一、解答題
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)當時，
①求該函數(shù)圖象的頂點坐標．
②當時，求的取值范圍．
(2)當時，的最大值為2；當時，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達式．
2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．
(1)當時，求和的值；
(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且點A不在坐標軸上，當時，求的取值范圍；
(3)求證：．
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，
(1)若它的圖象過點，則t的值為多少？
(2)當時，y的最小值為，求出t的值：
(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．
4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：
(1)若，求二次函數(shù)的表達式；
(2)寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?br>(3)若在m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求的取值范圍．
5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標．
6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標；
(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．
8．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側(cè)），點C，D在拋物線上，設(shè)，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？
(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．
①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；
②直線交直線于點E，當點E關(guān)于直線的對稱點落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．
10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標；
(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
11．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；
(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．
①當時，求的長；
②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．
13．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．點，在此拋物線上，其橫坐標分別為，連接，．

(1)求此拋物線的解析式．
(2)當點與此拋物線的頂點重合時，求的值．
(3)當?shù)倪吪c軸平行時，求點與點的縱坐標的差．
(4)設(shè)此拋物線在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為．當時，直接寫出的值．
14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
15．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．
①當取得最大值時，求的值和的最大值；
②當是等腰三角形時，求點的坐標．
16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，直線與拋物線交于B，C兩點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若是以為腰的等腰三角形，求點B的坐標；
(3)過點作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
17．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．
（ⅰ）當時，求與的面積之和；
（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．
18．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．
①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．
(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．
19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．
20．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當時，求點的坐標；
(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．
21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)當點P在直線上方的拋物線上時，連接交于點D．如圖1．當?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標及的最大值；
(3)過點P作x軸的垂線交直線于點M，連接，將沿直線翻折，當點M的對應點恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點M的坐標．
22．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點A時停止，以為邊作正方形設(shè)點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當點P由點C運動到點B時，
①當時，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．
(2)當點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．
(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應的正方形的面積均相等．
①_______；
②當時，求正方形的面積．
23．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，．求證：；
【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點．
①求點的坐標；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，已知點，，連接．拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的橫坐標．

24．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．
(1)求拋物線的表達式；
(2)當時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．
25．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點，當時，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標相等．求長的取值范圍．
26．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，直線交拋物線于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點，交軸于點．

(1)求點的坐標；
(2)是線段上一點，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點是直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標．
27．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段上，以點C為頂點的拋物線M：經(jīng)過點B．
(1)求點A，B的坐標；
(2)求b，c的值；
(3)平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．
28．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．

(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．
①________；
②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；
③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．
(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．
29．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

(1)請求出拋物線的表達式．
(2)如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
30．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．
31．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；
(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．
33．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點，求的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且，點D在上且在第二象限內(nèi)，點在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點，．

①求證：．
②當點在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．
35．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；
(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設(shè)點的橫坐標為．
①當時，求的值；
②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．
36．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；
(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；
(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
37．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；
(2)求證：；
(3)直線EA交x軸于點．將經(jīng)過B，C兩點的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．
①若直線與拋物線有唯一交點，求t的值；
②若拋物線的頂點P在直線上，求t的值；
③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點D在拋物線上，求點D的坐標．
38．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求的值；
(3)如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
39．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點A的坐標為_____，______；
(2)如圖1，當時，求點P的坐標；
(3)如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F(xiàn)分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．
40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標．
41．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
42．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；
(3)如圖②，當點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當m為何值時，面積最大，并求出最大值．
43．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．
①當點為拋物線頂點時，求的面積；
②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．
44．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若，且，求證：三點共線；
(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
45．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
46．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；
(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F(xiàn)，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．
47．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，其中點的橫坐標為，點的橫坐標為，拋物線過點．過作軸交拋物線另一點為點．以長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；
(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應點落在拋物線上．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②直線交拋物線于點，交拋物線于點．當點為線段的中點時，求的值；
③拋物線與邊分別相交于點，點在拋物線的對稱軸同側(cè)，當時，求點的坐標．
48．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)如圖1，求周長的最小值；
(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．
49．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．
(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？
50．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；
(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
51．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點、，且經(jīng)過點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)在x軸上方的拋物線上任取一點N，射線、分別與拋物線的對稱軸交于點P、Q，點Q關(guān)于x軸的對稱點為，求的面積；
(3)點M是y軸上一動點，當最大時，求M的坐標．
52．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．
(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．
(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
53．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當時，求點的坐標；
(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數(shù)表達式；
(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
54．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．
同學們，請你結(jié)合所學的數(shù)學解決下列問題．
在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設(shè)函數(shù)（實數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．
(1)求證：無論取什么實數(shù)，圖象與軸總有公共點；
(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
55．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標；
(3)設(shè)直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．
56．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．

(1)求a的值．
(2)將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線的距離最大，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．
57．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點為，與軸相交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸相交于點，拋物線上的點的橫坐標為，且，過點作，垂足為．
(1)若．
①求點和點的坐標；
②當時，求點的坐標；
(2)若點的坐標為，且，當時，求點的坐標．
58．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；
(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．
59．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)當點在軸上時，求點的坐標；
(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．
(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
60．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）
(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數(shù)；
(3)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點（直線與不重合），連接，直線與交于點．當時，點的橫坐標是否為定值，請說明理由．
61．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究
如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且，連接，．

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；
(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接，，當時，求點P的坐標；
(3)點D是線段(包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與相似，請直接寫出點Q的坐標；
(4)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，在拋物線平移過程中，當?shù)闹底钚r，新拋物線的頂點坐標為______，的最小值為______．
62．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓練】
(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：___________，___________；
【技能訓練】
(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；
【能力提升】
(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：
(4)如圖4，點是第二象限內(nèi)一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．
專題13 二次函數(shù)解答壓軸題（62題）
一、解答題
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)當時，
①求該函數(shù)圖象的頂點坐標．
②當時，求的取值范圍．
(2)當時，的最大值為2；當時，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達式．
【答案】(1)①；②當時，；(2)
【分析】（1）①將代入解析式，化為頂點式，即可求解；
②已知頂點，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出當時，有最大值7，當時取得最小值，即可求解；
（2）根據(jù)題意時，的最大值為2；時，的最大值為3，得出拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，即，由拋物線開口向下，時，的最大值為2，可知，根據(jù)頂點坐標的縱坐標為3，求出，即可得解．
【詳解】（1）解：①當時，，
∴頂點坐標為．
②∵頂點坐標為．拋物線開口向下，
當時，隨增大而增大，
當時，隨增大而減小，
∴當時，有最大值7．
又
∴當時取得最小值，最小值；
∴當時，．
（2）∵時，的最大值為2；時，的最大值為3，
∴拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，
∴，
∵拋物線開口向下，時，的最大值為2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴二次函數(shù)的表達式為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點式，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．
(1)當時，求和的值；
(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且點A不在坐標軸上，當時，求的取值范圍；
(3)求證：．
【答案】(1)；(2)；(3)見解析
【分析】（1）由可得圖像過點和，然后代入解析式解方程組即可解答；
（2）先確定函數(shù)圖像的對稱軸為直線，則拋物線過點，即，然后再結(jié)合即可解答；
（3）根據(jù)圖像的對稱性得，即，頂點坐標為；將點和分別代入表達式并進行運算可得；則，進而得到，然后化簡變形即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：當時，圖像過點和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函數(shù)圖像過點和，
∴函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
∵圖像過點，
∴根據(jù)圖像的對稱性得．
∵，
∴．
（3）解：∵圖像過點和，
∴根據(jù)圖像的對稱性得．
∴，頂點坐標為．
將點和分別代人表達式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性、解不等式等知識點，掌握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，
(1)若它的圖象過點，則t的值為多少？
(2)當時，y的最小值為，求出t的值：
(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【分析】（1）將坐標代入解析式，求解待定參數(shù)值；
（2）確定拋物線的對稱軸，對待定參數(shù)分類討論，分，當時，函數(shù)值最小，以及，當時，函數(shù)值最小，求得相應的t值即可 得；
（3）由關(guān)于對稱軸對稱得，且A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)；確定拋物線與y軸交點，此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為，結(jié)合已知確定出；再分類討論：A，B都在對稱軸左邊時，A，B分別在對稱軸兩側(cè)時，分別列出不等式進行求解即可．
【詳解】（1）將代入中，
得，
解得，；
（2）拋物線對稱軸為．
若，當時，函數(shù)值最小，
，
解得．
，
若，當時，函數(shù)值最小，
，
解得（不合題意，舍去）
綜上所述．
（3）關(guān)于對稱軸對稱
，且A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)
拋物線與y軸交點為，拋物線對稱軸為直線，
此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為
且
，解得．
當A，B都在對稱軸左邊時，
，
解得，
當A，B分別在對稱軸兩側(cè)時
到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離
，
解得
綜上所述或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對可能情況作出分類討論是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：
(1)若，求二次函數(shù)的表達式；
(2)寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?br>(3)若在m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)當時，則時，隨的增大而減?。划敃r，則時，隨的增大而減小；(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可．
（2）利用拋物線的對稱性質(zhì)求得拋物線的對稱軸為直線；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可．
（3）先把代入，得，從而得，再求出，，，從而得，然后m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，得，求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在圖象上，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴當時，則時，隨的增大而減小，
當時，則時，隨的增大而減?。?br>（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，
∴，解得：．
【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解析的關(guān)鍵．
5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標．
【答案】(1)；(2)30；(3)
【分析】（1）用兩點式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點的坐標，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．
（2）先將二次函數(shù)變形為頂點式，求得頂點坐標，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．
（3）根據(jù)各點的坐標的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點P的坐標．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．
∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為
∵，
∴，即的坐標為
則，得
∴二次函數(shù)的表達式為；
（2）
∴頂點的坐標為
過作于，作于，
四邊形的面積
；

（3）如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當時，
連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐標為
所以過的直線的解析式為
令
解得，或
所以直線與拋物線的兩個交點為
即所求的坐標為
【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標系幾何圖形的綜合證明計算問題，解題的關(guān)鍵是將所學的知識靈活運用．
6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點M的坐標為或 或；(3)
【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點A及B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；②當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；
（3）在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，
∴，
將代入直線，得，
解得，
∴直線的解析式為；
將代入，得
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點，
∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．
∴當時，，
∴，
①當時，
設(shè)直線的解析式為，將點A坐標代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
得或，
∴點M的坐標為；
②當時，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
解得或，
∴點M的坐標為 或
綜上，點M的坐標為或 或；
（3）如圖，在上取點，使，連接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，
∵，
∴，
∴的最小值為．

【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標；
(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．
【答案】(1)；(2)或或
【分析】（1）令求得點的橫坐標即可解答；
（2）由題意可得拋物線的對稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當點M在點N的上方和下方兩種情況解答即可．
【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，
∴．
（2）解：∵拋物線過
∴拋物線的對稱軸為，
設(shè)，
∵，
∴,
如圖：連接，則，
∴，
∴切線為邊長的正方形的面積為，
過點P作軸，垂足為H，則：，
∴
∵，
∴，

假設(shè)過點,則有以下兩種情況：
①如圖1：當點M在點N的上方，即

∴，解得：或，
∵
∴；
②如圖2：當點M在點N的上方，即

∴，解得：，
∵
∴；
綜上，或．
∴當不經(jīng)過點時，或或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側(cè)），點C，D在拋物線上，設(shè)，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？
(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
【答案】(1)；(2)當時，矩形的周長有最大值，最大值為；(3)4
【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，求出點C的坐標，將點C的坐標代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）由拋物線的對稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；
（3）連接A，相交于點P，連接，取的中點Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時，點A的坐標為，則，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為．
∵當時，，
∴點C的坐標為．
將點C坐標代入表達式，得，
解得．
∴拋物線的函數(shù)表達式為．
（2）解：由拋物線的對稱性得：，
∴．
當時，．
∴矩形的周長為
．
∵，
∴當時，矩形的周長有最大值，最大值為．
（3）解：連接，相交于點P，連接，取的中點Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，
∴直線過點P．．
由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴P是的中點．
∴．
當時，點A的坐標為，
∴．
∴拋物線平移的距離是4．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．
9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．
①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；
②直線交直線于點E，當點E關(guān)于直線的對稱點落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．
【答案】(1)；(2)①②或
【分析】（1）將A，C兩點坐標代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進而求得結(jié)果；
（2）①設(shè)，過點作于點，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進一步求得結(jié)果．
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）①設(shè)，過點作于點，如圖，

∴
∵
∴
∵軸，
∴
又
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合題意，舍去）
∴
∴；
②設(shè)，
對于，當時，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
當點在第三象限時，如圖，過點作軸于點，

則四邊形是矩形，
∵點與點關(guān)于對稱，
∴
∵軸，
∴
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
設(shè)直線的解析式為，
把代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
當點在第二象限時，如圖，

同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
綜上，四邊形的周長為或．
【點睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．
10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標；
(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為，，；(2)或或；(3)
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進而分別令，即可求得兩點的坐標；
（2）分三種情況討論，當，為對角線時，根據(jù)中點坐標即可求解；
（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點，為的中點，連接，則在上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出在上，進而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點的坐標，進而得出的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得：，
∴拋物線解析式為，
當時，，
∴，
當時，
解得：，
∴
（2）∵，，，
設(shè)，
∵以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形
當為對角線時，
解得：，
∴；
當為對角線時，
解得：
∴
當為對角線時，
解得：
∴
綜上所述，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，或或
（3）解：如圖所示，作交于點，為的中點，連接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
設(shè)，則
解得：（舍去）
∴點
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：.
∴直線的解析式
∵，，
∴拋物線對稱軸為直線，
當時，，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；
(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；
（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將點代入解析式得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴，
設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：

∴，
∴，
∴，
∴當時，的最大面積為，
，
∴
（3）存在，或或或，，證明如下：
∵，
∵拋物線的解析式為，
∴對稱軸為：，
設(shè)點，
若為菱形的邊長，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若為菱形的邊長，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
綜上可得：
或或，．
【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．
①當時，求的長；
②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．
【答案】(1)；(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸為，可得，求得，再將代入拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法求得，即可解答；
（2）①求出點，點的坐標，即可得到直線的解析式為，設(shè)，則，求得的解析式，列方程求出點的坐標，最后根據(jù)列方程，即可求出的長；
②過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，根據(jù)，可得，即，證明，設(shè)，得到直線的解析式，求出點D的坐標，即可得到點的坐標，將點E的坐標代入解方程，即可解答．
【詳解】（1）解：根據(jù)拋物線的對稱軸為，
得，
解得，
將代入拋物線可得，
拋物線的解析式為；
（2）解：當時，得，
解得，，
，，
設(shè)的解析式為，將，代入，
得，
解得，
的解析式為，
設(shè)，則，
設(shè)的解析式為，將，代入，
得，
解得，
的解析式為，
聯(lián)立方程，
解得，
根據(jù)，得，
解得，，
經(jīng)檢驗，，是方程的解，
點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，
在軸正半軸，
，
即的長為；
②解：如圖，過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，

，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，即點D的橫坐標為，
，
設(shè)的解析式為，將，，
代入得，
解得，
的解析式為，
，即，
，
四邊形是矩形，
，
，即，
將代入，
得，
解得，（舍去），
．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程，兩點之間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．點，在此拋物線上，其橫坐標分別為，連接，．

(1)求此拋物線的解析式．
(2)當點與此拋物線的頂點重合時，求的值．
(3)當?shù)倪吪c軸平行時，求點與點的縱坐標的差．
(4)設(shè)此拋物線在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為．當時，直接寫出的值．
【答案】(1)；(2)；(3)點與點的縱坐標的差為或；(4)或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）化為頂點式，求得頂點坐標，進而根據(jù)點的橫坐標為，即可求解；
（3）分軸時，軸時分別根據(jù)拋物線的對稱性求得的橫坐標與的橫坐標，進而代入拋物線解析式，求得縱坐標，即可求解；
（4）分四種情況討論，①如圖所示，當都在對稱軸的左側(cè)時，當在對稱軸兩側(cè)時，當點在的右側(cè)時，當?shù)目v坐標小于時，分別求得，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點．
∴
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵，
頂點坐標為，
∵點與此拋物線的頂點重合，點的橫坐標為
∴，
解得：；
（3）①軸時，點關(guān)于對稱軸對稱，
，
∴，則，，
∴，
∴點與點的縱坐標的差為；
②當軸時，則關(guān)于直線對稱，
∴，
則
∴，；
∴點與點的縱坐標的差為；
綜上所述，點與點的縱坐標的差為或；
（4）①如圖所示，當都在對稱軸的左側(cè)時，

則
∴
∵，即
∴；
∵
∴
解得：或（舍去）；
②當在對稱軸兩側(cè)或其中一點在對稱軸上時，

則，即，
則，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
③當點在的右側(cè)且在直線上方時，即，

，
∴
解得：或（舍去）；
④當在直線上或下方時，即，
，
，
，
解得：（舍去）或（舍去）
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，頂點式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點的坐標為或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設(shè)，則，則，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進而分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：將點，．代入得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
（2）∵與軸交于點，，
當時，
解得：，
∴,
∵．
設(shè)直線的解析式為，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，取得最大值為，，
∴；
（3）∵拋物線
將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，
點向右平移5個單位得到
∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，
∴,
∴
∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．
則點的橫坐標為，
設(shè)，
∴，，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：
綜上所述，點的坐標為或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．
①當取得最大值時，求的值和的最大值；
②當是等腰三角形時，求點的坐標．
【答案】(1)；(2)①當時，有最大值，最大值為；②或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①先求出，進而求出直線的解析式為，則，進一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當時， 如圖3-2所示，當時， 如圖3-3所示，當時，三種情況利用等腰三角形的定義進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，
∴拋物線對稱軸為直線，
在中，當時，，
∴拋物線頂點P的坐標為，
設(shè)拋物線解析式為，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為
（2）解：①∵拋物線解析式為，點C是拋物線與y軸的交點，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
∵直線與拋物線交于點，與直線交于點
∴，
∴
，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為；
②設(shè)直線與x軸交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如圖3-1所示，當時，
過點C作于G，則
∴點G為的中點，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如圖3-2所示，當時，則是等腰直角三角形，
∴，即，
∴點E的縱坐標為5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如圖3-3所示，當時，過點C作于G，
同理可證是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
綜上所述，點E的坐標為或或
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，直線與拋物線交于B，C兩點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若是以為腰的等腰三角形，求點B的坐標；
(3)過點作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)點B的坐標為或或；(3)存在，m的值為2或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和兩點坐標距離公式列方程求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)拋物線與直線的交點坐標為，，聯(lián)立拋物線和直線解析式，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，，利用待定系數(shù)法分別求得直線、的表達式為得到， ，過E作軸于Q，過D作軸于N，證明得到，整理可得到，進而求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，
∴，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：設(shè)，
根據(jù)題意，是以為腰的等腰三角形，有兩種情況：
當時，點B和點P關(guān)于y軸對稱，

∵，∴；
當時，則，
∴，
整理，得，
解得，，
當時，，則，
當時，，則，
綜上，滿足題意的點B的坐標為或或；
（3）解：存在常數(shù)m，使得．
根據(jù)題意，畫出圖形如下圖，

設(shè)拋物線與直線的交點坐標為，，
由得，
∴，；
設(shè)直線的表達式為，
則，解得，
∴直線的表達式為，
令，由得，
∴，
同理，可得直線的表達式為，則，
過E作軸于Q，過D作軸于N，
則，，，，
若，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
則，
整理，得，
即，
將，代入，得，
即，則或，
解得，，
綜上，存在常數(shù)m，使得，m的值為2或．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、坐標與圖形等知識，綜合性強，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題是解答的關(guān)鍵．
17．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．
（ⅰ）當時，求與的面積之和；
（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)（?。?；（ⅱ）
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）（?。└鶕?jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當時，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，分和分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為建立方程，解方程進而即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，
解得：，
∴；
（2）（?。┰O(shè)直線的解析式為，
∵，
∴
解得：，
∴直線，
如圖所示，依題意，，，，

∴，
，
∴當時，與的面積之和為，
（ⅱ）當點在對稱右側(cè)時，則，
∴，
當時，，
∴，
∴，
解得：，

當時，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

綜上所述，．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．
①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．
(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．
【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．
【分析】（1）①先求頂點的坐標，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；
②過點作于點．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；
（2）設(shè)點的坐標為，則點的坐標為．①如圖2-1，當時，存在．記，則．過點作軸于點，則．在中，，進而得出點的橫坐標為6．②如圖2-2，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．③如圖，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．④如圖2-4，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．
【詳解】（1）解：①∵，
∴頂點的橫坐標為1．
∴當時，，
∴點的坐標是．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把代入，
得，
解得．
∴該拋物線的函數(shù)表達式為，
即．
②如圖1，過點作于點．

設(shè)直線為，把代入，得，
解得，
∴直線為．
同理，直線為．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）設(shè)點的坐標為，則點的坐標為．
①如圖，當時，存在．
記，則．
∵為的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
過點作軸于點，則．
在中，，
∴，解得．
∴點的橫坐標為6．

②如圖2-2，當時，存在．
記．
∵為的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
過點作軸于點，則．
在中，，
∴，解得．
∴點的橫坐標為．

③如圖2-3，當時，存在．記．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
過點作軸于點，則．
在中，，
∴，解得．
∴點的橫坐標為．
④如圖2-4，當時，存在．記．
∵，
∴．

∴．
∴．
過點作軸于點，則．
在中，，
∴，解得．
∴點的橫坐標為．
綜上，點的橫坐標為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)或或；(3)或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；
（3）根據(jù)題意，求得當是直角三角形時的的值，進而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計算即可求解．
【詳解】（1）解：將點，代入，得
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）∵，
頂點坐標為，
當時，
解得：
∴，則
∵，則
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距離等于到的距離，
∵，，設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作的平行線，交拋物線于點，

設(shè)的解析式為，將點代入得，
解得：
∴直線的解析式為，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如圖所示，延長至，使得，過點作的平行線，交軸于點，則，則符合題意的點在直線上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：或
∴或
綜上所述，或或；
（3）①當時，如圖所示，過點作交于點，
當點與點重合時，是直角三角形，
當時，是直角三角形，

設(shè)交于點，
∵直線的解析式為，
則，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
設(shè)，則
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是銳角三角形
∴；
當時，如圖所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得時，

∴
綜上所述，當是銳角三角形時，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當時，求點的坐標；
(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）過點作，垂足為根據(jù)已知條件得出，進而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，設(shè)，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，根據(jù)等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，
∴
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點作對稱軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中點在拋物線對稱軸的左側(cè)．
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
∴；
（3）解：依題意，點恰好在軸上，則，
設(shè)直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，設(shè)直線的解析式為，
則，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，
∴，
∴
，
∴當時，取得最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)當點P在直線上方的拋物線上時，連接交于點D．如圖1．當?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標及的最大值；
(3)過點P作x軸的垂線交直線于點M，連接，將沿直線翻折，當點M的對應點恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點M的坐標．
【答案】(1)；(2)點P的坐標為；的最大值為；(3)點M的坐標為：，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）過點P作軸，交于點Q，求出直線的解析式為，設(shè)點P的坐標為，則點，得出，根據(jù)軸，得出，根據(jù)，求出點P的坐標和最大值即可；
（3）證明，得出，設(shè)，，得出，，根據(jù)，得出，求出或或，根據(jù)當時，點P、M、C、四點重合，不存在舍去，求出點M的坐標為，．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：過點P作軸，交于點Q，如圖所示：

設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)點P的坐標為，則點，
∵點P在直線上方的拋物線上，
∴，
∵軸，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴當時，有最大值，
此時點P的坐標為．
（3）解：根據(jù)折疊可知，，，，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，，
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴或，
解得：或或，
∵當時，點P、M、C、四點重合，不存在，
∴，
∴點M的坐標為，．

【點睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的綜合應用，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，兩點間距離公式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出輔助線或畫出圖形．
22．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點A時停止，以為邊作正方形設(shè)點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當點P由點C運動到點B時，
①當時，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．
(2)當點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．
(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應的正方形的面積均相等．
①_______；
②當時，求正方形的面積．
【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進而求出，則；
（2）先由函數(shù)圖象可得當點P運動到B點時，，由此求出當時，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進而求出當時，求得t的值即可得答案；
（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，繼而得答案．
【詳解】（1）解：∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，
∴當時，點P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：3；
②∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在勻速運動，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由圖2可知當點P運動到B點時，，
∴，
解得，
∴當時，，
由圖2可知，對應的二次函數(shù)的頂點坐標為，
∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，
在中，當時，解得或，
∴；
（3）解：①∵點P在上運動時， ，點P在上運動時，
∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，
設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，
∴，
∴，
∵存在3個時刻（）對應的正方形的面積均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案為：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，．求證：；
【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點．
①求點的坐標；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，已知點，，連接．拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的橫坐標．

【答案】（1）見解析； （2）①；②直線的解析式為；（3）或
【分析】[建立模型]（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；
[類比遷移] （2）①過點作軸于點，同（1）的方法，證明，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，求得，，進而可得點的坐標；
②由，設(shè)直線的解析式為，將點代入得直線的解析式為；
[拓展延伸]（3）根據(jù)解析式求得，；①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作，于點，證明，根據(jù)得出，設(shè)，則，求得點，進而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；②當點在軸的上方時，如圖所示，過點作，于點，過點作軸，交軸于點，過點作于點，同①的方法即可求解．
【詳解】[建立模型]（1）證明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[類比遷移]（2）如圖所示，過點作軸于點，

∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，
當時，，即，
當時，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，設(shè)直線的解析式為，
將代入得：
解得：
∴直線的解析式為，
（3）∵拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，
當時，，
解得：，
∴，；
①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作，于點，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），；
②當點在軸的上方時，如圖所示，過點作于點，過點作軸，交軸于點，過點作于點，

同理可得，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），，
綜上所述，的橫坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．
(1)求拋物線的表達式；
(2)當時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．
【答案】(1)；(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）作交拋物線于點，垂足為，連接，，由點在上，可知，，連接，得出，則，當時，，進而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；
（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴；
（2）四邊形是平行四邊形．
理由：如圖1，作交拋物線于點，垂足為，連接，．
∵點在上，
∴，，
連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）如圖2，由題意得，，連接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（當，，三點共線時最短），
∴的最小值為，
∵，
∴，
即的最小值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點，當時，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標相等．求長的取值范圍．
【答案】(1)0；(2)①②
【分析】（1）根據(jù)，且時，總有，變形后即可得到結(jié)論；
（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由題可知：
時，總有，
．
則，
∴，
∴總成立，且，
；
（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍）．
（ii）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，
解得或（舍），
綜上，，
②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍）．
（ii）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或0（舍）．
綜上，
如圖，由圓的性質(zhì)可知，點E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，直線交拋物線于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點，交軸于點．

(1)求點的坐標；
(2)是線段上一點，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點是直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標．
【答案】(1)，，；(2)①證明見解析，②點的坐標為或
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點及一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點求解即可；
（2）①設(shè)然后利用勾股定理求解，，過點作軸，垂足為．再由等腰三角形及各角之間的關(guān)系即可證明；②根據(jù)題意得出，設(shè)點的坐標為，根據(jù)題意得．分兩種情況分析：（i）當點在直線的左側(cè)拋物線上時，．（ii）當點在直線的右側(cè)拋物線上時，．求解即可．
【詳解】（1）解：∵直線交軸于點，交軸于點，
當時，
，
當時，
．
∵直線交拋物線于兩點，
，
，解得．
∵點在點的左側(cè)，
∴點的橫坐標為3，
當時，．
；
（2）如圖，

①拋物線交軸于點A，
當時，．
,
在中，，
由勾股定理得，
設(shè)
，
．
，
，
，
．
，
．
是等腰直角三角形，
．
過點作軸，垂足為．
，
是等腰直角三角形，
是直角三角形．
②平分
軸．
，
．
設(shè)點的坐標為，根據(jù)題意得．
（i）當點在直線的左側(cè)拋物線上時，．
過點作軸，垂足為．
，
．
，
在中，
，
，
（舍去）．
當時，
（ii）當點在直線的右側(cè)拋物線上時，．
過點作軸，垂足為．
，
在中，
，
，
（舍去）．
當時，
∴點的坐標為或．
【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題，特殊三角形問題及解三角形，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
27．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段上，以點C為頂點的拋物線M：經(jīng)過點B．
(1)求點A，B的坐標；
(2)求b，c的值；
(3)平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．
【答案】(1)，；(2)，；(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意，分別將，代入直線即可求得；
（2）設(shè)，得到拋物線的頂點式為，將代入可求得，進而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；
（3）根據(jù)題意，設(shè)，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點，點向下平移的距離相同，即列式求得，，然后得到拋物線N解析式為：，將代入可得，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，y軸交于點B，
當時，代入得：，故，
當時，代入得：，故，
（2）設(shè)，
則可設(shè)拋物線的解析式為：，
∵拋物線M經(jīng)過點B，
將代入得：，
∵，
∴，
即，
∴將代入，
整理得：，
故，；
（3）如圖：
∵軸，點P在x軸上，
∴設(shè)，，
∵點C，B分別平移至點P，D，
∴點，點向下平移的距離相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，
將代入可得：，
∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．
【點睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出m和a的值．
28．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．

(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．
①________；
②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；
③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．
(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．
【答案】(1)①1；②；③是，值為1；(2)或
【分析】（1）①當，，可知不在二次函數(shù)圖象上，將代入，求解值即可；②由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，則軸，，根據(jù)，即，計算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點，，，則，證明，則，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，計算求解即可1；
（2）由題意知，分①當在軸右側(cè)時，②當在軸左側(cè)時，③當在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，三種情況求解；①當在軸右側(cè)時，，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，解得；②當在軸左側(cè)時，求解過程同（2）①；③當在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且不垂直于軸時，同理可求，當在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，．
【詳解】（1）①解：當，，
∴不在二次函數(shù)圖象上，
將代入，解得，
故答案為：1；
②解：由①知，二次函數(shù)解析式為，
設(shè)菱形的邊長為，則，，
由菱形的性質(zhì)得，，，
∴軸，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的邊長為；
③解：如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，

由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由題意知，，，，則，，
設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，
∴，
∴，
∴是定值，值為1；
（2）解：由題意知，分①當在軸右側(cè)時，②當在軸左側(cè)時，③當在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，三種情況求解；
①當在軸右側(cè)時，
∵，
同理（1）③，，，
由題意知，，，，則，，
設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化簡得，
∵
∴；
②當在軸左側(cè)時，
同理可求；
③當在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且不垂直于軸時，
同理可求，
當在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且垂直于軸時，
由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，；
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
29．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

(1)請求出拋物線的表達式．
(2)如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；；(3)點的坐標為或
【分析】（1）把代入，求出即可；
（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點E作于點R，過點F作軸于點I，證明可得故可得，；
（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過點作軸于點，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點作軸交于點，交拋物線于點，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進而可求得點的坐標．
【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點，交軸于點，
∴把代入，得，
解得，
∴解析式為：；
（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點E作于點R，過點F作軸于點I，

∴
∵四邊形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可證明：
∴
∴
∴；
（3）解：拋物線上存在點，使得．
，
拋物線的頂點坐標為，
將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，
拋物線的解析式為，
拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，
，，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得，
解得：，
直線的解析式為，
過點作軸于點，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點作軸交于點，交拋物線于點，連接，
則，，，

，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即點與點重合時，，
；
，，
，
，
點與點關(guān)于直線對稱，
；
綜上所述，拋物線上存在點，使得，點的坐標為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)頂點式坐標公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．
（2）利用拋物線的解析式可知道點坐標，從而求出直線的解析式，從而設(shè)，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用表達長度，在觀察圖形可知，將其和長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和可求出，再利用相似和可推出，設(shè)，即可求出直線的解析式，用表達點的橫縱坐標，最后代入拋物線解析式，求出的值即可求出點橫坐標．
【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，
，，，
，
，
拋物線的解析式為：．
故答案為：．
（2）解：過點作軸于點，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
，
，
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
在直線上，，
在直線上，的解析式為：，
，
．
，
．
，
．
，，
當時， 有最大值，且最大值為： ．
故答案為：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
．
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
，在直線上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
點橫坐標為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應用題，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵在于能否將面積問題和二次函數(shù)有效結(jié)合．
31．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；
（3）分，，分別為對角線，三種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
設(shè)直線，
則：，解得：，
∴，
當時，，
∴；
作點關(guān)于軸的對稱點，連接，
則：，，
∴當三點共線時，有最小值為的長，

∵，，
∴，
即：的最小值為：；
（3）解：存在；
∵，
∴對稱軸為直線，
設(shè)，，
當以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：
①為對角線時：，

∴，
當時，，
∴，
∴；
②當為對角線時：，

∴，
當時，，
∴，
∴；
③當為對角線時：，

∴，
當時，，
∴，
∴；
綜上：當以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；
(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線：；直線：；(2)或或；(3)，或，或，
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點代入求，進而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點，的坐標代入求，，進而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對等腰中相等的邊進行分類討論，進而列方程求解；
（3）對點在點左側(cè)或右側(cè)進行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進而可得，的坐標．
【詳解】（1）解：拋物線過點，，
拋物線的表達式為，
將點代入上式，得，
．
拋物線的表達式為，即．
設(shè)直線的表達式為，
將點，代入上式，
得，
解得．
直線的表達式為．
（2）解：點在直線上，且，
點的坐標為．
，，．
當為等腰三角形時，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點與點相對應，
或．
①若點在點左側(cè)，
則，，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當，即時，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點在點右側(cè)，
則，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當，即時，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標系中兩點距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
33．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，的最大值為，；(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)， 可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設(shè)（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當時，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，
∵拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過，
直線解析式為，
當時，，
；
綜上所述：存在，的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點，求的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且，點D在上且在第二象限內(nèi)，點在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點，．

①求證：．
②當點在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．
【答案】(1)；(2)①見解析；②
【分析】（1）依題意得出二次函數(shù)解析式為，該二次函數(shù)的圖像過點，代入即可求解；
（2）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)題意可得，，由①可得，進而得出，由已知可得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，將代入，解關(guān)于的方程，進而得出，可得對稱軸為直線，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴二次函數(shù)解析式為，
∵該二次函數(shù)的圖像過點，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半徑長為線段的長度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，
∴是方程的兩個根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，解得：（正值舍去）
∴，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；
(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設(shè)點的橫坐標為．
①當時，求的值；
②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，點的坐標為；(2)①2或3或；②，S的最大值為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式，再求得點C的坐標即可；
（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；
②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：由得，當時，．
解得．
∵點A在軸正半軸上．
∴點A的坐標為．
設(shè)直線的函數(shù)表達式為．
將兩點的坐標分別代入，
得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達式為．
將代入，得．
∴點C的坐標為；
（2）①解：點在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．
∴點的坐標分別為．
∴．
∵點的坐標為，
∴．
∵，
∴．
如圖，當點在直線上方時，．

∵，
∴．
解得．
如圖2，當點在直線下方時，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
綜上所述，的值為2或3或；
②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，
∴．
∵點在直線上方，
∴．
∵軸于點，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四邊形為平行四邊形．
∵軸，
∴四邊形為矩形．
∴．
即．
∵，
∴當時，S的最大值為．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；
(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；
(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
【答案】(1)；(2)的值為2或；(3)點在定直線上
【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、兩點的坐標，令求出值可得點坐標，即可得答案；
（2）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分別列方程求出值即可得答案；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得解析式，聯(lián)立直線與解析式可得點坐標，即可得出中點的坐標，設(shè)，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，同理得出直線的解析式為，聯(lián)立兩直線解析式可得，設(shè)點在直線上，把點代入，整理比較系數(shù)即可得出、的值即可得答案，也可根據(jù)點的縱坐標變形得出橫坐標與縱坐標的關(guān)系，得出答案．
【詳解】（1）∵拋物線解析式為，
∴當時，，當時，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：是直線與拋物線的交點，
，
①如圖，若時，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如圖，若時．過作軸于點．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

綜上，符合題意的的值為2或．
（3）解：∵將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點，
∴，
∵直線的解析式為，
∴聯(lián)立直線與解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中點，
∴，
∴，
設(shè)，直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為，
∵直線經(jīng)過點，
∴
同理，直線的解析式為；直線的解析式為．
聯(lián)立，得，
解得：．
∵直線與相交于點，
．
設(shè)點在直線上，則，①
整理得，，
比較系數(shù)得：，
解得：，
∴當時，無論為何值時，等式①恒成立．
∴點在定直線上．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)圖象的平移及相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
37．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；
(2)求證：；
(3)直線EA交x軸于點．將經(jīng)過B，C兩點的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．
①若直線與拋物線有唯一交點，求t的值；
②若拋物線的頂點P在直線上，求t的值；
③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點D在拋物線上，求點D的坐標．
【答案】(1)等腰直角三角形；(2)詳見解析；(3)①；②；③
【分析】（1）由得到，又由，即可得到結(jié)論；
（2）由，得到，又有，，利用即可證明；
（3）①求出直線的解析式和拋物線的解析式，聯(lián)立得，由即可得到t的值；
②拋物線向左平移2個單位得到拋物線，則拋物線的頂點，將頂點代入得到，解得,根據(jù)即可得到t的值；
③過點E作軸，垂足為M，過點D作軸，垂足為N，先證明，則，設(shè),由得到,則,求得,得到，由拋物線再向下平移個單位，得到拋物線,把代入拋物線,得到,解得,由，得,即可得到點D的坐標．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形
（2）如圖，

∵，，
，
，
∵，
；
（3）①設(shè)直線的解析式為，
，
∴，
，
將代入拋物線得，
，
解得，
，
直線與拋物線有唯一交點
∴聯(lián)立解析式組成方程組解得
②∵拋物線向左平移2個單位得到，
∴拋物線，
拋物線的頂點，
將頂點代入，
，解得,
∵，
；
③過點E作軸，垂足為M，過點D作軸，垂足為N,

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的解析式為，
∴設(shè),
∴，
軸,
∴,
∴，
,
,
,
∴，，
,
拋物線再向下平移個單位，得到拋物線，
∴拋物線,
代入拋物線,
,
解得,
由，得,
∴，
．
【點睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性較強，熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求的值；
(3)如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)的周長等于，以及為定長，得到當?shù)闹底钚r，的周長最小，根據(jù)拋物線的對稱性，得到關(guān)于對稱軸對稱，則：，得到當三點共線時，，進而求出點坐標，即可得解；
（3）求出點坐標為，進而得到，得到，分點在點上方和下方，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于點，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，當時，，
∴，拋物線的對稱軸為直線
∵的周長等于，為定長，
∴當?shù)闹底钚r，的周長最小，
∵關(guān)于對稱軸對稱，
∴，當三點共線時，的值最小，為的長，此時點為直線與對稱軸的交點，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①當點在點上方時：
過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標為2，
設(shè)點橫坐標為，
則：，
解得：，
∴或；
②當點在點下方時：設(shè)與軸交于點，
則：，
設(shè)，
則：，，
∴，解得：，
∴，
設(shè)的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
聯(lián)立，解得：或，
∴或；
綜上：或或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題．
39．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點A的坐標為_____，______；
(2)如圖1，當時，求點P的坐標；
(3)如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F(xiàn)分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．
【答案】(1)，2，，；(2)；(3)，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、，從而可得，，由，可得，求得，在中，根據(jù)正切的定義求值即可；
（2）過點C作軸，交于點D，過點P作軸，交y軸于點E， 由，即，再由，可得，證明，可得，設(shè)點P坐標為，可得，再進行求解即可；
（3）①作，且使，連接．根據(jù)證明，可得，即Q，F(xiàn)，H共線時，的值最?。饔邳cG，設(shè)，則，根據(jù)求出點Q的坐標，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作軸，交于點T，求出解析式，設(shè)，，利用三角形面積公式表示出S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵拋物線與x軸交于A、兩點，
∴時，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案為：，2，，；
（2）解：過點C作軸，交于點D，過點P作軸，交y軸于點E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)點P坐標為，則，，
∴，解得：（舍），，
∴點P坐標為．

（3）解：①如圖2，作，且使，連接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F(xiàn)，H共線時，的值最小．作于點G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如圖3，作軸，交于點T，待定系數(shù)法可求解析式為，
設(shè)，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴．

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合、二次函數(shù)與x軸的交點、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)、最值問題、二次函數(shù)最值、用分割法求三角形面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標．
【答案】(1)；(2)；(3)點為或或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點的橫坐標，表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)題意，分別求得，①當為對角線時，，②當為邊時，分，，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：∵拋物線與直線交于兩點，（點在點的右側(cè)）
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∴，
∵點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標為．
則，，
∴，當時，取得最大值為，
∵，
∴當取得最大值時，最大，
∴，
∴面積的最大值；
（3）∵拋物線與軸交于點，
∴，當時，，即，
∵，
∴,
，，
①當為對角線時，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中點重合，
∴，
解得：，
∴，
②當為邊時，
當四邊形為菱形，

∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中點重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
當時；
如圖所示，即四邊形是菱形，

點的坐標即為四邊形為菱形時，的坐標，
∴點為或，
綜上所述，點為或或或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細心的計算是解題的關(guān)鍵．
41．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設(shè)與交于點，過點作于點，證明，設(shè)，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．
【詳解】（1）解：將點，，代入
得
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵點，，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
如圖所示，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點在拋物線上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如圖所示，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點在拋物線上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
當點與點重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此時，
綜上所述，或或；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，
∵點，，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對于，當時，，即，
對于，當時，，即，
∵在拋物線上，則
∴
∴為定值．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
42．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；
(3)如圖②，當點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當m為何值時，面積最大，并求出最大值．
【答案】(1)；(2)點Q坐標，或或；(3)時，有最大值，最大值為
【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）由二次函數(shù)，求得點，設(shè)點，點，分類討論：當為邊，為對角線時，當為邊，為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；
（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，
可證，；運用待定系數(shù)法求直線解析式，直線 解析式；設(shè)點，，則，，，，運用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時，最大值為．
【詳解】（1）將，代入，得
，解得
∴拋物線解析式為：
（2）二次函數(shù)，當時，
∴點
設(shè)點，點，
當為邊，為對角線時，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
點Q坐標；
當為邊，為對角線時，
同理得，
解得，或，
∴
∴點Q坐標或
綜上，點Q坐標，或或；
（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
設(shè)直線的解析式為：
則，解得
∴直線：
同理由點，，可求得直線 ：
設(shè)點，，
則，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴時，，有最大值，最大值為．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點運動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．
①當點為拋物線頂點時，求的面積；
②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)0或2或；(2)①6，②存在，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標軸交點的情況即可求出值．
（2）①根據(jù)和的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標，從而求出長度，再利用和的坐標點即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點坐標，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．
②觀察圖形，用值表示出點坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點式，利用取值范圍即可求出的最小值．
【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，
，
，
，
當函數(shù)為一次函數(shù)時，，
．
當函數(shù)為二次函數(shù)時，
，
若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與軸，軸分別只有一個交點時，
，
．
當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點， 即其中一點經(jīng)過原點，
，
，
．
綜上所述，或0．
故答案為：0或2或．
（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點，直線與交于點．

依題意得：，解得：
拋物線的解析式為：．
點為拋物線頂點時，，，
，，
由，得直線的解析式為，
在直線上，且在直線上，則的橫坐標等于的橫坐標，
，
，，
，
．
故答案為：6．
②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，，
當時，有最大值，最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標軸交點問題，以及二次函數(shù)最值問題．
44．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若，且，求證：三點共線；
(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
【答案】(1)；(2)見解析；(3)的面積為定值，其面積為2
【分析】（1）將代入，即可解得；
（2），中點為，且，可求出過兩點所在直線的一次函數(shù)表達式，為拋物線上的一點，所以，此點在，可證得三點共線；
（3）設(shè)與分別關(guān)于直線對稱，則關(guān)于直線對稱，且與的面積不相等，所以的面積不為定值；如圖，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值；故的面積為定值，由（2）求出，此時的面積為2．
【詳解】（1）解：因為拋物線經(jīng)過點，
所以解得
所以拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：

設(shè)直線對應的函數(shù)表達式為，
因為為中點，所以．
又因為，所以，解得，
所以直線對應的函數(shù)表達式為．
因為點在拋物線上，所以．
解得，或．
又因為，所以．
所以．
因為，即滿足直線對應的函數(shù)表達式，所以點在直線上，即三點共線；
（3）解：的面積為定值，其面積為2．
理由如下：（考生不必寫出下列理由）
如圖1，當分別運動到點的位置時，與分別關(guān)于直線對稱，此時仍有三點共線．設(shè)與的交點為，則關(guān)于直線對稱，即軸．此時，與不平行，且不平分線段，故，到直線的距離不相等，即在此情形下與的面積不相等，所以的面積不為定值．

如圖2，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值．
又因為中存在面積為定值的三角形，故的面積為定值．
在（2）的條件下，直線對應的函數(shù)表達式為，直線對應的函數(shù)表達式為，求得，此時的面積為2．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識，如何利用數(shù)形結(jié)合求得點的坐標、函數(shù)的表達式等是解題的關(guān)鍵．
45．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；
（3）根據(jù)，確定點坐標，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．
【詳解】（1）解：在直線中，當時，，當時，，
∴點，點，
設(shè)拋物線的解析式為，
把點，點代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，，
∴，
當四邊形是平行四邊形時，，
∴，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
把代入可得，
解得，
∴直線的解析式為，
又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，
∴
∴，
解得（不合題意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴點E為線段的中點，
∴點E的橫坐標為，
∵點E在直線上，
∴，
把代入中，可得，
解得（不合題意，舍去），．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．
46．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；
(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F(xiàn)，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對稱軸求出b的值，即可解答；
（2）過作x軸的垂線，垂足為H求出A和B的坐標，得到，，由，推出，解直角三角形得到的長，即可解答；
（3）求得所在直線的解析式為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再對進行化簡計算，配方成頂點式即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，
∴，
∵對稱軸為，
∴，，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，過作x軸的垂線，垂足為H，

令，
解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵對稱軸為，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）設(shè)所在直線的解析式為，
把B、C坐標代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直線與x軸所成夾角為，
設(shè)，
設(shè)所在直線的解析式為：，
把點P代入得，
∴，
令，則，
解得，
∴
∴
∵點P在直線上方，
∴，
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
47．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，其中點的橫坐標為，點的橫坐標為，拋物線過點．過作軸交拋物線另一點為點．以長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；
(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應點落在拋物線上．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②直線交拋物線于點，交拋物線于點．當點為線段的中點時，求的值；
③拋物線與邊分別相交于點，點在拋物線的對稱軸同側(cè)，當時，求點的坐標．
【答案】(1)；(2)①；②；③或
【分析】（1）根據(jù)題意得出點，,待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出，根據(jù)點的對應點落在拋物線上，可得，進而即可求解；
②根據(jù)題意得出，求得中點坐標，根據(jù)題意即可求解；
③連接，過點作于點，勾股定理求得，設(shè)點的坐標為，則，將代入，求得，求得，進而根據(jù)落在拋物線上，將代入，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，點的橫坐標為，點的橫坐標為，代入拋物線
∴當時，，則，
當時，，則,
將點，,代入拋物線，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）①解：∵軸交拋物線另一點為點，
當時，，
∴，
∵矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應點落在拋物線上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如圖所示，

∵,
∴,
∵
∴，
由①可得，
∴,的橫坐標為，分別代入 ，
∴，
∴
∴的中點坐標為
∵點為線段的中點，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如圖所示，連接，過點作于點，

則，∵
∴，
設(shè)點的坐標為，則，
將代入，
，
解得：，
當，
∴，
將代入
解得：，
∴或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
48．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)如圖1，求周長的最小值；
(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)，
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達式為，將代入求解即可；
（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，根據(jù)點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達式為，
將代入上式得：，
所以拋物線的表達式為；
（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，
∵，，，
∴，
∵O、E關(guān)于直線對稱，
∴四邊形為正方形，
∴，
連接，交于點D，由對稱性，
此時有最小值為的長，
∵的周長為，
，的最小值為10，
∴的周長的最小值為；

（3）由已知點，，，
設(shè)直線的表達式為，
將，代入中，，解得，
∴直線的表達式為，
同理可得：直線的表達式為，
∵，
∴設(shè)直線表達式為，
由（1）設(shè)，代入直線的表達式
得：，
∴直線的表達式為：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴當時，此時P點為.
．

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
49．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．
(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，；(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，；(3)當時，的最大值為
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點在拋物線上，且橫坐標為得出，進而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）滿足條件的、兩點存在，，，
解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，
過點作軸于點，過點作于點

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
當時，，此時點在點右側(cè)故舍去；
當時，.
綜上所述：，，
（3）∵向右平移8個單位長度得到拋物線
當，即
解得：
∴，
∵過，，三點
∴
在直線下方的拋物線上任取一點，作軸交于點，過點作軸于點

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵點在拋物線上，且橫坐標為
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
50．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；
(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由見詳解
【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；
（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標；
（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，
，解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，，
；
②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上圖，根據(jù)對稱性：，
③當為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標仍為；
綜上所述：的坐標為或或．
（3）解：是定值，
理由：如圖，直線經(jīng)過，
可設(shè)直線的解析式為，
、在拋物線上，
可設(shè)，，
，
整理得：，
，，
，
當時，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線的解析式為，
當時，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
當與對調(diào)位置后，同理可求；
故的定值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標，動點產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，與對應一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．
51．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點、，且經(jīng)過點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)在x軸上方的拋物線上任取一點N，射線、分別與拋物線的對稱軸交于點P、Q，點Q關(guān)于x軸的對稱點為，求的面積；
(3)點M是y軸上一動點，當最大時，求M的坐標．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的坐標，確定a值即可．
（2）設(shè)，直線的解析式為，直線的解析式為，表示出P，Q，的坐標，進而計算即可．
（3）當M是y軸與經(jīng)過A，C，M三點的圓的切點是最大計算即可.
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點、，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
∵經(jīng)過點，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如圖，當點N在對稱軸的右側(cè)時，
∵，
∴對稱軸為直線，

設(shè)，直線的解析式為，直線的解析式為，
∴
解得，
∴直線的解析式為，直線的解析式為，
當時，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如圖，當點N在對稱軸的左側(cè)時，
∵，
∴對稱軸為直線，

設(shè)，，，，
∴，
∴．
綜上所述，．
（3）當?shù)耐饨訄A與相切，切點為M時， 最大，
設(shè)外接圓的圓心為E，Q是異于點M的一點，連接，，交圓于點T，
則，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得，故，
∴最大，
設(shè)與圓交于點H，連接，，根據(jù)切線性質(zhì)，
∴，
作直徑，連接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
過點E作，垂足為F，過點C作，垂足為G，交于點P，
根據(jù)垂徑定理，得，四邊形是矩形，
∴，

根據(jù)，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，
∴當最大時，．
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
52．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．
(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．
(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)最大值為，此時；(3)或或
【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進行求解即可；
（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，則；再由得到，故當時，最大，最大值為，此時點P的坐標為；
（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進行列式求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)經(jīng)過點，
∴，即，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為；
（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點，且對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)與y軸交于點C，
∴，∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當時，最大，最大值為，
∴此時點P的坐標為；
（3）解：設(shè)，則，，
∵軸，
∴軸，即，
∴是以、為頂點的菱形的邊；
如圖3-1所示，當為對角線時，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，即軸，
∴點C與點N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴點N的坐標為，
∴，
∴；
如圖3-2所示，當為邊時，則，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-3所示，當為邊時，則，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-4所示，當為邊時，則，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如圖3-5所示，當為對角線時，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，這與題意相矛盾，
∴此種情形不存在
如圖3-6所示，當為對角線時，設(shè)交于S，

∵軸，
∴，
∵，
∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，
∴此種情況不存在；
綜上所述，或或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
53．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當時，求點的坐標；
(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數(shù)表達式；
(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)，見解析
【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進而得出頂點坐標，根據(jù)對稱性，即可求解．
（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，，則拋物線．進而得出可得，①當時，如圖1，過作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當時，此情況不存在．
（3）由（2）知，當時，，此時的面積為1，不合題意舍去．當時，，此時的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點，在中可求得．在中可求得．易知當三點共線時，取最小值，最小值為．
【詳解】（1）∵，
∴拋物線的頂點坐標．
∵，點和點關(guān)于直線對稱．
∴．
（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，
∴，拋物線．
∴當時，可得．
①當時，如圖1，過作軸，垂足為．
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵，
∴．
∵直線軸，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵點在圖像上，
∴．
解得或．
∵當時，可得，此時重合，舍去．當時，符合題意．
將代入，
得．

②當時，如圖2，過作，交的延長線于點．
同理可得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵點在圖像上，
∴．解得或．
∵，
∴．此時符合題意．
將代入，得．
③當時，此情況不存在．
綜上，所對應的函數(shù)表達式為或．
（3）如圖3，由（2）知，當時，，
此時
則，，則的面積為1，不合題意舍去．
當時，，
則，
∴，此時的面積為3，符合題意
∴．
依題意，四邊形是正方形，
∴．
取的中點，在中可求得．
在中可求得．
∴當三點共線時，取最小值，最小值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．
54．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．
同學們，請你結(jié)合所學的數(shù)學解決下列問題．
在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設(shè)函數(shù)（實數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．
(1)求證：無論取什么實數(shù)，圖象與軸總有公共點；
(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析；(2)或或或
【分析】（1）分與兩種情況討論論證即可；
（2）當時，不符合題意，當時，對于函數(shù)，令，得，從而有或，根據(jù)整數(shù)，使圖象與軸的公共點中有整點，即為整數(shù)，從而有或或或或或或或，解之即可．
【詳解】（1）解：當時，，函數(shù)為一次函數(shù)，此時，令，則，解得，
∴一次函數(shù)與軸的交點為；
當時，，函數(shù)為二次函數(shù)，
∵，
∴
，
∴當時，與軸總有交點，
∴無論取什么實數(shù)，圖象與軸總有公共點；
（2）解：當時，不符合題意，
當時，對于函數(shù)，
令，則，
∴，
∴或
∴或，
∵，整數(shù)，使圖象與軸的公共點中有整點，即為整數(shù)，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形相結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
55．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標；
(3)設(shè)直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．
【答案】(1)；(2)面積的最大值為，此時點的坐標為；(3)見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）如圖所示，過點作軸于點，交于點，得出直線的解析式為，設(shè)，則，得出，當取得最大值時，面積取得最大值，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)、，的中點坐標為，聯(lián)立，消去，整理得：，得出，則，設(shè)點到的距離為，則，依題意，，，得出，則，，點總在上，為直徑，且與相切，即可得證．
【詳解】（1）解：將代入，得
，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：如圖所示，過點作軸于點，交于點，

由，令，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴
，
當時，的最大值為
∵
∴當取得最大值時，面積取得最大值
∴面積的最大值為，
此時，
∴
（3）解：設(shè)、，的中點坐標為，
聯(lián)立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)點到的距離為，則，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴

∴，
∴點總在上，為直徑，且與相切，
∴為直角．
∴無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，切線的性質(zhì)與判定，直角所對的弦是直徑，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
56．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．

(1)求a的值．
(2)將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線的距離最大，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，理由見詳解；(3)存在點P，直線的解析式為或．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)與軸交于點，設(shè)，過點作軸交于點，作于點，先證明是等腰直角三角形，再表示出的長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；
（3）分兩種情況討論，當點在直線下方時，與當點在直線上方時．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于點，
得，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：
設(shè)與軸交于點，由（1）中結(jié)論，得拋物線的解析式為，
當時，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
設(shè)，過點作軸交于點，作于點，

，即是等腰直角三角形，
設(shè)直線的解析式為，代入，
得，解得，
故直線的解析式為，
將直線向下平移個單位長度，得直線的解析式為，
，
，
當時，有最大值，
此時也有最大值，；
（3）解：存在點P，理由如下：
當點在直線下方時，
在軸上取點，作直線交拋物線于（異于點）點，

由（2）中結(jié)論，得，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，代入點，
得，解得，
故直線的解析式為；
當點在直線上方時，如圖，在軸上取點，連接，過點作交拋物線于點，

∴，
∴，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，代入點，
得，解得，
故設(shè)直線的解析式為，
，且過點,
故設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為．
綜上所述：直線的解析式為或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
57．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點為，與軸相交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸相交于點，拋物線上的點的橫坐標為，且，過點作，垂足為．
(1)若．
①求點和點的坐標；
②當時，求點的坐標；
(2)若點的坐標為，且，當時，求點的坐標．
【答案】(1)①點的坐標為；點的坐標為；②點的坐標為；(2)
【分析】（1）①待定系數(shù)法求解析式，然后化為頂點式，即可求得的坐標，令，解方程，即可求得的坐標；
②過點作軸于點，與直線相交于點．得出．可得中，．中，．設(shè)點，點．根據(jù)，解方程即可求解；
（2）根據(jù)題意得出拋物線的解析式為．得點，其中．則頂點的坐標為，對稱軸為直線．過點作于點，則，點．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，過點作軸于點，與直線相交于點，則點，點，點．根據(jù)已知條件式，建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：①由，得拋物線的解析式為．
∵，
∴點的坐標為．
當時，．解得．又點在點的左側(cè)，
∴點的坐標為．
②過點作軸于點，與直線相交于點．

∵點，點，
∴．可得中，．
∴中，．
∵拋物線上的點的橫坐標為，其中，
∴設(shè)點，點．
得．即點．
∴．
中，可得．
∴．又，
得．即．解得(舍)．
∴點的坐標為．
（2）∵點在拋物線上，其中，
∴．得．
∴拋物線的解析式為．
得點，其中．
∵，
∴頂點的坐標為，對稱軸為直線．
過點作于點，則，點．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，過點作軸于點，與直線相交于點，
則點，點，點．
∵，
∴．
即．解得(舍)．
∴點的坐標為．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，角度問題，線段問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
58．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；
(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)，過點作交的延長線于點，則，則的坐標為，得出是等腰直角三角形，設(shè)，則，證明，相似三角形的性質(zhì)得出，則，可得，當面積是面積的3倍時，即，即，在中，，解方程即可求解；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出，證明，則，設(shè)交軸于點，過點作軸于點，求得直線的解析式為，聯(lián)立，得出，勾股定理求得的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點和點，
∴
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）∵拋物線與軸交于點，
當時，，
∴，則，
∵，
∴，，
∵點是的中點，則，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∵點和點，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
設(shè)，
如圖所示，過點作交的延長線于點，則，則的坐標為，

∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面積為，
∵的面積為
當面積是面積的3倍時
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
設(shè)交軸于點，過點作軸于點，

∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
設(shè)，則，
∴，
整理得：，
∵在線段上（與點不重合），
∴,
∴，
∴當時，取得的最大值為，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
59．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)當點在軸上時，求點的坐標；
(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．
(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
【答案】(1)；頂點坐標為；(2)；(3)或或或；(4)或或
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；
（2）當時，，求得拋物線與軸的交點坐標，根據(jù)拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中，得出，即可求解；
（3）①如圖所示，當，即時，②當，即時，③當，即時，④當，即，分別畫出圖形，根據(jù)最高點與最低點的縱坐標之差為，建立方程，解方程即可求解；
（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當是的中點，②同理當為的中點時，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：將點代入拋物線，得，
解得：
∴拋物線解析式為；
∵，
∴頂點坐標為，
（2）解：由，
當時，，
解得：，
∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中．
∴
∴
解得：，
∵點的坐標為，
∴；
（3）①如圖所示，當，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，
∵頂點坐標為，
則縱坐標之差為
依題意，
解得：；
②當，即時，

∵，即，
依題意，，
解得：或（舍去），
③當，即時，

則，
解得：或（舍去），
④當，即，

則，
解得：（舍去）或，
綜上所述，或或或；
（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，
∴
∴
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴
∵,
①當是的中點，如圖所示

則，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理當為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，
解得：，
③如圖所示，

設(shè)，則，
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵關(guān)于對稱，
∴，
解得：，
綜上所述，或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
60．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）
(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數(shù)；
(3)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點（直線與不重合），連接，直線與交于點．當時，點的橫坐標是否為定值，請說明理由．
【答案】(1)(2)；(3)，理由見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）待定系數(shù)法求得直線直線的解析式為：，直線的解析式為：．聯(lián)立兩直線解析式，得出點的坐標為．方法1：由題意可得：．過點E作軸于點F．計算得出，又，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；方法2：如圖2，延長與軸交于點，過點作于點，過點作軸于點．等面積法求得，解即可求解．方法3：如圖2，過點作于點．根據(jù)，得出，進而得出；
（3）設(shè)點的坐標為，點的坐標為．由點，點，可得到直線的解析式為：．得出點的坐標可以表示為．由點，點，得直線的解析式為：．同理可得可得到直線的解析式為：．聯(lián)立可得，則點的橫坐標為定值3．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵點，點，
設(shè)直線的解析式為：．
∴，
∴，
直線的解析式為：．
同上，由點，可得直線的解析式為：．
令，得．
∴點的坐標為．
方法1：由題意可得：．
∴．
如圖1，過點E作軸于點F．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
即．

方法2：如圖2，延長與軸交于點，過點作于點，過點作軸于點．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
，
∴．
∴
∴，即．

方法3：如圖2，過點作于點．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）設(shè)點的坐標為，點的坐標為．
∵直線與不重合，
∴且且．
如圖3，由點，點，

可得到直線的解析式為：．
∵，
∴可設(shè)直線的解析式為：．
將代入，
得．
∴．
∴點的坐標可以表示為．
設(shè)直線的解析式為：，
由點，點，得
，
解得．
∴直線的解析式為：．
同上，由點，點，
可得到直線的解析式為：．
∴．
∴．
∴．
∴點的橫坐標為定值3．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
61．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究
如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且，連接，．

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；
(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接，，當時，求點P的坐標；
(3)點D是線段(包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與相似，請直接寫出點Q的坐標；
(4)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，在拋物線平移過程中，當?shù)闹底钚r，新拋物線的頂點坐標為______，的最小值為______．
【答案】(1)，；(2)；(3)，；(4)，
【分析】（1）根據(jù)點M在y軸負半軸且可得點M的坐標為，利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）過點P作軸于點F，交線段AC于點E，用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為，設(shè)點P的橫坐標為，則，，故，先求得，從而得到，解出p的值，從而得出點P的坐標；
（3）由可知，要使點Q，N，C為頂點的三角形與相似，則以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形，從而分和兩種情況討論，①當，可推導B與點Q重合，，即此時符合題意，利用求拋物線與x軸交點的方法可求出點Q的坐標；②當時，可推導，即此時符合題意，再證明，從而得到，再設(shè)點的橫坐標為q，則，，從而得到，解得q的值，從而得到點Q的坐標，最后綜合①②即可；
（4）設(shè)拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M右平移m個單位長度得到點，由平移的性質(zhì)可知，，的值最小就是最小值，作出點C關(guān)于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，利用兩點間的距離公式求這個長度，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而確定的坐標，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點式，從而得到其頂點，繼而確定新拋物線的頂點．
【詳解】（1）解：∵點M在y軸負半軸且，
∴
將，代入，得
解得
∴拋物線的解析式為
（2）解：過點P作軸于點F，交線段AC于點E，

設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得
，解得，
∴直線AC的解析式為
設(shè)點P的橫坐標為
則，，
∴
∵，∴，解得，
∴
（3），，
補充求解過程如下：
∵在中，，以點Q，N，C為頂點的三角形與相似，
∴以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形，
又∵軸，直線交直線于點N，
∴，即點N不與點O是對應點．
故分為和兩種情況討論：
①當時，由于軸，
∴軸，即在x軸上，
又∵點Q在拋物線上，
∴此時點B與點Q重合，
作出圖形如下：

此時，
又∵
∴，即此時符合題意，
令，
解得：(舍去)
∴點Q的坐標，也即點B的坐標是．
②當時，作圖如下：

∵軸，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，即此時符合題意，
∵，
∴，即
∵，，
∴
∴，
設(shè)點的橫坐標為q，則，，
∴，
∴，
解得：(舍去)，
∴，
∴點Q的坐標是
綜上所述：點Q的坐標是，；
（4），，
補充求解過程如下：
設(shè)拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，
將點M向右平移m個單位長度得到點，作出圖形如下：

由平移的性質(zhì)可知，，
∴的值最小就是最小值，
顯然點在直線上運用，
作出點C關(guān)于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，

∵點C關(guān)于直線對稱的對稱的點是點，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式是：
將點，代入得：
解得：
直線的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距離是
又∵，
∴平移前的拋物線的坐標是
∴新拋物線的頂點坐標為即
故答案是：，．
【點睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何變換綜合，二次函數(shù)與相似三角形綜合，最短路徑問題，三角形面積公式等知識，難度較大，綜合性大，作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換思想是解題的關(guān)鍵，第二問的解題技巧是使用鉛錘公式計算面積，第三問的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討論問題，如果直接按相似討論，則有四種情況，可以降低分類討論的種類，第四問的技巧，是將點M向反方向移動，從而將兩個動點轉(zhuǎn)化成一個動點來解決．
62．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓練】
(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：___________，___________；
【技能訓練】
(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；
【能力提升】
(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：
(4)如圖4，點是第二象限內(nèi)一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．
【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點坐標和準線方程的定義求解即可；
（2）利用兩點間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得，然后根據(jù)，求出，進而可得，問題得解；
（3）過點作直線交于點，過點作準線交于點，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，根據(jù)兩點之間線段最短可得當，，三點共線時，的值最??；待定系數(shù)法求直線的解析式，求得點的坐標為，根據(jù)點是直線和直線m的交點，求得點的坐標為，即可求得和的值，即可求得；
（4）根據(jù)題意求得拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，過點作準線交于點，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，根據(jù)兩點之間線段最短可得當，，三點共線時，的值最?。磺蟮?，即可求得的面積．
【詳解】（1）解：∵拋物線中，
∴，，
∴拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，
故答案為：，；
（2）解：由（1）知拋物線的焦點F的坐標為，
∵點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴點P的坐標為；
（3）解：過點作直線交于點，過點作準線交于點，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當，，三點共線時，，即此刻的值最小；
∵直線與直線垂直，故設(shè)直線的解析式為，
將代入解得：，
∴直線的解析式為，
∵點是直線和拋物線的交點，
令，解得：，（舍去），
故點的坐標為，
∴，
∵點是直線和直線m的交點，
令，解得：，
故點的坐標為，
∴，
．
即的最小值為．
（4）解：∵拋物線中，
∴，，
∴拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，
過點作準線交于點，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當，，三點共線時，，即此刻的值最?。蝗鐖D：

∵點的坐標為，準線，
∴點的橫坐標為，代入解得，
即，，
則的面積為．
【點睛】本題考查了兩點間距離公式結(jié)合，兩點之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點坐標，一次函數(shù)與拋物線的交點坐標等，解決問題的關(guān)鍵是充分利用新知識的結(jié)論．
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