一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）
1. 已知，且是的充分條件，則實(shí)數(shù)可以是（）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意先求出的充要條件，然后結(jié)合是的充分條件可得實(shí)數(shù)的范圍，從而對(duì)比選項(xiàng)即可得解.
【詳解】由題意，
若是的充分條件，則當(dāng)且僅當(dāng)，
對(duì)比選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)可以是3.
故選：A.
2. 已知命題，都有，則為（）
A. ，都有B. ，使得
C. ，都有D. ，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定判斷即可.
【詳解】命題，都有，所以為，使得，
故選：D.
3. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得和焦點(diǎn)，然后求得.
【詳解】將代入得，則，
拋物線，即，，
所以焦點(diǎn)，所以.
故選：D
4. 某市環(huán)境保護(hù)局公布了該市，兩個(gè)景區(qū)年至年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)．現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）
A. 景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為
B. 景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為
C. 分別記景區(qū)，這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為，，則
D. 分別記景區(qū)，這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，結(jié)合折線圖逐一判斷即可,
【詳解】A：景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；
B：景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；
C：由折線圖可知：，顯然，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；
D：由折線圖可知：景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動(dòng)要比景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)據(jù)波動(dòng)大，因此，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確，
故選：D
5. 下列給出的圖形中，每個(gè)圖案均由若干個(gè)星星組成，記第個(gè)圖案中星星的個(gè)數(shù)是，由，，，，可推出（）
A. 463B. 464C. 465D. 466
【答案】C
【解析】
【分析】由題得，然后列出等式，相加即可.
【詳解】由題得，所以
，
，
…
，
將上述等式相加得，所以，
故選C.
6. 已知具有線性相關(guān)的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A. -1B. -6C. 1D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示，由此即可計(jì)算平均數(shù) ，得到樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入回歸直線方程求出結(jié)果．
【詳解】因?yàn)闃颖军c(diǎn)為且，
所以
所以 ，
；
又回歸直線方程為過，
∴，解得，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回歸方程必過樣本中心、向量相等的坐標(biāo)表示等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知，且．若在處的切線與直線垂直，則（）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求得切線的斜率，根據(jù)直線垂直列方程，求得，進(jìn)而求得正確答案.
【詳解】依題意，，
則，
，
所以，所以.
故選：A
8. 一個(gè)正方體的展開如圖所示，點(diǎn)為原正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)為原正方體一條棱的中點(diǎn)，那么在原來的正方體中，直線與所成角的正切值為（）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先還原正方體，將對(duì)應(yīng)的字母標(biāo)出，根據(jù)異面直線所成角的概念，作出異面直線所成角，再利用余弦定理求出此角的余弦值，從而即可得到其正弦值、正切值.
【詳解】還原正方體，如圖所示，
設(shè)正方體棱長為2，由題意可得，，
則，，，
又在正方體中，
所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，
所以.
故選：A.
9. 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若的面積為4，則（）
A. 81B. 42C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由題得出，然后結(jié)合面積公式、雙曲線的定義和勾股定理得出答案.
【詳解】
因，所以，
又P在雙曲線上，所以
又的面積為4，所以，
結(jié)合，解得，
又，所以，又，所以，
故選：D.
10. 設(shè)函數(shù)，若，使得，則的最小值為（）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因?yàn)椋沟?，所以在的值域包含于在的值域，然后分別求出兩個(gè)函數(shù)的值域即可.
【詳解】因?yàn)椋沟茫?br>所以在的值域包含于在的值域，
，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，且離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，
所以.
,
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，
，，，所以，
所以，所以，解得，故則的最小值為，
故選C.
11. 已知正方體的內(nèi)切球半徑為1，、平面，若，，現(xiàn)在有以下四個(gè)命題：
：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓
：三棱錐的體積為定值：
則下述結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).
由，，可確定E，F(xiàn)坐標(biāo)，即可判斷p，q命題正誤；
對(duì)于，注意到F到平面距離為定值，即可判斷命題正誤；對(duì)于，由圓外一直線到圓上點(diǎn)最短距離相關(guān)知識(shí)可判斷命題s是否正確.后可判斷出正確結(jié)論.
【詳解】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，
因正方體的內(nèi)切球半徑為1，則正方體棱長為2.
則，設(shè).
對(duì)于p，，
則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為圓心，半徑為1的圓，故正確；
對(duì)于q，由，則，
又，，
則，
即F在直線上，故點(diǎn)的軌跡是一條直線，故q錯(cuò)誤；
對(duì)于r，注意到，面，面，則面，
又F在直線上，則點(diǎn)到平面距離為定值，
則為定值，故r正確；
對(duì)于s，由以上分析可知，即為圓外一直線到圓上點(diǎn)距離，
當(dāng)圓心，圓上一點(diǎn)，直線上點(diǎn)三點(diǎn)共線,且圓上一點(diǎn)，直線上點(diǎn)在圓心同側(cè)時(shí)距離最小.
由題可得，直線到圓心距離為，又圓半徑為1，
故最短距離為，即，故s正確.
則正確，錯(cuò)誤，又錯(cuò)誤，則，錯(cuò)誤.
故選：C
12. 若函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)但有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題得在區(qū)間無解，在區(qū)間有2兩個(gè)不同解，然后參變分離，轉(zhuǎn)換成圖像交點(diǎn)問題即可.
【詳解】由題在區(qū)間無解，
即在區(qū)間無解，設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，
所以，顯然當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大，
所以；
又函數(shù)在區(qū)間有2個(gè)極值點(diǎn)，所以在區(qū)間有2兩個(gè)不同解，
即在區(qū)間有2兩個(gè)不同解，設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，
所以，顯然當(dāng)x趨于無窮大和0時(shí)，都趨于無窮大，
所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B.
二、填空題（每小題5分，共4小題，20分）
13. 若一組數(shù)據(jù)的方差為10，則另一組數(shù)據(jù)的方差為______．
【答案】40
【解析】
【分析】由題意先設(shè)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后根據(jù)已知方差、方差公式運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意設(shè)的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，
由題意的方差為，
從而的方差為.
故答案為：40.
14. 過雙曲線的右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】由題意首先根據(jù)漸近線斜率得出，進(jìn)一步得到，解直角三角形即可得解.
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題意所在直線即雙曲線的漸近線，其方程為，
所以，又，所以，
從而.
故答案為：1.
15. 曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】先求在曲線上與直線平行的切線方程，再根據(jù)兩平行線間的距離公式求得正確答案.
【詳解】直線的斜率為，
令，
當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
與的距離為.
所以曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離為.
故答案為：
16. 已知都在球的球面上，且平面．在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出三棱錐的體積，然后利用條件求出球O的體積，利用幾何概型得出答案.
【詳解】由題可知，
所以，
如圖設(shè)外接圓的圓心為，連接取中點(diǎn)為，連接，
則平面，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形?br>所以，
在中，，由正弦定理得，
所以球O的半徑，
所以，
所以在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)概率為
故答案為：
三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算）
17. 已知命題在內(nèi)單調(diào)遞增；命題：關(guān)于的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．
（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)得導(dǎo)數(shù)為非負(fù)數(shù)列不等式，由此求得的取值范圍.
（2）先求得為真命題時(shí)的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)為真命題求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)為真命題時(shí)，
在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上恒成立，
，
所以，所以為真命題時(shí)，的取值范圍是.
【小問2詳解】
由（1）得為真命題時(shí)，的取值范圍是，
對(duì)于命題：關(guān)于的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
時(shí)，不等式不恒成立，
所以，解得，
所以為真命題時(shí)，；為假命題時(shí)，，
所以為真命題，即真假，
對(duì)應(yīng)的取值范圍是.
18. 若拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于．
（1）當(dāng)平行于軸時(shí)，，求；
（2）當(dāng)時(shí)，現(xiàn)有以下兩個(gè)結(jié)論：①；②．請(qǐng)選擇其中一個(gè)結(jié)論證明．
【答案】（1）2 （2）當(dāng)時(shí)，只能證明結(jié)論②成立
【解析】
【分析】（1）由題意將代入得，從而即可得解.
（2）由題意設(shè)出直線方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，進(jìn)一步分別代入結(jié)論①②驗(yàn)證即可.
【小問1詳解】
由題意過點(diǎn)的直線平行于軸時(shí)，其方程為，
由題意將代入得，所以不妨設(shè)，
所以，解得.
【小問2詳解】
如圖所示：
由題意不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)上方，且直線斜率不為0，
當(dāng)時(shí)，拋物線方程為，
所以設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線方程得，
，，，
可以證明結(jié)論①不成立，理由如下：
由以上條件可知
；
可以證明結(jié)論②成立，理由如下：
.
19. 如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.
（1）證明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）二面角的余弦值為
【解析】
【分析】（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）證明出平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
【小問1詳解】
由題意得，，，
在中，由余弦定理可得，
，則，
，，平面，
平面，
平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知平面，平面，，
又，，平面，
所以平面，
以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
連接，在平行四邊形中，
由余弦定理可得，
在直角三角形中，，
于是、、，
由得，
設(shè)平面的法向量，則，
取得，，
易知平面的一個(gè)法向量，則，
由圖可知，二面角的平面角為鈍角，
所以，二面角的余弦值為.
20. 近期，豐城九中高一、高二年級(jí)舉行“新冠肺炎”防控知識(shí)閉卷考試比賽，總分獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的代表隊(duì)人數(shù)情況如表，其中一等獎(jiǎng)代表隊(duì)比三等獎(jiǎng)代表隊(duì)多10人．為使頒獎(jiǎng)儀式有序進(jìn)行，同時(shí)氣氛活躍，在頒獎(jiǎng)過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取16人在前排就坐，其中二等獎(jiǎng)代表隊(duì)有5人（同隊(duì)內(nèi)高一、高二仍采用分層抽樣）
（1）完成表格；
（2）從前排就坐的一等獎(jiǎng)代表隊(duì)中隨機(jī)抽取3人上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，用表示高二上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)的人數(shù)，求．
（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，代表隊(duì)員通過操作按鍵，使電腦自動(dòng)產(chǎn)生內(nèi)的兩個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，隨后電腦自動(dòng)運(yùn)行如圖所示的程序框圖的程序．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則代表隊(duì)員獲相應(yīng)獎(jiǎng)品；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)．求代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品的概率．
【答案】（1）30；20
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題和分層抽樣的定義即可得出答案；
（2）由（1）的結(jié)論，得出前排就坐的16人中一等獎(jiǎng)代表隊(duì)有3名高一的學(xué)生，3名高二的學(xué)生，然后根據(jù)古典概率模型求出答案；
（3）先求出實(shí)驗(yàn)結(jié)果的所構(gòu)成的全部區(qū)域，然后求出獲獎(jiǎng)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，利用幾何概型求出答案.
【小問1詳解】
由表可知，二等將代表隊(duì)共50人，設(shè)代表隊(duì)共有n人，，解得，
設(shè)一等獎(jiǎng)代表隊(duì)高一人數(shù)為x，，解得，
故填30，20.
【小問2詳解】
由（1）得三個(gè)代表隊(duì)中前排就坐的比例是按照一等獎(jiǎng)：二等獎(jiǎng)：三等獎(jiǎng)，所以一等獎(jiǎng)被抽取的人數(shù)為，
又同隊(duì)內(nèi)高一、高二仍采用分層抽樣，所以故前排就坐的16人中一等獎(jiǎng)代表隊(duì)有3名高一的學(xué)生，3名高二的學(xué)生，則的取值為：0、1、2、3，則
.
【小問3詳解】
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋娣e為，
設(shè)事件A表示代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品，則其所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?br>，
如圖，陰影部分的面積，
這是一個(gè)幾何概型，所以，
故求代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品的概率為.
21. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在區(qū)間，使得的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間和，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解出和即可得出；
（2）根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)不同的根，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性即可.
【小問1詳解】
可得，
由解得或，由解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由題可知，大于，并且在單調(diào)遞增．
假設(shè)存在區(qū)間，使得的值域?yàn)?br>則的圖像與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
即在有兩個(gè)不同的根．
令，
則，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以
22. 已知曲線，點(diǎn)在橢圓上（與左右頂點(diǎn)不重合），直線、斜率之積為．
（1）求的方程；
（2）已知直線與交于兩點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn)，記四邊形的面積為的面積為，
①用含的式子表示；
②求的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)直線、斜率之積為列方程，從而求得的方程.
（2）①先求得的關(guān)系式，用表示，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系.根據(jù)弦長公式求得.
②利用換元法以及基本不等式求得的最小值.
【小問1詳解】
設(shè)，依題意，
整理得，所以，
所以的方程為.
【小問2詳解】
由于直線與單位圓相切，且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線的斜率.
且到的距離.
由消去并化簡得，
，
設(shè)，則，
所以
，
直線的方程為，
由，消去得，
所以，
①，所以
.
②，設(shè)，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值為.
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線和橢圓相交所得弦長，需要聯(lián)立直線的方法和橢圓的方程，然后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及弦長公式，另外還需要驗(yàn)證判別式為正數(shù)，才能使得直線和橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).獲獎(jiǎng)
年級(jí)
一獲等獎(jiǎng)代表隊(duì)
二等獎(jiǎng)代表隊(duì)
三等獎(jiǎng)代表隊(duì)
高一
30
高二
30
20
30

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江西省吉安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（Word版含解析）：

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江西省宜春市豐城市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期1月期末考試試題（Word版附解析）：

這是一份江西省宜春市豐城市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期1月期末考試試題（Word版附解析），共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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