例2 52 [解析] 如圖,取BB1的中點P,連接CP,PD1,CD1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易得BA1∥CD1,∵BA1?平面A1BE,CD1?平面A1BE,∴CD1∥平面A1BE.由P為BB1的中點,E為DD1的中點,易得CP∥A1E,∵A1E?平面A1BE,CP?平面A1BE,∴CP∥平面A1BE.又CP∩CD1=C,∴平面PCD1∥平面A1BE.若D1M∥平面A1BE,則M∈平面PCD1,又M∈側面B1BCC1,∴點M的軌跡為線段PC.由正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,得PC=1+14=52,即點M的軌跡長度為52.
例3 (1)AC (2)64 [解析] (1)對于A,△ADC和△ABC是全等三角形,∠ABC=90°,
∠BAC=60°,AB=2,可得AC的中點O到A,B,C,D的距離均相等,故O為三棱錐D1-ABC的外接球的球心,AC為外接球的直徑,∴外接球的半徑為12AC=2,∴三棱錐D1-ABC的外接球的表面積為4π×22=16π,為定值,故A正確;對于B,根據(jù)三垂線定理可得,當CD1在底面ABC上的射影為BC時,才能滿足AB⊥CD1,此時CD1與CB重合,不能構成三棱錐,∴不存在滿足條件的D1,故B錯誤;對于C,當三棱錐A1-BCD的體積最大時,平面A1BD⊥平面BCD,此時BD=23,△BCD為等邊三角形,點A1到平面BCD的距離為1,∴VA1-BCD=13×12×(23)2×32×1=3,故C正確;當A1C⊥A1D時,可得A1C⊥A1B,∵A1B∩A1D=A1,∴A1C⊥平面A1BD,則∠A1BC是BC與平面A1BD所成的角,∵BC=23,A1B=2,∴由勾股定理可得A1C=22,在Rt△A1BC中,
sin∠A1BC=A1CBC=2223=63,故D錯誤.故選AC.
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(進群送往屆全部資料)(2)如圖所示,取BD的中點E,連接CE,AE,AC,因為AB=AD,CB=CD,所以BD⊥AE,BD⊥CE,故∠CEA是二面角A-BD-C的平面角,且BD⊥平面ACE.依題可知△ACE是正三角形,作AF⊥CE于點F,連接BF,則BD⊥AF,又因為AF⊥CE,BD∩CE=E,所以AF⊥平面BCD,即∠ABF是直線AB與平面BCD所成的角.在Rt△AFE中,AF=32AE,又AE=12BD,所以AF=32AE=34BD,因為△ABD是等腰直角三角形,所以AB=22BD,從而sin∠ABF=AFAB=34BD22BD=64.
例4 (1)A (2)D [解析] (1)如圖,連接PC,則∠CPB為直線PB與平面CC1D1D所成的角.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,PC1=x(0≤x≤a),∴PB=BC2+PC2=BC2+PC12+CC12=2a2+x2,∴sin∠CPB=BCPB=a2a2+x2=12+xa2,又∵ 0≤xa≤1,∴ 2≤2+xa2≤3,∴13≤12+xa2≤12,則33≤12+xa2≤22,即直線PB與平面CC1D1D所成角的正弦值的取值范圍是33,22.故選A.
(2)如圖,以點D為坐標原點建立空間直角坐標系.設BP=λBD1(0≤λ≤1),則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),所以BD1=(-1,-1,2),所以BP=λBD1=(-λ,-λ,2λ),因為AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0),所以AP=AB+BP=(0,1,0)+(-λ,-λ,2λ)=(-λ,1-λ,2λ).設平面APC的法向量為n=(x,y,z),則n·AC=-x+y=0,n·AP=-λx+(1-λ)y+2λz=0,可取n=(2λ,2λ,2λ-1),則點B到平面APC的距離d=|AB·n||n|=|2λ|12λ2-4λ+1.當λ=0時,點B到平面APC的距離為0,當0

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