，，故該選項(xiàng)不符合題意；
B. 中，，，故該選項(xiàng)符合題意；
C. 中，，，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. 中，，，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
7. 某品牌女運(yùn)動鞋專賣店，老板統(tǒng)計了一周內(nèi)不同鞋碼運(yùn)動鞋的銷售量如表：
如果每雙鞋的利潤相同，你認(rèn)為老板最關(guān)注的銷售數(shù)據(jù)是下列統(tǒng)計量中的（ ）
A. 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 眾數(shù)D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，了解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義；平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量；方差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量．銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
【詳解】解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故老板最關(guān)注的銷售數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量是眾數(shù)．
故選：C．
8. 一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，利用順?biāo)凫o水速水速，逆水速靜水速水速，設(shè)未知數(shù)列出方程，解方程即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)江水的流速為，根據(jù)題意可得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，
答：江水的流速為．
故選：D．
9. 如圖，矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意的坐標(biāo)乘以，即可求解．
【詳解】解：依題意，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是
故選：D．
10. 下列敘述正確的是（ ）
A. 順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)一定能得到一個矩形
B. 平分弦的直徑垂直于弦
C. 物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關(guān)系，根據(jù)相關(guān)定理逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】A. 順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)不一定能得到一個矩形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. 物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. 在同圓或等圓 中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：C．
11. 如圖，四邊形是菱形，，，于點(diǎn)，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面積為，
∴，
故選：A．
12. 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：
① ②（m為任意實(shí)數(shù)） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判段④，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實(shí)數(shù)）
即，故②正確；
∵時，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個點(diǎn)，
∴關(guān)于對稱，
∴即故④不正確
正確的有②③
故選：B
二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）
請?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)
13. 中國的領(lǐng)水面積約為370 000 km2，將數(shù)370 000用科學(xué)記數(shù)法表示為：__________．
【答案】3.7×105
【解析】
【詳解】科學(xué)記數(shù)法是指：a×，且1≤＜10，n為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減一，370000=3.7×．
故答案為：3.7×105．
14. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
15. 如圖，，，．則______．
【答案】66
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
16. 如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)測得該樓頂部點(diǎn)的仰角為，測得底部點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)與樓的水平距離，則這棟樓的高度為______m（結(jié)果保留根號）．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得，然后利用三角函數(shù)求解即可．
【詳解】解：依題意，．
在中，，
在中，，
∴．
故答案為：．
17. 計算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算．先算括號內(nèi)的減法，把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
18. 用一個圓心角為，半徑為的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了弧長公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，代入數(shù)據(jù)計算，即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為，由題意得，
解得：
故答案為：．
19. 如圖，已知點(diǎn)，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明得出，，進(jìn)而可得，即可求解．
【詳解】如圖所示，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點(diǎn)，，，
∴，
∴，即，則，
∵軸，軸，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案為：．
20. 如圖，已知，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)為射線、點(diǎn)為射線上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作關(guān)于，的對稱點(diǎn)．連接．則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時，的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：作關(guān)于，的對稱點(diǎn)．連接．則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時，的周長最短，連接，
關(guān)于對稱，
∴
同理，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案為：．
21. 如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知個點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，的坐標(biāo)為，據(jù)此可求得的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知個點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，的坐標(biāo)為，
∵，
∴的坐標(biāo)為．
∴坐標(biāo)為
故答案為：．
22. 在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)到矩形對角線所在直線的距離是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，在的延長線上，過點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為，進(jìn)而分別求得垂線段的長度，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，
∴，，
∴
∴，，
如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，在的延長線上，過點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為
∵
∴
當(dāng)在線段上時，
∴
中個，
∵
在中，；
當(dāng)E在射線上時，
在中，
∴
∴
∴
∴，
在中，
綜上所述，點(diǎn)到對角線所在直線的距離為：或或
故答案為：或或．
三、解答題（本題共6個小題，共54分）
請?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)
23. 已知：．
（1）尺規(guī)作圖：畫出的重心．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
（2）在（1）的條件下，連接，．已知的面積等于，則的面積是______．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，畫垂線；
（1）分別作的中線，交點(diǎn)即為所求；
（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得
【小問1詳解】
解：作法：如圖所示
①作的垂直平分線交 于點(diǎn)
②作的垂直平分線交于點(diǎn)
③連接、相交于點(diǎn)
④標(biāo)出點(diǎn) ，點(diǎn) 即為所求
【小問2詳解】
解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面積等于，
∴
又∵是的中點(diǎn)，
∴
故答案為：．
24. 為了落實(shí)國家“雙減”政策，某中學(xué)在課后服務(wù)時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項(xiàng)社團(tuán)活動．為了了解七年級學(xué)生對社團(tuán)活動的喜愛情況，該校從七年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你最喜歡哪一項(xiàng)社團(tuán)活動”的問卷調(diào)查，每人必須選擇一項(xiàng)社團(tuán)活動（且只能選擇一項(xiàng)）．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖．

請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：
（1）參加本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有______人．
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，A組所占的百分比是______，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖．
（3）端午節(jié)前夕，學(xué)校計劃進(jìn)行課后服務(wù)成果展示，準(zhǔn)備從這4個社團(tuán)中隨機(jī)抽取2個社團(tuán)匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團(tuán)恰好是B和C的概率．
【答案】（1）
（2），作圖見解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，列表法或畫樹狀圖法求概率；
（1）根據(jù)組的人數(shù)除以占比得出總?cè)藬?shù)；
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)求得組的人數(shù)，進(jìn)而求得占比，以及補(bǔ)全統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)列表法或畫樹狀圖法求概率，即可求解．
小問1詳解】
解：參加本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有（人）；
【小問2詳解】
解：A組人數(shù)為人
A組所占的百分比為：
補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖所示，
【小問3詳解】
畫樹狀圖法如下圖

列表法如下圖
由樹狀圖法或列表法可以看出共有12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，選中的2個社團(tuán)恰好是B和C的情況有兩種．
∴P（選中的2個社團(tuán)恰好是B和C）．
25. 為了響應(yīng)國家提倡的“節(jié)能環(huán)保”號召，某共享電動車公司準(zhǔn)備投入資金購買、兩種電動車．若購買種電動車輛、種電動車輛，需投入資金萬元；若購買種電動車輛、種電動車輛，需投入資金萬元．已知這兩種電動車的單價不變．
（1）求、兩種電動車的單價分別是多少元？
（2）為適應(yīng)共享電動車出行市場需求，該公司計劃購買、兩種電動車輛，其中種電動車的數(shù)量不多于種電動車數(shù)量的一半．當(dāng)購買種電動車多少輛時，所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少元？
（3）該公司將購買的、兩種電動車投放到出行市場后，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者支付費(fèi)用元與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系如圖．其中種電動車支付費(fèi)用對應(yīng)的函數(shù)為；種電動車支付費(fèi)用是之內(nèi)，起步價元，對應(yīng)的函數(shù)為．請根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問題．

①小劉每天早上需要騎行種電動車或種電動車去公司上班．已知兩種電動車的平均行駛速度均為3（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計），小劉家到公司的距離為，那么小劉選擇______種電動車更省錢（填寫或）．
②直接寫出兩種電動車支付費(fèi)用相差元時，的值______．
【答案】（1）、兩種電動車的單價分別為元、元
（2）當(dāng)購買種電動車輛時所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元
（3）① ②或
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）設(shè)、兩種電動車的單價分別為元、元，根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組，即可求解；
（2）設(shè)購買種電動車輛，則購買種電動車輛，根據(jù)題意得出的范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（3）①根據(jù)函數(shù)圖象，即可求解；
②分別求得的函數(shù)解析式，根據(jù)，解方程，即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)、兩種電動車的單價分別為元、元
由題意得，
解得
答：、兩種電動車的單價分別為元、元
【小問2詳解】
設(shè)購買種電動車輛，則購買種電動車輛，
由題意得
解得：
設(shè)所需購買總費(fèi)用為元，則
，隨著 的增大而減小，
取正整數(shù)
時，最少
元
答：當(dāng)購買種電動車輛時所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元
【小問3詳解】
解：①∵兩種電動車的平均行駛速度均為3，小劉家到公司的距離為，
∴所用時間為分鐘，
根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)時，更省錢，
∴小劉選擇種電動車更省錢，
故答案為：．
②設(shè)，將代入得，
解得：
∴；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，設(shè)，將，代入得，
解得：
∴
依題意，當(dāng)時，
即
解得：
當(dāng)時，
即
解得：（舍去）或
故答案為：或．
26. 如圖1，是正方形對角線上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑的與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．
（1）求證：與相切．
（2）若正方形的邊長為，求的半徑．
（3）如圖2，在（2）的條件下，若點(diǎn)是半徑上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)時，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）方法一：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是正方形，是正方形的對角線，得出，進(jìn)而可得為的半徑，又，即可得證；
方法二：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明得出，同方法一即可得證；
方法三：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．得出四邊形為正方形，則，同方法一即可得證；
（2）根據(jù)與相切于點(diǎn)，得出，由（1）可知，設(shè)，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)建立方程，解方程，即可求解．
（3）方法一：連接，設(shè)，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，結(jié)合題意得出，即可得出；
方法二：連接，證明得出，進(jìn)而可得，同理可得
方法三：連接，證明得出，設(shè)，則，進(jìn)而可得，進(jìn)而同方法一，即可求解．
【小問1詳解】
方法一：證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
與相切于點(diǎn)，
．
四邊形是正方形，是正方形的對角線，
，
，
為的半徑，
為的半徑，
，
與相切．
方法二：
證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
與相切于點(diǎn)，，
，
四邊形是正方形，
，
又，
，
，
為的半徑，
為的半徑，
，
與相切．
方法三：
證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．
與相切，為半徑，
，
，
，
，
又四邊形為正方形，
，
四邊形為矩形，
又為正方形的對角線，
，
，
矩形為正方形，
．
又為的半徑，
為的半徑，
又，
與相切．
【小問2詳解】
解：為正方形的對角線，
，
與相切于點(diǎn)，
，
由（1）可知，設(shè)，
在中，
，
，
，，
又正方形的邊長為．
在中，
，
，
，
．
∴的半徑為．
【小問3詳解】
方法一：
解：連接，設(shè)，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又，
．
．
方法二：
解：連接，
為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
方法三：
解：連接，
為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
．
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
27. 綜合與實(shí)踐
問題情境
在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象．
紙片和滿足，．
下面是創(chuàng)新小組的探究過程．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，取的中點(diǎn)，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點(diǎn)、交邊于點(diǎn)時，設(shè)，，請你探究出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過程．
問題解決
（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長是一個定值．請你寫出這個定值，并說明理由．
拓展延伸
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)、），且始終保持．請你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號）．

【答案】（1），見解析；（2）2，見解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出關(guān)系式，進(jìn)而求得，代入比例式，即可求解；
（2）方法一：勾股定理求得，將將（1）中代入得，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解；
方法二：證明，，過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．證明，，得出，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長公式可得的周長．
方法三：過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．得出，，則，同方法二求得，進(jìn)而即可求解；
（3）分兩種情況討論，于的夾角；①過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，由勾股定理得，，進(jìn)而根據(jù)正確的定義，即可求解；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，同①即可求解．．
【詳解】操作發(fā)現(xiàn)
解：（1）∵，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，
∴，
∴．

問題解決
（2）方法一：
解：的周長定值為2．
理由如下：∵，，，
∴，，
在中，∴
．
將（1）中代入得：
∴．
∵，又∵，
∴，
∴．
∵的周長，
∴的周長．
方法二：
解：的周長定值為2．
理由如下：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，，
∴過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
∴．
又∵，，
∴，，
∴，，
∴．
∵的周長．
又∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴，
∴的周長．

方法三：
解：的周長定值為2．
理由如下：過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．
∵是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，
∴平分，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周長．
又∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴，
∴的周長．

拓展延伸
（3）或
①解：∵，，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，設(shè)，
∴，由勾股定理得，
，
∴，
∴在中，．

②解：∵，，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接．
∵，
∴，
∴，
在中，設(shè)，
∴，由勾股定理得，，
∴，
∴在中，．
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
28. 綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．
（2）過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）
（3）將該拋物線向左平移個單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，，補(bǔ)圖見解析
（3）、、、
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．
（3）①以為對角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，②以為邊，如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以為邊，如圖以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過點(diǎn)作，過作，和相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；
【小問1詳解】
解：∵把點(diǎn)，代入得
，
解得，
∴．
【小問2詳解】
存在．
理由：∵軸且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
，，
∴，．
連接交拋物線于，連接交拋物線于，
∴，的解析式為，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【小問3詳解】
、、、．
方法一：
①以為對角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于
∵，，
∴．
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
．
②以為邊
如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，和相交于點(diǎn)，同理可得
，，
，
．
過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
點(diǎn)是由點(diǎn)向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到的，
，，
③以為邊
如圖以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，
連接，，則，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三點(diǎn)共線，
過點(diǎn)作，過作，
和相交于點(diǎn)，
∵、，
的中點(diǎn)．
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
．
綜上所述：、、、．
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