一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則tanA等于（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，4）、B（﹣6，﹣2），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（ ）
（4） （5） （6）
A．（﹣1，2）B．（﹣3，﹣1）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
3．已知tan（90°﹣α）＝，則銳角α的度數(shù)是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
4．如圖，小雅家（圖中點(diǎn)O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中點(diǎn)A處）在距她家北偏東60°方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（ ）
A．250米B．250米C．米D．500米
5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，DE∥BC，DF∥AC，連接BE，交DF于點(diǎn)G，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDBC．AB?CD＝BD?BC D．BC2＝AC?CD
7．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中∠ABC的正切值是（ ）
（8） （9） （10）
A．2B．C．D．
8．如圖，△ABC是面積為18cm2的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2
9．某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動，如圖，在點(diǎn)A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么大樹CD的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）
A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米
10．由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為（ ）
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
二．填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
12．計(jì)算：2cs30°﹣tan60°﹣2sin60°＝ ．
13．在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 ．
（14） （15） （17）
14.如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，則AE的長為（ ）
15．如圖，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米．則旗桿的高度為 米．
16．在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，則BC的長是 ．
17．如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則的值＝ ，tan∠APD的值＝ ．
三．解答題（共7小題）
17．（8分）如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長線于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求證：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝9cm，BE＝16cm，求DE的長．
18.（8分）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，）
19．（8分）某次軍事演習(xí)中，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在出發(fā)地A測得小島C在它的北偏東60°方向，2小時(shí)后到達(dá)B處，測得小島C在它的北偏西45°方向，求該船在航行過程中與小島C的最近距離（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．結(jié)果精確到0.1km）．
20．（8分）2024西安城墻新春燈會聚焦了文化、科技、數(shù)字、環(huán)保、演藝五大熱門元素．部分燈組將文物與燈會相融合，如氣勢磅礴的《祥龍賀春》燈組便在“中華第一龍”紅山玉龍與浮雕龍紋宮燈石柱的基礎(chǔ)上進(jìn)行制作展示（如圖①）．張敏和趙雷兩人去城墻燈會游覽，看到龍燈十分壯觀，他們合作完成寒假作業(yè)的實(shí)踐活動報(bào)告．
請你根據(jù)活動報(bào)告求出龍燈最高點(diǎn)到地面的高度AB．
21．（9分）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm．同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
22．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延長AD，BC相交于點(diǎn)E，求證：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE?DC＝AB?DE．
23．（10分）已知：如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，DF∥AC．
（1）求證：△ADE∽△DBF．
（2）若＝，S△BDF＝9cm2，求S△ADE和S△ABC．
活動報(bào)告
課題
測量龍燈最高點(diǎn)到地面的高度AB
目的
運(yùn)用相似三角形與三角函數(shù)解決實(shí)際問題
工具
標(biāo)桿、皮尺、測角儀、激光筆等
測量方案及示意圖

如圖②，張敏在D處用測角儀測得龍燈最高點(diǎn)A的仰角∠ADB為31°，趙雷在D處豎立高3米的標(biāo)桿CD，利用激光筆測得地面上的點(diǎn)E、點(diǎn)A和點(diǎn)C在一條直線上，DE＝6米．
說明
AB⊥BE，CD⊥BE，點(diǎn)B、D、E在一條水平線上，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86tan31°≈0.60，測角儀、激光筆與地面的距離忽略不計(jì)．
安全
測量過程中注意自己及他人的安全．
24．（12分）【問題呈現(xiàn)】
如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
【類比探究】
如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
【拓展提升】
如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
（1）求的值；
（2）延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
參考答案
﹣ 12. △MCB 13. 8 14. 7 15. 219 16. 3 ; 2
17.（1）證明：平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四邊形ABCD中，DC＝AB，
∵DC＝9cm，BE＝16cm，
∴AB＝9，AE＝25cm，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∴DE＝20cm．
18.解：熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，
∴CE＝32m，EF＝BD＝4m，
∴CF＝CE﹣EF＝28m，
∵四邊形BFCG是矩形，
∴BG＝CF＝14m，
∵∠ACG＝45°，∠BCG＝63.4°，
∴∠FBC＝∠BCG＝63.4°，
∴，
∴BF＝14m，
∴CG＝BF＝14m，
∴CG＝AG＝14m，
∴AB＝BG﹣AG＝14m，
∴銅像AB的高度是14m．
19.解：由題意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，
如圖，過C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴，
∵AB＝80km，
∴CD+CD＝80，
解得CD＝40﹣40≈29.2（km），
答：該船在航行過程中與小島C的最近距離為29.2km．
20.解：在Rt△ABD 中，，
∴．
∵∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即 ，
∴，
∴AB＝18．
∴龍燈最高點(diǎn)到地面的高度AB為18米．
21.解：延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
則DF＝CD＝90（cm），CF＝CD?cs∠DCF＝180×＝90（cm），
由題意得：＝，即＝，
解得：EF＝135，
∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，
則＝，
解得：AB＝170+60，
答：立柱AB的高度為（170+60）cm．
22.證明：（1）∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DBC．
∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴＝，
∴＝．
∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴BE?DC＝AB?DE．
23.（1）證明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠C，∠DFB＝∠C，
∴∠AED＝∠DFB，
∴△ADE∽△DBF．
（2）解：∵＝，
∴．
又∵△ADE∽△DBF，
∴，而S△BDF＝9，
∴S△ADE＝4；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝25；
∴S△ADE和S△ABC的面積分別為4cm2和25cm2．
24.【問題呈現(xiàn)】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【類比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝；
【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝；
（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝＝．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
C
C
A
B
A
C

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