1.已知集合A={x∈Z|x2+3x0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，則1x+3y的最小值是( )
A. 8B. 12C. 16D. 10+2 3
6.已知隨機事件A，B，C中，A與B相互獨立，B與C對立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A∪B)=( )
A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.72
7.甲、乙、丙、丁四個人在一次比賽中只有一人得獎，在問到誰得獎時，四人的回答如下：
甲：乙得獎．
乙：丙得獎．
丙：乙說錯了．
?。何覜]得獎．
四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8.設a=lg52，b=0.50.6，c=0.60.5，則( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)，則下列結論正確的是( )
A. f(x)的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π3)的圖象
B. 直線x=π3是f(x)圖象的一條對稱軸
C. f(x)在[π4,π2]上單調(diào)遞減
D. f(x)的圖象關于點(5π12,0)對稱
10.某學校高一年級學生有900人，其中男生500人，女生400人，為了獲得該校高一全體學生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層抽樣方法抽取了容量為90的樣本，經(jīng)計算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則下列說法正確的是( )
參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m，x?，s12；n，y?，s22.記樣本平均數(shù)為ω?，樣本方差為s2，s2=mm+n[s12+(x??ω?)2]+nm+n[s22+(y??ω?)2]
A. 男生樣本容量為50B. 每個女生被抽到的概率110
C. 抽取的樣本的均值為165D. 抽取的樣本的方差為43
11.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為4，M是側面ADD′A′上的一個動點(含邊界)，點P在棱CC′上，且|PC′|=1，則下列結論正確的有( )
A. 沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為 73
B. 保持PM與BD′垂直時，點M的運動軌跡長度為3 2
C. 若保持|PM|=2 5，則點M的運動軌跡長度4π3
D. 平面AD′P截正方體ABCD?A′B′C′D′所得截面為等腰梯形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(1,m?1)，b=(m,m+3)，若a?b=?|a|?|b|，則m的值為______．
13.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在二面角兩個半平面內(nèi)，且垂直于AB，AC=BD=6，AB=8，則CD= ______．
14.若三棱錐的棱長為5，8，21，23，29，t，其中t∈N?，則t的一個取值可以為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2csinA= 3a．
(1)求C；
(2)若c=7，△ABC的面積為10 3，求△ABC的周長．
16.(本小題15分)
現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組[160,164)，第2組[164,168)，…，第6組[180,184]，得到如下頻率分布直方圖．
(1)求a的值并估計這50名男生的身高的第60百分位數(shù)；
(2)求這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)；
(3)從這50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，求該2人中身高恰有1人在180cm以上(含180cm)的概率．
17.(本小題15分)
如圖，在底面為菱形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，點E，F(xiàn)分別為棱BC，PD的中點，Q是線段PC上的一點．
(1)若Q是直線PC與平面AEF的交點，試確定PQPC的值；
(2)若三棱錐C?EQA的體積為 36，求直線AQ與平面AEF所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=asinx+bcsx，稱非零向量p=(a,b)為f(x)的“特征向量”，f(x)為p的“特征函數(shù)”．
(1)設函數(shù)?(x)=2sin(π3?x)?cs(π6+x)，求函數(shù)?(x)的“特征向量”；
(2)若函數(shù)f(x)的“特征向量”為p=(1, 3)，求當f(x)=85且x∈(?π3,π6)時sinx的值；
(3)若p=( 3,1)的“特征函數(shù)”為f(x)，x∈[0,11π6]且方程f2(x)+(2?a)f(x)+a?3=0存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
19.(本小題17分)
在空間直角坐標系O?xyz中，已知向量u=(a,b,c)，點P0(x0,y0,z0).若平面α以u為法向量且經(jīng)過點P0，則平面α的點法式方程可表示為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，一般式方程可表示為ax+by+cz+d=0．
(1)若平面α1：2x?y?1=0，平面β1：3y?2z+1=0，直線l為平面α1和平面β1的交線，求直線l的一個方向向量；
(2)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}.Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，T={(x,y,z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.記集合Q中所有點構成的幾何體的體積為V1，P∩Q中所有點構成的幾何體的體積為V2，集合T中所有點構成的幾何體為W．
(ⅰ)求V1和V2的值；
(ⅱ)求幾何體W的體積V3和相鄰兩個面(有公共棱)所成二面角的余弦值．
參考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.CD
10.ABD
11.BCD
12.?1
13.10
14.25(答案不唯一)
15.解：(1)因為2csinA= 3a，
由正弦定理可得2sinCsinA= 3sinA，
在銳角△ABC中，可得sinA>0，
可得sinC= 32，可得C=π3；
(2)因為c=7，S=12absinC=12ab? 32=10 3，
解得ab=40，
由余弦定理可得c2=a2+b2?2abcsC=(a+b)2?2ab?2ab?12，
即49=(a+b)2?2×40?40，
可得a+b=13，
所以△ABC的周長為a+b+c=13+7=20．
16.解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，4×(a+0.07+0.08+0.02+0.02+0.01)=1，
解得a=0.05，
因為4×(0.05+0.07)=0.480.6，
所以第60百分位數(shù)位于[168,172)，設其為m，
則0.48+(m?168)×0.08=0.6，
解得m=169.5，
即估計這50名男生的身高的第60百分位數(shù)為169.5cm；
(2)身高在176cm以上(含176cm)的頻率為：0.02×4+0.01×4=0.12，
所以這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)為：50×0.12=6人；
(3)這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)為6人，
其中[176,180)中有0.02×4×50=4人，[180,184]中有0.01×4×50=2人，
從這50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，
基本事件總數(shù)n=C62=30，
該2人中身高恰有1人在180cm(含180cm)以上包含的基本事件個數(shù)m=C41C21=8，
該2人中身高恰有1人在180cm(含180cm)以上的概率為：P=mn=830=415．
17.解：(1)因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC中點，
所以△ABC是等邊三角形，所以AE⊥BC，又，PA⊥平面ABCD，
所以在A點處AE，AD，AP兩兩互相垂直，
則以A為原點，分別以AE，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則依題意有E( 3,0,0)，F(xiàn)(0,1,1)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，C( 3,1,0)，
則AE=( 3,0,0)，AF=(0,1,1)，PC=( 3,1,?2)，設PQ=kPC=( 3k,k,?2k)，
則AQ=AP+PQ=( 3k,k,2?2k)，
因為Q是直線PC與平面AEF的交點，所以AQ，AE，AF共面，
所以存在實數(shù)m，n，使得AQ=mAE+nAF，即( 3k,k,2?2k)=( 3m,n,n)，
所以 3k= 3mk=n2?2k=n，解得m=23n=23k=23，
所以PQ=23PC，即PQPC=23．
(2)依題意有S△AEC=12EC?AE=12×1× 3= 32，
設Q到底面ABCD的距離為d，
則VC?AEQ=VQ?AEC=13S△AEC?d=13× 32d= 36，所以d=1，
所以Q是PC中點，則Q( 32,12,1)，所以AQ=( 32,12,1)．
設平面AEF的一個法向量為m=(x,y,z)，
則m?AE= 3x=0m?AF=y+z=0，令y=1，則x=0，z=?1，所以m=(0,1,?1)，
設直線AQ與平面AEF所成角為θ，
則sinθ=|cs|=|m?AQ||m||AQ|=|12?1| 1+1× 34+14+1=14，
直線AQ與平面AEF所成角的正弦值為14．
18.解：(1)因為?(x)=2( 32csx?12sinx)?( 32csx?12sinx)= 32csx?12sinx，
所以?(x)的“特征向量”為p=(?12, 32)；
(2)由題意知f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
由f(x)=85，得2sin(x+π3)=85，sin(x+π3)=45，
因為x∈(?π3,π6)，x+π3∈(0,π2)，
所以cs(x+π3)=35，
所以sinx=sin[(x+π3)?π3]=12sin(x+π3)? 32cs(x+π3)=4?3 310；
(3)f(x)= 3sinx+csx=2sin(x+π6)，當x∈[0,11π6]時，x+π6∈[π6,2π]，
由f2(x)+(2?a)f(x)+a?3=0，得(f(x)?1)(f(x)?(a?3))=0，
所以f(x)=1或f(x)=a?3，
由f(x)=1，即sin(x+π6)=12，而x∈[0,11π6]，解得x=0或x=2π3，
即f(x)=1在x∈[0,11π6]上有兩個根，
因為方程f2(x)+(2?a)f(x)+a?3=0在x∈[0,11π6]上存在4個不相等的實數(shù)根，
所以當且僅當f(x)=a?3且a?3≠1在x∈[0,11π6]上有兩個不等實根，
在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)在x∈[0,11π6]上的圖像和直線y=a?3，
因為方程f(x)=a?3(a≠4)在x∈[0,11π6]上有兩個不等實根，
即當且僅當函數(shù)y=f(x)在x∈[0,11π6]上的圖像和直線y=a?3(a≠4)有兩個公共點，

由圖像可知：?2

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