(2)若l過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)，m))，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．
[子題1] 已知橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2.
(1)若M為C上任意一點(diǎn)，求|MF1|·|MF2|的最大值；
(2)橢圓C上是否存在點(diǎn)P(異于點(diǎn)A1，A2)，使得直線PA1，PA2與直線x＝4分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且|EF|＝1？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
[子題2] (2020·合肥適應(yīng)性檢測)已知拋物線C：y2＝4x，過點(diǎn)(2,0)作直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)A，使得x軸平分∠MAN？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【拓展訓(xùn)練】
1．已知橢圓G：eq \f(x2,4)＋y2＝1，點(diǎn)B(0,1)，點(diǎn)A為橢圓G的右頂點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與橢圓G交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)Q在第一象限)，且與線段AB交于點(diǎn)M.是否存在直線l，使得△BOP的面積是△BMQ的面積的3倍？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
2．(2020·滁州模擬)已知橢圓E：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，是否存在斜率為－1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓E相交于C，D兩點(diǎn)，且|CD|·|AB|＝eq \f(12\r(13),7)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
專題訓(xùn)練
1. (2020·廣州模擬)如圖，已知橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.過點(diǎn)P(0,1)的動直線l(直線l的斜率存在)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得eq \f(|QA|,|QB|)＝eq \f(S△APQ,S△BPQ)恒成立？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．
①已知點(diǎn)Q(eq \r(3)，0)，直線l：x＝2eq \r(3)，動點(diǎn)P滿足到點(diǎn)Q的距離與到直線l的距離之比為eq \f(\r(2),2).
②已知點(diǎn)H(－eq \r(3)，0)，G是圓E：x2＋y2－2eq \r(3)x－21＝0上一個動點(diǎn)，線段HG的垂直平分線交GE于P.
③點(diǎn)S，T分別在x軸，y軸上運(yùn)動，且|ST|＝3，動點(diǎn)P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(6),3)eq \(OS,\s\up6(→))＋eq \f(\r(3),3)eq \(OT,\s\up6(→)).
(1)在①②③這三個條件中任選一個，求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分)
(2)設(shè)圓O：x2＋y2＝2上任意一點(diǎn)A處的切線交軌跡C于M，N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
母題突破4 探索性問題
母題 已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.
(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
(2)若l過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)，m))，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．
?2?思路分析
?假設(shè)四邊形OAPB能為平行四邊形
↓
?線段AB與線段OP互相平分
↓
?計(jì)算此時直線l的斜率
↓
?下結(jié)論
【解析】(1)證明 設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得
(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－kb,k2＋9)，yM＝kxM＋b＝eq \f(9b,k2＋9).
于是直線OM的斜率kOM＝eq \f(yM,xM)＝－eq \f(9,k)，即kOM·k＝－9.
所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
(2)解 四邊形OAPB能為平行四邊形．
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)，m))，所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個交點(diǎn)的充要條件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程為y＝－eq \f(9,k)x.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(9,k)x，,9x2＋y2＝m2))得xeq \\al(2,P)＝eq \f(k2m2,9k2＋81)，即xP＝eq \f(±km,3\r(k2＋9)).
將點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)，m))的坐標(biāo)代入直線l的方程得b＝eq \f(m?3－k?,3)，
因此xM＝eq \f(k?k－3?m,3?k2＋9?).
四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是eq \f(±km,3\r(k2＋9))＝2×eq \f(k?k－3?m,3?k2＋9?)，
解得k1＝4－eq \r(7)，k2＝4＋eq \r(7).
因?yàn)閗i>0，ki≠3，i＝1,2，所以當(dāng)直線l的斜率為4－eq \r(7)或4＋eq \r(7)時，四邊形OAPB為平行四邊形．
[子題1] 已知橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2.
(1)若M為C上任意一點(diǎn)，求|MF1|·|MF2|的最大值；
(2)橢圓C上是否存在點(diǎn)P(異于點(diǎn)A1，A2)，使得直線PA1，PA2與直線x＝4分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且|EF|＝1？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解析】解 (1)由橢圓的定義可知|MF1|＋|MF2|＝4，
∴|MF1|·|MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝2時等號成立，
∴|MF1|·|MF2|的最大值為4.
(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P.
不妨設(shè)P(x0，y0)(y0>0)，則－2

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