1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．
(3)如圖2，點是第一象限內(nèi)一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，點E為第一象限內(nèi)拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．
(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．
(3)如圖2，點是直線上的一個動點，過點的直線與平行，則在直線上是否存在點，使點與點關(guān)于直線對稱？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．
(1)求，的值；
(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個動點，連接，，設(shè)點的橫坐標為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)如圖②，在（2）的條件下，當時，連接交軸于點，點在軸負半軸上，連接，點在上，連接，點在線段上（點不與點重合），過點作的垂線與過點且平行于的直線交于點，為的延長線上一點，連接，，使，是軸上一點，且在點的右側(cè)，，過點作，交的延長線于點，點在上，連接，使，若，求直線的解析式．
5．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．

(1)求A點的坐標；
(2)如圖1，若B點關(guān)于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a的值；
(3)定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數(shù)恰好是26個，求a的取值范圍．
6．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經(jīng)過點，直線與拋物線交于B，D兩點，以為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點，直線m上每一點的縱坐標都等于1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)證明：圓C與x軸相切；
(3)過點B作，垂足為E，再過點D作，垂足為F，求的值．
7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求給出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．
要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；
(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．
(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖（2），作點關(guān)于原點的對稱點，連接，作以為直徑的圓．點是圓在軸上方圓弧上的動點（點不與圓弧的端點重合，但與圓弧的另一個端點可以重合），平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，連接，，的延長線交直線于點，求的值．
9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．
(1)求拋物線的表達式；
(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
10．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．

(1)如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點的對應點落在直線上，點的對應點落在拋物線上，求點的坐標；
(3)若拋物線與正方形恰有兩個交點，求的取值范圍．
11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．
12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點過點P作軸于點E，交于點F．

(1)求拋物線的解析式；
(2)當?shù)闹荛L是線段長度的2倍時，求點P的坐標；
(3)當點P運動到拋物線頂點時，點Q是y軸上的動點，連接，過點B作直線，連接并延長交直線于點M．當時，請直接寫出點的坐標．
13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
14．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸的交點為點和點．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)點，在軸正半軸上，，點在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．
連接，當與相似時，求的值；
當點與點重合時，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點，的對應點分別為、，連接當?shù)倪吪c線段垂直時，請直接寫出點的橫坐標．
15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點，當點的橫坐標為，點的橫坐標為時，求的值；
(3)若將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點，其中為常數(shù)，請直接寫出的取值范圍．
16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；
(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標．
17．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內(nèi)的直線與新圖象有三個公共點時，求k的值；
(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過點，與拋物線的交點分別是，，直線交于點，過點作于點，若．求點的坐標．
18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；
(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；
(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若點P在二次函數(shù)對稱軸上，當面積為5時，求P坐標；
(3)小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．
20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；
(3)若拋物線經(jīng)過點，，，且，求正整數(shù)m，n的值．
21．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為．
(1)若對于，有，求的值；
(2)若對于，，都有，求的取值范圍．
23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線交y軸于點C，過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D．

(1)求點C，D的坐標；
(2)當時，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點P為直線上方拋物線上一點，將直線沿直線翻折，交x軸于點，求點P的坐標；
(3)坐標平面內(nèi)有兩點，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點坐標；
②當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為時，求a的值．
24．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．
(1)請直接寫出，的值；
(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．
25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，頂點坐標為．拋物線交軸于點，頂點坐標為．
(1)連接，求線段的長；
(2)點在拋物線上，點在拋物線上．比較大?。篲__________；
(3)若點在拋物線上，，求的取值范圍．
26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．

(1)求點的坐標；
(2)隨著點在線段上運動．
①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；
(3)當線段的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，的面積為 ．
27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點在第一象限內(nèi)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；
(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．
28．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；
(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達式為，當時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．
29．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)當點在軸上時，求點的坐標；
(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．
(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
30．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，直線交拋物線于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點，交軸于點．

(1)求點的坐標；
(2)是線段上一點，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點是直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標．
專題13 二次函數(shù)解答壓軸題（30道）
一、解答題
1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．
(3)如圖2，點是第一象限內(nèi)一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將點，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；
（2）設(shè)，，則，則，，從而表示出點的坐標為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直線的表達式，利用，得到，求出點的坐標，再根據(jù)進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，，
，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）解：，
設(shè)，，
，
，
，
點，
，
，
點的坐標為，
點是軸上方拋物線上一點，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）解：設(shè)點，直線的解析式為，
，
，
解得：，
直線的解析式為，
當時，，
，
，
，
在拋物線中，當時，，
，
，
，
設(shè)點的坐標為，
，，
，
，
，
，
解得：，
點的坐標為，
．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計算，確定關(guān)鍵點的坐標是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，點E為第一象限內(nèi)拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．
(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把已知點坐標代入解析式即可求解函數(shù)的解析式；
（2）分別過，向軸作垂線，垂足為，，根據(jù)證得 ，從而，設(shè)點坐標，分別表示出，坐標，再列方程求解即可；
（3）將平移到，連接，則；過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，設(shè)，則，，，由可得，從而，設(shè)由 可得，， ，再求出點坐標為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點坐標 ．
【詳解】（1）解：把和代入到解析式中可得，解得，
拋物線的解析式為：；
（2）直線中，令，則，所以，直線中，令，則，所以，
分別過，向軸作垂線，垂足為，，

根據(jù)題意可得，
軸，軸，
和為直角三角形，
在和中，
，
，
，
設(shè)，
則，
，，
從而，，
則有，解得（舍去），或，
故點的橫坐標為：；
（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，
，
可設(shè)，則，
∴，
則，

設(shè)，
軸，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，則，
，，
，
代入拋物線解析式中有：，
解得：或，
當時，，
當時，．
【點睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識，解題關(guān)鍵是在坐標系中利用等線段構(gòu)造全等進行計算，構(gòu)造相似三角形解決問題．
3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．
(3)如圖2，點是直線上的一個動點，過點的直線與平行，則在直線上是否存在點，使點與點關(guān)于直線對稱？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的交點式直接得出結(jié)果；
（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對稱軸，進而求得，坐標及的長，從而得出過的直線與拋物線相切時，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進而求得的坐標，進一步求得上的高的值，進一步得出結(jié)果；
（3）分兩種情形：當點在線段上時，連接，交于，設(shè)，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進而求得點坐標；當點在的延長線上時，同樣方法得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：由題意得，
；
（2）解：如圖1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
拋物線的對稱軸是直線：，
，
，
，
，
故只需的邊上的高最大時，的面積最大，
設(shè)過點與平行的直線的解析式為：，
當直線與拋物線相切時，的面積最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖2，
當點在線段上時，連接，交于，
點和點關(guān)于對稱，
，
設(shè)，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
∴；
如圖3，
當點在的延長線上時，由上可知：，
同理可得：，
綜上所述：或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．
(1)求，的值；
(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個動點，連接，，設(shè)點的橫坐標為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)如圖②，在（2）的條件下，當時，連接交軸于點，點在軸負半軸上，連接，點在上，連接，點在線段上（點不與點重合），過點作的垂線與過點且平行于的直線交于點，為的延長線上一點，連接，，使，是軸上一點，且在點的右側(cè)，，過點作，交的延長線于點，點在上，連接，使，若，求直線的解析式．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把點，代入拋物線解析式，得方程組，求出，的值即可；
（2）過點作軸，垂足為，由（1）知，拋物線的解析式是，得，根據(jù)“是第二象限拋物線上的一個動點，點的橫坐標為”，得，根據(jù)，代入整理即可得到關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）以為一邊作，的另一邊交的延長線于點；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為；根據(jù)和，求出，根據(jù)“，，，”推理出，，得到，結(jié)合，推理出，用證，用證，推理出，根據(jù)“，”，得出，，，代入，求出，勾股定理算出，根據(jù)“，”，設(shè)，則，，代入，算出，運用勾股定理計算，計算，結(jié)合點在軸負半軸上，得，設(shè)直線的解析式為，把，代入求出完整解析式即可．
【詳解】（1）點，在拋物線上，
，
解得：，
，
（2）由（1）知，拋物線的解析式是，
是拋物線與軸的交點，
時，，
，
，
如下圖，過點作軸，垂足為，
是第二象限拋物線上一點，點的橫坐標為，
，
（3）如下圖，以為一邊作，的另一邊交的延長線于點；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為，
，由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，軸，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
又點在軸負半軸上，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入，得：，
解得：，
直線的解析式為
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，難度大，結(jié)合全等三角形、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識點，綜合運用知識、畫出輔助線、數(shù)形結(jié)合、分析與計算是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．

(1)求A點的坐標；
(2)如圖1，若B點關(guān)于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a的值；
(3)定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數(shù)恰好是26個，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）對于直線，令，求出x，即可求解；
（2）表示出點，，的坐標，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點不確定，需分類討論；
（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，各為13個，分別求出的范圍．
【詳解】（1）解：對于直線，
當時，，
∴A點的坐標為；
（2）解：聯(lián)立直線與拋物線得：
，
，
或，
，，
點關(guān)于軸的對稱點為點，
，
，
，
，
若，則，即，所以，
若，則，即，所以，
若，則，即，此方程無解．
或；
（3）解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，

，，，
，
格點數(shù)恰好是26個，
落在軸和直線上的格點數(shù)應各為13個，
落在軸的格點應滿足，即，
①若，即，
所以線段上的格點應該為，，，，
②若，，，所以線段上的格點正好13個，
綜上，或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是弄清格點只能落在軸和直線上，各為13個，并對點、進行定位．
6．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經(jīng)過點，直線與拋物線交于B，D兩點，以為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點，直線m上每一點的縱坐標都等于1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)證明：圓C與x軸相切；
(3)過點B作，垂足為E，再過點D作，垂足為F，求的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】〔1〕可設(shè)拋物線的頂點式，再結(jié)合拋物線過點，可求得拋物線的解析式；
〔2〕聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得、兩點的坐標，那么可求得C點坐標和線段的長，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；
〔3〕過點C作于點H，連接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐標可求得，那么可求得和的長，可求得其比值．
【詳解】（1）解：拋物線的圖象的頂點坐標是，
可設(shè)拋物線解析式為，
拋物線經(jīng)過點，
，
解得，
拋物線解析式為；
（2）解：聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，
解得或，
，，
為的中點，
點的縱坐標為，
，
圓的半徑為，
點到軸的距離等于圓的半徑，
圓與軸相切；
（3）解：如圖，過點作，垂足為H，連接，
由〔2〕可知，，
在中，由勾股定理可求得，
，
，
，
．
【點睛】此題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識．在〔1〕中注意利用拋物線的頂點式，在〔2〕中求得B、D的坐標是解題的關(guān)鍵，在〔3〕中求得、的長是解題的關(guān)鍵．此題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大，難度較大．
7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求給出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．
要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；
(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大?。?br>【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可；
（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴方案一中拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
∴，
∴；
∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法則，求出函數(shù)解析式．
8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．
(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖（2），作點關(guān)于原點的對稱點，連接，作以為直徑的圓．點是圓在軸上方圓弧上的動點（點不與圓弧的端點重合，但與圓弧的另一個端點可以重合），平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，連接，，的延長線交直線于點，求的值．
【答案】(1)，
(2)不存在，理由見解析
(3)
【分析】（1）將點，的坐標代入得到二元一次方程組求解可得，的值，可確定二次函數(shù)的解析式，再令，解關(guān)于的一元二次方程可得點的坐標，從而確定的值；
（2）不存在．設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，可確定方程無實數(shù)根，即可作出判斷；
（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)和點的坐標可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及判定可得，，再根據(jù)為圓的直徑，可得，然后分兩種情況：①當點與點不重合時，由平移的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再證明，可得，可得的值；②當點與點重合時，此時點與點重合，可得，，代入可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當時，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為，；
（2）不存在．理由如下：
如圖，設(shè)，
∵，，，
∴，，，
∵點在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程無實數(shù)根，
∴不存在符合條件的點；

（3）如圖，設(shè)交軸于點，
∵，，
∴，
∵點與點關(guān)于原點對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為圓的直徑，
∴，
∵平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，
①當點與點不重合時，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②當點與點重合時，此時點與點重合，
∴，，
∴，
綜上所述，的值為．

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像上點的坐標特征，一元二次方程的應用，直徑所對的圓周角為直角，對稱和平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識點，運用了分類討論的思想．找到全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．
(1)求拋物線的表達式；
(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點G的坐標為或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）方法一：連接，過點作軸交于點．先求得直線的表達式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進而求得直線的表達式為：．聯(lián)立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，
∴，解得．
∴拋物線的表達式為：．
（2）解：方法一：如下圖，連接，過點作軸交于點．
∵
，
∴．
令中，則，
解得或，
∴，
設(shè)直線為，
∵過點，，，
∴，
解得，
∴直線的表達式為：．
設(shè)，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下圖，
拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，
設(shè)，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，點的坐標為或．
如下圖，連接，，
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
∴，
∵，，，
∴，，點與點關(guān)于對稱軸對稱，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直線的表達式為：．
與拋物線表達式聯(lián)立得．
∴點坐標為．
如下圖，連接，，，
同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直線的表達式為：．
與拋物線表達式聯(lián)立得．
∴點坐標為．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．

(1)如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點的對應點落在直線上，點的對應點落在拋物線上，求點的坐標；
(3)若拋物線與正方形恰有兩個交點，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）將點，代入拋物線，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，再令，求出值，即可得到點的坐標；
（2）設(shè)直線的表達式為，將點，代入解析式，利用待定系數(shù)法求出直線的表達式為：，設(shè)點，根據(jù)平移的性質(zhì)，得到點，將點P代入，求出的值，即可得到點的坐標；
（3）根據(jù)正方形和點C的坐標，得出，，，將代入，求得，進而得到頂點坐標，分兩種情況討論：①當拋物線頂點在正方形內(nèi)部時，②當拋物線與直線交點在點上方，且與直線交點在點下方時，分別列出不等式組求解，即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線過點，
，解得：，
拋物線表達式為，
當時，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：設(shè)直線的表達式為，
直線過點，，
，解得：，
直線的表達式為：，
點在拋物線上，
設(shè)點，
，，且由平移得到，
點向左平移2個單位，向上平移3個單位得到點，

點在直線上，
將代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
當時，
點坐標為；
（3）解：四邊形是正方形，，
，，
，
點A和點D的橫坐標為，點B和點C的橫坐標為2，
將代入，得：，
，
頂點坐標為，
①如圖，當拋物線頂點在正方形內(nèi)部時，與正方形有兩個交點，

，解得：；
②如圖，當拋物線與直線交點在點上方，且與直線交點在點下方時，與正方形有兩個交點，

，解得：，
綜上所述，的取值范圍為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，函數(shù)圖像上點的坐標特征，拋物線與直線交點問題，解一元二次方程，解一元一次不等式組等知識，利用分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．
【答案】任務(wù)一：4m；任務(wù)二：；任務(wù)三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當?shù)臄S出仰角
【分析】任務(wù)一：建立直角坐標系，由題意得：拋物線的頂點坐標為，設(shè)拋物線的解析式為，過點，利用待定系數(shù)法求出解析式，當時求出x的值即可得到；
任務(wù)二：建立直角坐標系，求出任務(wù)二的拋物線解析式，得到頂點縱坐標，與任務(wù)一的縱坐標相減即可；
任務(wù)三：根據(jù)題意給出合理的建議即可．
【詳解】任務(wù)一：建立如圖所示的直角坐標系，

由題意得：拋物線的頂點坐標為，
設(shè)拋物線的解析式為，過點，
∴，
解得，
∴，
當時，，
得（舍去），
∴素材1中的投擲距離為4m；
（2）建立直角坐標系，如圖，

設(shè)素材2中拋物線的解析式為，
由題意得，過點，
∴，
解得，
∴
∴頂點縱坐標為，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的變化量為；
任務(wù)三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當?shù)臄S出仰角．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應用，求函數(shù)解析式，求拋物線與坐標軸的距離，正確理解題意建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼凳墙忸}的關(guān)鍵．
12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點過點P作軸于點E，交于點F．

(1)求拋物線的解析式；
(2)當?shù)闹荛L是線段長度的2倍時，求點P的坐標；
(3)當點P運動到拋物線頂點時，點Q是y軸上的動點，連接，過點B作直線，連接并延長交直線于點M．當時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）根據(jù)直角三角形三角函數(shù)值可得，，進而可得的周長，結(jié)合已知條件可得，設(shè)，則，，從而可得方程，解方程即可；
（3）先求出，，設(shè)，過點M作軸于點N，通過證明，求出，再求出直線的解析式為，將點代入解析式求出n的值即可．
【詳解】（1）解：將，代入，
可得，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：，，
，，
，
，，
的周長，
的周長是線段長度的2倍，
，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入可得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，則，，
，，
，
解得，（舍），
，
；
（3）解：，
當時，y取最大值，
，
直線的解析式為，
當時，，
，
設(shè)，過點M作軸于點N，

由題意知，
，
，
，
又，，
，
，，
，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
直線的解析式為，
將點代入，得，
解得或，
或．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強，難度較大，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側(cè)時，即時，當點在對稱軸右側(cè)時，即時，分別進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當時，，即，
設(shè)的解析式為：，將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，
∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當點在對稱軸左側(cè)時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側(cè)時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【點睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．
14．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸的交點為點和點．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)點，在軸正半軸上，，點在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．
連接，當與相似時，求的值；
當點與點重合時，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點，的對應點分別為、，連接當?shù)倪吪c線段垂直時，請直接寫出點的橫坐標．
【答案】(1)
(2)①或；②或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）①利用已知條件用含a的代數(shù)式表示出點E，D，F(xiàn)，G的坐標，進而得到線段的長度，利用分類討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論；
②利用已知條件，點的坐標的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得 ，和的長，利用分類討論的思想方法分三種情形討論解答利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得相應線段的長度即可得出結(jié)論；
【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸的交點為點，
解得：
此拋物線的解析式為
（2）令，則
解得：或，
∴
．
∵,
∴
四邊形為矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ當時，
∴
∴
∴
Ⅱ當時，
∴
∴
∴
綜上，當與相似時，的值為或；
點與點重合，
∴
∴
∴

四邊形為平行四邊形，
在和中，
Ⅰ、當 所在直線與 垂直時，如圖，
，，三點在一條直線上，
過點 作 軸于點 ， 則
∴此時點 的橫坐標為

Ⅱ當所在直線與垂直時，如圖，
，
，
設(shè)的延長線交于點，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，則軸，．
，
，
．
，
．
，
，
此時點的橫坐標為；
Ⅲ當所在直線與垂直時，如圖，
，，
，
，，三點在一條直線上，則，
過點作，交的延長線于點，
，
此時點的橫坐標為．
綜上，當?shù)倪吪c線段垂直時，點的橫坐標為或或．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點的坐標表示出相應線段的長度和正確利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵
15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點，當點的橫坐標為，點的橫坐標為時，求的值；
(3)若將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點，其中為常數(shù)，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)且或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的表達式即可；
（2）連接，，過點R作交的延長線于點M，分別表示出、的長，根據(jù)正切的定義即可得到的值；
（3）分和兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，代入得到
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達式為；
（2）如圖，連接，，過點R作交的延長線于點M，

∵點的橫坐標為，
∴，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵點P與點Q關(guān)于直線對稱，
設(shè)點，
則，解得，
∴點P的坐標為，
當時，，
即，
則，
∴，
，
∴，
即的值為；
（3）由表格可知點、，
將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到、，
由題意可得，二次函數(shù)，與線段只有一個交點，
當時，拋物線開口向上，頂點在下方，
當時，，
即，
解得，
∴，
當時，，即，
解得，
∴，
此時滿足題意，
當時，拋物線開口向下，頂點在上時，，
解得，
此時滿足題意，
將點代入得到，解得，
將點代入得到，解得，
∴，此時滿足題意，

綜上可知， 且或．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、不等式的應用等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；
(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)點，的最小值為
(3)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進行求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到，得到當三點共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點的坐標，兩點間的距離公式求出的長，即為的最小值；
（3）根據(jù)題意，補全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點關(guān)于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，
∴點為；
（2）當時，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點關(guān)于對稱軸的對稱點為點，
∴，
∴當三點共線時，的值最小，為的長，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點在拋物線的對稱軸上，
∴；
∴點，的最小值為；
（3）過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，

∵，
設(shè)拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，此時．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內(nèi)的直線與新圖象有三個公共點時，求k的值；
(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過點，與拋物線的交點分別是，，直線交于點，過點作于點，若．求點的坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為，
，
，
，
把，代入，得：，
解得：，
拋物線的解析式為
（2）直線表達式，
直線經(jīng)過定點，
將過點的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點情況
把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的解析式為，
新圖象表達式為：時，；或時，，
如下圖當直線與翻折上去的部分拋物線相切時，和新圖象有三個公共點，

聯(lián)立，得：，
整理得：
，
，
，
，
，
時，即如上圖所示，符合題意，
時，如下圖所示，經(jīng)過點，

不符合題意，故舍去，
如下圖，當直線經(jīng)過點時，和新圖象有三個公共點，

把代入，得：，
解得：，
綜上所述，當平面內(nèi)的直線與新圖象有三個公共點時，k的值為或
（3）在拋物線上，
設(shè)坐標為，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，代入，
點的坐標為
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點個數(shù)問題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識點，熟練掌握、綜合運用知識點，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；
(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；
(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在點F，當或或或時，以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形
【分析】（1）根據(jù)對稱軸和過點列二元一次方程組求解即可；
（2）如圖：過點M作交于D，設(shè)點，則；然后表示出，再根據(jù)是等邊三角形可得,，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形可得，進而求得即可解答；
（3）如圖可知：線段為菱形的邊和對角線，然后通過作圖、結(jié)合菱形的性質(zhì)和中點坐標公式即可解答．
【詳解】（1）解：由題意可得：
，解得：，
所以拋物線的函數(shù)表達式為；
當時，，則頂點M的坐標為．
（2）解：如圖：過點M作交于D，設(shè)點，則,
∴，
∵是等邊三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴該三角形的邊長．
（3）解：存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形
①如圖：線段作為菱形的邊，
當為菱形的對角線時，作關(guān)于直線的對稱線段交于E，連接,作點E關(guān)于的對稱點F，即為菱形，由對稱性可得F的坐標為，故存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形，此時．
當為菱形對角線時，，
設(shè)，，
則，解得：或，
∴或
②線段作為菱形的對角線時，
如圖：設(shè)
∵菱形,
∴,的中點G的坐標為，點G是的中點，
∴，解得，
∴，
設(shè)，
則有：，解得：，
∴．

綜上，當或或或時，以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若點P在二次函數(shù)對稱軸上，當面積為5時，求P坐標；
(3)小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)正確，
【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）首先求出直線解析式，然后通過設(shè)點坐標，并表示對應點坐標，從而利用“割補法”計算的面積表達式并建立方程求解即可；
（3）首先連接，，設(shè)與對稱軸交點為，對稱軸與軸交點為，連接，延長與對稱軸交于點，根據(jù)已知信息求出，然后推出，從而在中求出，確定出點坐標，再求出直線解析式，通過與拋物線解析式聯(lián)立，求出交點的坐標即可．
【詳解】（1）解：將代入得：
，解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：由拋物線可知，其對稱軸為直線，，
設(shè)直線解析式為：，
將，代入解得：，
∴直線解析式為：，
此時，如圖所示，作軸，交于點，

∵點P在二次函數(shù)對稱軸上，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∵要使得面積為5，
∴，解得：或，
∴的坐標為或；
（3）解：正確，，理由如下：
如圖所示，連接，，設(shè)與對稱軸交點為，對稱軸與軸交點為，連接，延長與對稱軸交于點，

由（1）、（2）可得，，
∴，，
根據(jù)拋物線的對稱性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線解析式為：，
將、代入解得：，
∴直線解析式為：，
聯(lián)立，解得：或（不合題，舍去）
∴小明說法正確，D的坐標為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，包括“割補法”計算面積，以及解直角三角形等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并熟練運用解三角形的方法進行數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．
20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；
(3)若拋物線經(jīng)過點，，，且，求正整數(shù)m，n的值．
【答案】(1)；
(2)；或,；
(3)，或，
【分析】（1）根據(jù)，拋物線的對稱軸為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；當時，求得的范圍，進而結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；
（2）①連接，，交對稱軸于點D，由四點共圓，得，證明，求出點D的坐標，確定直線的解析式，進而求得點的坐標，設(shè)，，勾股定理即可求解；②由①可得，則當與重合時也存在等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．
（3）根據(jù)拋物線經(jīng)過點，，，可得拋物線對稱為直線，則，則，進而令，求得的范圍，進而根據(jù)函數(shù)圖象可知或，進而分別討論求得的值，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，拋物線的對稱軸為．
∴
解得：
∴拋物線解析式為，
當時，即
解得：，
∴當時，
（2）解：①如圖所示，連接，，交對稱軸于點D，

∵，
∴，
則
∴，，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，則，
設(shè)直線的解析式為
則
解得：
所以直線的解析式為
聯(lián)立
解得：或
∴，
∵，設(shè)，
∵
∴
解得：
∴；
②由①可得，當與點重合時，為等邊三角形
則與對稱，此時，，
綜上所述；；或，；
（3）解：∵拋物線經(jīng)過點，，，
∴拋物線對稱為直線，
則，則
∴拋物線解析式為
∴頂點坐標為
當時，
解得：或
∵，且為正整數(shù)，過點，則當時，
∴或，
當時，將點代入解析式，
解得：
∵
則，
當時，將點代入解析式
解得：
∵
則，
綜上所述，，或，．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)特三角函數(shù)求角度，圓內(nèi)接四邊形對角互補，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，對稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進而求得直線的解析式為，過點作軸，交于點，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點代入，即可求解．
（3）根據(jù)題意可得，以為對角線作正方形，則，進而求得的坐標，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，則對稱軸為直線，
∴，
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）解：由，當時，，
解得：，
∴，
當時，，則，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，則，
設(shè)直線的解析式為，則，解得：，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸，交于點，

∵，
∴
∵
∴，則
設(shè)，則即，
將點代入
即
解得：或（舍去）
當時，，
∴；
（3）∵，，
則，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
設(shè)直線的解析式為，則
解得：
∴直線的解析式為
如圖所示，以為對角線作正方形，則，

∵，則，則，，
設(shè)，則，
解得：，，
則，，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為
則，，
解得：，，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，
∴解得：，則，
解得：,則，
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為．
(1)若對于，有，求的值；
(2)若對于，，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可求解；
（2）根據(jù)題意可得離對稱軸更近，，則與的中點在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)對稱性求得，進而根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵對于，有，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵拋物線的對稱軸為．
∴；
（2）解：∵當，，
∴，，
∵，，
∴離對稱軸更近，，則與的中點在對稱軸的右側(cè)，
∴，
即．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線交y軸于點C，過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D．

(1)求點C，D的坐標；
(2)當時，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點P為直線上方拋物線上一點，將直線沿直線翻折，交x軸于點，求點P的坐標；
(3)坐標平面內(nèi)有兩點，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點坐標；
②當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為時，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①，，；②
【分析】（1）先求出，再求出拋物線對稱軸，根據(jù)題意可知C、D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，據(jù)此求出點D的坐標即可；
（2）先求出，如圖，設(shè)上與點M關(guān)于直線對稱的點為，由軸對稱的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；
（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：在中，當時，，
∴，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D，
∴C、D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴；
（2）解：當時，拋物線解析式為，
當，即，解得或，
∴；
如圖，設(shè)上與點M關(guān)于直線對稱的點為，
由軸對稱的性質(zhì)可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
∴；

（3）解：①當時，拋物線解析式為，，
∴，
∴，，
當時，，
∴拋物線恰好經(jīng)過；
∵拋物線對稱軸為直線，
由對稱性可知拋物線經(jīng)過，
∴點時拋物線與正方形的一個交點，
又∵點F與點D重合，
∴拋物線也經(jīng)過點；
綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點坐標為，，；

②如圖3-1所示，當拋物線與分別交于T、D，
∵當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為，
∴點T的縱坐標為，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當拋物線與分別交于T、S，
∵當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為，
∴，
解得（舍去，因為此時點F在點D下方）

如圖3-3所示，當拋物線與分別交于T、S，
∵當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
當時，，
當 時，，
∴不符合題意；

綜上所述，．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．
(1)請直接寫出，的值；
(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．
【答案】(1)，
(2)①；②2或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進而分兩種情況討論，ⅰ當時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點
∴
解得：
∴，，；
（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．
∵，
當時，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
直線解析式為．
設(shè)，
，
，
當時，取得最大值為，
的最大值為．
②如圖2，已知，令，則，
在上取點，使得，
∴，
設(shè)，則，
則，
解得，
∴，即．
如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，
又∵，
設(shè)，則．
分類討論：ⅰ當時，則，
∴與的相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點橫坐標為．
ⅱ當時，則，
∴相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點橫坐標為．
綜上所示，點的橫坐標為2或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，頂點坐標為．拋物線交軸于點，頂點坐標為．
(1)連接，求線段的長；
(2)點在拋物線上，點在拋物線上．比較大小：___________；
(3)若點在拋物線上，，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）知道拋物線與軸的交點坐標，即可求出頂點橫坐標，從而求出結(jié)果；
（2）用兩點式設(shè)出拋物線解析式，把頂點坐標代入可得，再把，代入比較即可；
（3）根據(jù)，則點P離對稱軸更近，可得，解不等式即可．
【詳解】（1）解：由題意可得：，，
∴；
（2）解：由題意得：設(shè)拋物線：，拋物線：，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
把代入拋物線得：，
把代入拋物線得：，
∵，
∴；
（3）解： ∵，
∴點P離對稱軸更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)壓軸題，綜合性強，掌握數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．
26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．

(1)求點的坐標；
(2)隨著點在線段上運動．
①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；
(3)當線段的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，的面積為 ．
【答案】(1)，
(2)①的大小不變，理由見解析；②線段的長度存在最大值為
(3)
【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標，把化為頂點式即可求得點的坐標；
（2）①在上取點，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由，得當最小時，的長最大，即當時，的長最大，進而解直角三角形即可求解；
（3）設(shè)的中點為點，連接，過點作于點，證四邊形是菱形，得，進而證明得，再證，得即，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴頂點為，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不變，理由如下：
在上取點，使得，連接，

∵，
∴拋物線對稱軸為，即，
∵將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等邊三角形，，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴是等邊三角形，
∴，即的大小不變；
②，∵，
∴當最小時，的長最大，即當時，的長最大，
∵是等邊三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即線段的長度存在最大值為；
（3）解：設(shè)的中點為點，連接，過點作于點，

∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中點為點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中點為點，是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，題目綜合性較強，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點在第一象限內(nèi)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；
(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)
(3)點的坐標為或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對稱性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點M在直線上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵點和，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，且，則，
∴，
∵解析式的對稱軸為，
∴，
∴，
依題意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，則，
解得或，
∴，同理，直線的解析式為，
∵四邊形是正方形，
∴，，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，
∴，
∴，，
設(shè)，
∴，，則，
∵點M在直線上，
∴，解得或，
當時，，，
即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形是正方形，此時；
當時，，，
點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，
則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，
∴，即．
綜上，點的坐標為或．
【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．
28．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；
(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達式為，當時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)點的坐標為
(3)
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，將，代入即可求解；
（2）點B關(guān)于y軸的對稱點，則，求出直線與y軸的交點坐標即可；
（3）分和兩種情況，根據(jù)最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸與y軸重合，
設(shè)拋物線的解析式為，
，，
，，
將，代入，得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解： 拋物線的解析式為，點到對稱軸的距離是1，
當時，，
，
作點B關(guān)于y軸的對稱點，
則，，
，
當，，A共線時，拉桿長度之和最短，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得，
解得，
直線的解析式為，
當時，，
點的坐標為，位置如下圖所示：

（3）解：中，
拋物線開口向下，
當時，
在范圍內(nèi)，當時，y取最小值，最小值為：
則，
解得，
；
當時，
在范圍內(nèi)，當時，y取最小值，最小值為：
則，
解得，
；
綜上可知，或，
的取值范圍為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，涉及求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)對稱性求線段的最值，拋物線的增減性等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，第3問注意分情況討論．
29．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)當點在軸上時，求點的坐標；
(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．
(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
【答案】(1)；頂點坐標為
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；
（2）當時，，求得拋物線與軸的交點坐標，根據(jù)拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中，得出，即可求解；
（3）①如圖所示，當，即時，②當，即時，分別畫出圖形，根據(jù)最高點與最低點的縱坐標之差為，建立方程，解方程即可求解；
（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當是的中點，②同理當為的中點時，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：將點代入拋物線，得，
解得：
∴拋物線解析式為；
∵，
∴頂點坐標為，
（2）解：由，
當時，，
解得：，
∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中．
∴
∴
解得：，
∵點的坐標為，
∴；
（3）①如圖所示，當，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，
∵頂點坐標為，
則縱坐標之差為
依題意，
解得：；
②當，即時，

∵，即，
依題意，，
解得：或（舍去），
綜上所述，或；
（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，
∴
∴
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴
∵,
①當是的中點，如圖所示

則，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理當為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，
解得：，
③如圖所示，

設(shè)，則，
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵關(guān)于對稱，
∴，
解得：，
綜上所述，或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，直線交拋物線于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點，交軸于點．

(1)求點的坐標；
(2)是線段上一點，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點是直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標．
【答案】(1)，，
(2)①證明見解析，②點的坐標為或
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點及一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點求解即可；
（2）①設(shè)然后利用勾股定理求解，，過點作軸，垂足為．再由等腰三角形及各角之間的關(guān)系即可證明；②根據(jù)題意得出，設(shè)點的坐標為，根據(jù)題意得．分兩種情況分析：（i）當點在直線的左側(cè)拋物線上時，．（ii）當點在直線的右側(cè)拋物線上時，．求解即可．
【詳解】（1）解：∵直線交軸于點，交軸于點，
當時，
，
當時，
．
∵直線交拋物線于兩點，
，
，解得．
∵點在點的左側(cè)，
∴點的橫坐標為3，
當時，．
；
（2）如圖，

①拋物線交軸于點A，
當時，．
,
在中，，
由勾股定理得，
設(shè)
，
．
，
，
，
．
，
．
是等腰直角三角形，
．
過點作軸，垂足為．
，
是等腰直角三角形，
是直角三角形．
②平分
軸．
，
．
設(shè)點的坐標為，根據(jù)題意得．
（i）當點在直線的左側(cè)拋物線上時，．
過點作軸，垂足為．
，
．
，
在中，
，
，
（舍去）．
當時，
（ii）當點在直線的右側(cè)拋物線上時，．
過點作軸，垂足為．
，
在中，
，
，
（舍去）．
當時，
∴點的坐標為或．
【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題，特殊三角形問題及解三角形，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
如何把實心球擲得更遠？
素材1
小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．

素材2
根據(jù)體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．

問題解決
任務(wù)1
計算投擲距離
建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．
任務(wù)2
探求高度變化
求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務(wù)3
提出訓練建議
為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．
如何把實心球擲得更遠？
素材1
小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．

素材2
根據(jù)體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．

問題解決
任務(wù)1
計算投擲距離
建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．
任務(wù)2
探求高度變化
求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務(wù)3
提出訓練建議
為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．

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