★模型巧記：正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
★點(diǎn)撥：無論怎么變，只要垂直，十字架就相等.

例題精講
考點(diǎn)一、正方形中的十字模型
【例1】．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BE⊥CF于點(diǎn)G，若BC＝4，AF＝1，則GF的長為_______
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，則GF的長為 ．
【變式1-2】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)O，P是BF的中點(diǎn)，連接OP，若AB＝5，則OP的長為 ．
【變式1-3】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE＝DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE＝5，CN＝8，則線段AN的長為 ．
考點(diǎn)二：矩形中的十字模型
【例2】．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，連接BF．已知AD＝5，AB＝3，求折痕CE的長．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，把邊長為，的矩形對折，使點(diǎn)和重合，求折痕的長．
【變式2-2】．如圖，矩形ABCD中，BC：AB＝1：2，F(xiàn)、G分別為AB、DC邊上的動點(diǎn)，連接GF，沿GF將四邊形AFGD翻折至四邊形EFGP，點(diǎn)E落在BC上，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O，連接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，CP的長為 ．
【變式2-3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對角線AC、直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為 ．

實(shí)戰(zhàn)演練
1．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（ ）
A．8B．4C．4D．4
2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG．下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的F處，則CE的長為 ．
4．如圖，在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，連接BD，作CE⊥BD交AB于點(diǎn)E，垂足為F，則CE＝ ．
5．如圖，將邊長為4的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F在AD邊上，則FG＝ ．
6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長度為 ．
7．如圖，正方形ABCD的邊長是9，點(diǎn)E是AB邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)，CF＝4，連接EF，把正方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)A′，D′處，當(dāng)點(diǎn)D′落在直線BC上時，線段AE的長為 ．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求的值．
9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，且AM⊥DN，的值．
10．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．
（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；
（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長．
11．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：△ADE∽△DCF；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，成立？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值．
12．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，EF⊥GH于M，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H．
（1）【觀察猜想】如圖①，當(dāng)a＝b時，線段EF與線段GH的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）【類比探究】如圖②，當(dāng)a≠b時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由，若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由．
（3）【拓展運(yùn)用】如圖③，在四邊形ABCD中，BC＝CD＝5，∠B＝∠ADC＝90°，AE⊥DF于G，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，若＝，求AB的長．
13．華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．
某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進(jìn)一步探究．
【問題探究】
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．試猜想的值，并證明你的猜想．
【知識遷移】
如圖2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．則＝ ．
【拓展應(yīng)用】
如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．

14．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E、Q分別在邊BC、AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G、F分別在邊CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推斷的值為 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k＝時，若＝，GF＝2，求CP的長．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/3/2 20:2
6:29；用戶15．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交邊AB、CD、AD、BC于點(diǎn)E、F、G、H
【感知】如圖①，若四邊形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因?yàn)镾△AOB＝S四邊形ABCD，所以S四邊形AEOG＝S正方形ABCD（不要求證明）；
【拓展】如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且S四邊形AEOG＝S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的長（用含a、b、m的代數(shù)式表示）；
【探究】如圖③，若四邊形ABCD是平行四邊形，且S四邊形AEOG＝S?ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，則AG＝ ．
如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求證：CE＝DF．
證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
模型介紹
正方形內(nèi)部，MN⊥EF，則MN=EF
★模型巧記：正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
★點(diǎn)撥：無論怎么變，只要垂直，十字架就相等.

例題精講
考點(diǎn)一、正方形中的十字模型
【例1】．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BE⊥CF于點(diǎn)G，若BC＝4，AF＝1，則GF的長為_______
解：∵正方形ABCD的邊BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵BE⊥CF于點(diǎn)G，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF，BE＝CF，
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣1＝3，
∴CE＝3，
∴＝5，
∴BE＝5，
∵，
∴CG＝，
∴FG＝CF﹣CG＝．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，則GF的長為 3 ．
解：如圖，連接GE，作GH⊥CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)AG＝DH＝x，則FH＝x﹣2．
∵GF垂直平分AE，四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠GHF＝90°，AB＝AD＝GH，AG＝GE＝x，
∵∠BAE+∠AGF＝90°，∠AGF+∠FGH＝90°，
∴∠BAE＝∠FGH，
∴△ABE≌△GHF，
∴BE＝FH＝x﹣2，AE＝GF．
在Rt△BGE中，∵GE2＝BG2+BE2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
∴x＝5，
∴AB＝9，BE＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3．
∴FG＝3．
故答案為：3．
【變式1-2】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)O，P是BF的中點(diǎn)，連接OP，若AB＝5，則OP的長為 ．
解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵點(diǎn)P為BF的中點(diǎn)，
∴OP＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝，
∴GH＝BF＝，
故答案為：．
【變式1-3】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE＝DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE＝5，CN＝8，則線段AN的長為 4 ．
解：如圖，連接AE，AF，EN，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF為等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
設(shè)DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20，
∴AN＝＝＝4，
故答案為：4．
考點(diǎn)二：矩形中的十字模型
【例2】．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，連接BF．已知AD＝5，AB＝3，求折痕CE的長．
解：由翻折的性質(zhì)可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，
在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，
∴DF＝＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，
設(shè)BE＝x，則EF＝x，AE＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
AF2+AE2＝EF2，
即1+（3﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即BE＝，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
CE＝
＝
＝， 故答案為：．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，把邊長為，的矩形對折，使點(diǎn)和重合，求折痕的長．
解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接，
在中，，，∴，
由折疊得，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴
【變式2-2】．如圖，矩形ABCD中，BC：AB＝1：2，F(xiàn)、G分別為AB、DC邊上的動點(diǎn)，連接GF，沿GF將四邊形AFGD翻折至四邊形EFGP，點(diǎn)E落在BC上，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O，連接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，CP的長為 ．
解：過點(diǎn)P作PK⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)K，如圖所示：
由折疊的性質(zhì)得：∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠CGP+∠GHP＝90°，
∵∠PEC+∠EHC＝90°，∠GHP＝∠EHC，
∴∠PEC＝∠CGP，
∵∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠PEC＝90°，
∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，
∵tan∠CGP＝，
∴tan∠BFE＝＝，
設(shè)BE＝3x，則BF＝4x，
∴AF＝EF＝＝＝5x，
∴AB＝AF+BF＝5x+4x＝9x，
由折疊的性質(zhì)得：∠AOF＝∠EOF，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
過G作GM⊥AB于M，
則∠FMG＝90°，四邊形ADGM是矩形，
∴AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠MFG+∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝＝＝＝2，
∴AE＝2GF＝2×2＝4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即：81x2+9x2＝160，
解得：x＝或x＝﹣（舍去），
∴AB＝9×＝12，BE＝3×＝4，
∴EP＝AD＝AB＝6，CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
∴tan∠PEK＝＝tan∠CGP＝，
設(shè)PK＝3y，則EK＝4y，
在Rt△PEK中，由勾股定理得 EK2+PK2＝EP2，
即：16x2+9y2＝36，
解得：y＝或y＝﹣（舍去），
∴PK＝3×＝，EK＝4×＝，
∴CK＝EK﹣CE＝﹣2＝，
∴CP＝＝＝， 故答案為：．
【變式2-3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對角線AC、直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為 + ．
解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，
∴四邊形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，
∵BC＝AD＝10，
∴AC＝＝＝5，
∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EFH+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EFH＝∠BAC，
∴△EHF∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝，EF＝，
設(shè)BF＝x，則DE＝10﹣x﹣＝﹣x，
∵EF是定值，
∴AF+CE的值最小時，AF+EF+CE的值最小，
∵AF+CE＝+，
∴欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距離和最小，如圖1中，
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交xz軸于點(diǎn)P，連接AP，此時PA+PB的值最小，最小值為線段A′B的長，
∵A′（0，﹣5），B（，5），
∴A′B＝＝，
∴AF+CE的最小值為，
∴AF+EF+CE的最小值為+．
解法二：過點(diǎn)C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，連接C′F．
∵EF＝CC′，EF∥CC′，
∴四邊形EFC′C是平行四邊形，
∴EC＝FC′，
∵EF⊥AC，
∴AC⊥CC′，
∴∠ACC＝90°，
∵AC′＝＝＝，
∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，
∴AF+EF+CE的最小值為+．
故答案為：+．

實(shí)戰(zhàn)演練
1．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（ ）
A．8B．4C．4D．4
解：連接AE，如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，
連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，
連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．
根據(jù)對稱性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH＝＝＝4，
∴BF+DE最小值為4．
故選：D．
2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG．下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE與△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正確；
∴∠EGD＝90°，
延長CE交DA的延長線于H，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜邊的中線，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；
故選：D．
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的F處，則CE的長為 ．
解：設(shè)CE＝x，則BE＝6﹣x由折疊性質(zhì)可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，
在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，
∴AF＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
即（6﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
故答案為．
4．如圖，在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，連接BD，作CE⊥BD交AB于點(diǎn)E，垂足為F，則CE＝ ．
解：如圖，過點(diǎn)A、B分別作AC、BC的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)G，延長CE交AG于點(diǎn)H，
∵△ACB是直角三角形，
∴四邊形ACBG為矩形，
∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，AC＝4，
∴CD＝AD＝2，
∵BC＝3，
∴BD＝＝＝，
∵CE⊥BD，
∴∠CDB+∠DCH＝90°，∠CDB+∠DBC＝90°，
∴∠DCH＝∠DBC，
∴Rt△AHC∽Rt△CDB，
∴＝＝，即＝＝，
∴CH＝，AH＝；
在矩形ACBG中，AH∥CB，
∴△AEH∽△BEC，
∴＝＝，即＝，
解得：CE＝．
故答案為：．
5．如圖，將邊長為4的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F在AD邊上，則FG＝ 2 ．
解：如圖，連接AE，過點(diǎn)G作GM⊥AD于M，則四邊形ABGM中，MG＝AB，
由翻折變換的性質(zhì)得GF⊥AE，
∵∠AFG+∠DAE＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠AED，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴MG＝AD，
∴△ADE≌△GMF（AAS），
∴GF＝AE，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CD＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝＝2，
∴GF的長為2．
故答案為：2．
6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長度為 1 ．
解：方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，CP的中點(diǎn)，
∴GH＝EP＝1；
方法二：設(shè)DF，CE交于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，PC的中點(diǎn)，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF?DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴，
∴OC2＝OF?OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案為：1．
7．如圖，正方形ABCD的邊長是9，點(diǎn)E是AB邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)，CF＝4，連接EF，把正方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)A′，D′處，當(dāng)點(diǎn)D′落在直線BC上時，線段AE的長為 2或8 ．
解：分兩種情況：①當(dāng)D′落在線段BC上時，連接ED、ED′、DD′，如圖1所示：
由折疊可得，D，D'關(guān)于EF對稱，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的邊長是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，
∴CD′＝＝3，
∴BD'＝BC﹣CD'＝6，
設(shè)AE＝x，則BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+62，
∴92+x2＝（9﹣x）2+62，
解得：x＝2，
即AE＝2；
②當(dāng)D′落在線段BC延長線上時，連接ED、ED′、DD′，如圖2所示：
由折疊可得，D，D'關(guān)于EF對稱，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的邊長是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝＝3，
∴BD'＝BC+CD'＝12，
設(shè)AE＝x，則BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+122，
∴92+x2＝（9﹣x）2+122，
解得：x＝8，即AE＝8；
綜上所述，線段AE的長為2或8；
故答案為：2或8．

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求的值．
解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)G；
∵BE⊥AD，
∴BE∥CG，△BDE∽△CDG，
∴，
∵BD＝CD，
∴DE＝DG；
設(shè)AB＝2λ，則BD＝λ；
∵∠ABD＝90°，BE⊥AD，
∴AD＝，AB2＝AE?AD，
∴AE＝，DE＝AD﹣AE＝λ，
∴GE＝2DE＝；
∵EF∥CG，
∴＝．
9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，且AM⊥DN，的值．
解：過點(diǎn)D作AB的平行線，交過點(diǎn)A作BC的平行線于G，交BC的延長線于H，過點(diǎn)D作DP⊥AB于P，
則四邊形ABHG是矩形，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADG+∠CDH＝90°，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠DAG＝∠HDC，
又∵∠G＝∠H，
∴△ADG∽△DCH，
∴，
∴設(shè)CH＝x，則DG＝2x，
∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x，
∴5+x＝2（10﹣2x），
解得x＝3，
∴BH＝8，
∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM，
∴△ABM∽△DPN，
∴．
10．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．
（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；
（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長．
解：（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴＝＝＝，
∴＝＝．
解法二：證明△ABP和△DAE相似，＝＝．
（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴＝＝＝＝，
∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得x＝（負(fù)值已經(jīng)舍棄），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝3．
11．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：△ADE∽△DCF；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，成立？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值．
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDG＝90°，
又∵DE⊥CF，∠CDG+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF．
（2）解：當(dāng)∠B+∠EGC＝180°時，成立，理由如下：
在AD的延長線上取點(diǎn)M，使CM＝CF，如圖1所示：
則∠CMF＝∠CFM．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A＝∠CDM，∠FCB＝∠CFM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠BEG+∠FCB＝360°﹣（∠B+∠EGC）＝180°，
又∵∠BEG+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，
∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，
∴；
（3）解：；理由如下：
連接AC、BD，交于點(diǎn)M，作CN⊥AD于N，如圖2所示：
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝＝10，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB＝CB，
∴BD⊥AC，AM＝CM，
∴∠AMD＝90°＝∠BAD，
又∵∠ADB＝∠MDA，
∴△ABD∽△MAD，
∴AD：DM＝BD：AD，
∴AD2＝BD?DM，即82＝10DM，
∴DM＝6.4，
∴AM＝＝＝4.8，
∴AC＝2AM＝9.6，
∵△ACD的面積＝AD?CN＝AC?DM，
∴8×CN＝9.6×6.4，
解得：CN＝7.68，
∵DE⊥CF，
∴∠FCN＝∠EDA，
∵CN⊥AD，
∴∠CNF＝∠DAE，
∴△ADE∽△NCF，
∴＝＝．

12．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，EF⊥GH于M，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H．
（1）【觀察猜想】如圖①，當(dāng)a＝b時，線段EF與線段GH的數(shù)量關(guān)系是 相等 ．
（2）【類比探究】如圖②，當(dāng)a≠b時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由，若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由．
（3）【拓展運(yùn)用】如圖③，在四邊形ABCD中，BC＝CD＝5，∠B＝∠ADC＝90°，AE⊥DF于G，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，若＝，求AB的長．
解：（1）分別過點(diǎn)G、F作GQ⊥BC于Q，GQ交EF于點(diǎn)N，F(xiàn)P⊥AB于點(diǎn)P，
∵EF⊥GH，
∴∠GMN＝90°，
∴∠QGH+∠GNM＝90°，∠GNM+∠PFE＝90°，
∴∠QGH＝∠PFE，
在△PFE和△QGH中，
，
∴△PFE≌△QGH（ASA），
∴EF＝GH；
（2）不成立，正確的結(jié)論為：，理由如下：
分別過點(diǎn)G、F作GQ⊥BC于Q，GQ交EF于點(diǎn)N，F(xiàn)P⊥AB于點(diǎn)P，
∵EF⊥GH，
∴∠GMN＝90°，
∴∠QGH+∠GNM＝90°，∠GNM+∠PFE＝90°，
∴∠QGH＝∠PFE，
∴△PFE∽△QGH，
∴，
∵∠A＝∠B＝∠BQG＝90°，
∴四邊形ABQG是矩形，
∴GQ＝a，
同理：FP＝b，
∴，
（3）過點(diǎn)D作DM∥AB，延長BC交MD延長線于N點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM⊥DM于M，連接AC，
∵BC＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴△RtABC≌Rt△ADC（HL），∴AB＝AD，
∵＝，
由（2）知：，
設(shè)AD＝AB＝5a，AM＝4a，由勾股定理得MD＝3a，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADM+∠CDN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠CDN＝∠DAM，
∴△AMD∽△DNC，
∴，
∴， ∴DN＝4，
∴MN＝MD+DN＝3a+4＝5a， ∴a＝2， ∴AB＝5a＝10．
13．華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．
某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進(jìn)一步探究．
【問題探究】
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．試猜想的值，并證明你的猜想．
【知識遷移】
如圖2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．則＝ ．
【拓展應(yīng)用】
如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．
解：（1）結(jié)論：＝1．
理由：如圖（1）中，過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴＝1；
（2）如圖（2）中，過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在長方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
∴＝，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴＝．
故答案為：；
（3）如圖3中，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M．設(shè)CE交BF于點(diǎn)O．
∵CM⊥AB，
∴∠CME＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△CME∽△BAF，
∴＝，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴＝＝sin60°＝．
14．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E、Q分別在邊BC、AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G、F分別在邊CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ ＝ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推斷的值為 1 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k＝時，若＝，GF＝2，求CP的長．
（1）①解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
故答案是：＝；
②解：∵DQ⊥AE，F(xiàn)G⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四邊形DQFG是平行四邊形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴＝1． 故答案為：1．
（2）解：結(jié)論：＝k．
理由：如圖2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四邊形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝k．
（3）解：如圖2中，作PN⊥BC交BC的延長線于N．
由＝，可以假設(shè)BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，F(xiàn)G＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍棄），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝＝．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/3/2 20:26:29；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：lsjycs@xyh.cm；學(xué)號：30145887
15．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交邊AB、CD、AD、BC于點(diǎn)E、F、G、H
【感知】如圖①，若四邊形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因?yàn)镾△AOB＝S四邊形ABCD，所以S四邊形AEOG＝S正方形ABCD（不要求證明）；
【拓展】如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且S四邊形AEOG＝S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的長（用含a、b、m的代數(shù)式表示）；
【探究】如圖③，若四邊形ABCD是平行四邊形，且S四邊形AEOG＝S?ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，則AG＝ ．
解：【拓展】
如圖②，過O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，（1分）
∵S△AOB＝S矩形ABCD，（2分）
S四邊形AEOG＝，
∴S△AOB＝S四邊形AEOG，（3分）
∵S△BOE＝＝＝mb，（4分）
S△AOG＝AG?ON＝AG＝AG?a，（5分）
∴mb＝AG?a，（6分）
∴AG＝；（7分）
【探究】
如圖③，過O作QM⊥AB，PN⊥AD，
則MQ＝2OM，PN＝2ON，
∵S?ABCD＝AB?MQ＝AD?PN，
∴3×2OM＝5×2ON，
∴＝，
∵S△AOB＝S?ABCD，
S四邊形AEOG＝S?ABCD，
∴S△AOB＝S四邊形AEOG，
∵S△BOE＝＝×1×OM，
S△AOG＝AG?ON，
∴×1×OM＝AG?ON，
OM＝AG?ON，
＝AG＝，
∴AG＝；（9分）
故答案為：．

如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求證：CE＝DF．
證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．

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