考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。
2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。
4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數、導數、三角函數、解三角形。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則的真子集的個數為（ ）
A.8B.7C.16D.15
2.已知，為實數，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
3.已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（ ）
A.B.
C.D.
4.已知函數，若的圖象在處的切線方程為，則（ ）
A.B.C.D.
5.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則角的大小為（ ）
A.B.C.D.
6.記表示，二者中較大的一個，函數，，若，，使得成立，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，，且，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.
8.已知函數的定義域為，若對于任意的，，都有，當時，都有，且，則函數在區(qū)間上的最大值為（ ）
A.2B.3C.4D.5
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.下列說法錯誤的是（ ）
A.命題，的否定為，
B.已知扇形的圓心角為2弧度，面積為1，則扇形的弧長等于2
C.已知函數的定義域為，則函數的定義域為
D.已知函數的值域為，則的取值范圍是
10.已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A.是函數的周期
B.函數的圖象關于直線對稱
C.函數在區(qū)間上單調遞減
D.當時，
11.已知函數及其導函數的定義域均為，若是偶函數，且，令，則下列說法正確的是（ ）
A.函數是奇函數B.
C.函數的圖象關于點對稱D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的值為______.
13.已知，，則______.
14.已知點，，定義為，的“鏡像距離”，若點，在曲線上，則，的“鏡像距離”的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知集合，.
（1）若，，且是的必要不充分條件，求的取值范圍；
（2）若函數的定義域為，且，求的取值范圍。
16.（本小題滿分15分）
已知函數是定義在上的偶函數，當時，，且.
（1）求的值，并求出的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.
17.（本小題滿分15分）
已知函數.
（1）若，，求的值；
（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，再將函數圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數的圖象，若在區(qū)間上沒有零點，求的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
在中，點是邊上一點，且，
（1）若，，且，求的值；
（2）若，且，求面積的最小值；
（3）若，，且的面積為12，求的值.
19.（本小題滿分17分）
已知函數.
（1）若函數在定義域上單調遞增，求的取值范圍；
（2）若；求證：；
（3）設，是函數的兩個極值點，求證：.
2024～2025學年高三9月質量檢測卷?數學
參考答案、提示及評分細則
1.B 因為，，所以，所以的真子集的個數為.故選B.
2.A 當時，，同號，所以，所以“”是“”的充分條件；若時，，此時，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.
3.C 由的解集為，可得，且方程的解為，所以，則，所以，即，又，所以，解得，即關于的不等式的解集為.故選C.
4.C 由題意知，所以，解得，又，所以，解得，所以.故選C.
5.B 因為，由余弦定理得，所以，又，所以.因為，所以，即，又，所以，所以或（舍），所以，所以.故選B.
6.A 在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，所以所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，即在區(qū)間上的值域為.，令，得，解得或，畫出，的圖象如圖所示，若，，使得成立，則解得，即的取值范圍是.故選A.
7.C 因為，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值為.故選C.
8.D 令，則，且，又，所以，所以，所以.設，則，所以，所以，則，故在上單調遞增，所以函數在區(qū)間上的最大值為.故選D.
9.AD 命題，的否定為，，故A說法錯誤；由，解得，所以扇形的弧長，故B說法正確；由，得，所以的定義域為，故C說法正確；因為的值域為，所以函數的值域滿足，所以，解得，故D說法錯誤.故選AD.
10.ACD 因為，所以是函數的周期，故A正確；因為，，所以，故B錯誤；設，所以，所以，當時，可得，則，又，所以函數在上單調遞減，又在上單調遞增，所以由復合函數的單調性，可得函數在區(qū)間上單調遞減，故C正確；當時，可得，則，又由，在上單調遞減，當，即時，函數單調遞增；當，即時，函數單調遞減，由復合函數的單調性，可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故D正確.故選ACD.
11.BCD 因為，所以，所以函數是偶函數，故A錯誤；因為為偶函數，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正確；因為，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函數的圖象關于點對稱，故C正確；因為，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正確.故選BCD.
12.8 .
13. 由題意可知，所以，由題意可知，，所以.
14. 設，，由點在曲線上可知點在函數上，所以相當于上的點到曲線上點的距離，又與的圖象關于對稱，所以，的“鏡像距離”的最小值為點到的距離的最小值的2倍.由，得，令，解得，又點到直線的距離，所以，的“鏡像距離”的最小值為。
15.解：（1）由題意知，
解不等式，解得，所以，
因為是的必要不充分條件，所以是的真子集，
所以且等號不同時成立，
解得，即的取值范圍是.
（2）因為，所以在上有解，所以，
令，則，所以，即的取值范圍是.
16.解：（1）因為是偶函數，所以，
解得，
當時，可得，所以，
所以函數的解析式為
（2）由（1）知，當時，，
因為在上恒成立，
所以，
又因為，
當且僅當時，即時等號成立，
所以，即的取值范圍是.
17.解：（1）由題意知，
因為，
所以，令，則，，因為，所以，
由，得，所以，
所以
.
（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到，
將函數圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），
得到函數.
令，得，解得，又在區(qū)間上沒有零點，所以，
解得，，又，所以當時，；當時，，
即的取值范圍是.
18.解：（1）由題意知，所以，
在中，由余弦定理得解得，
由正弦定理，得，
所以，
所以.
（2）設，，因為，
所以，
即，
所以，所以，
當且僅當，即，時等號成立，
所以的面積，即面積的最小值為.
（3）設，，
則，，.
在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，，即，所以，所以，
所以，所以，
又，，解得，，
所以，，
所以，又，，
所以，所以，解得，所以.
在中，由余弦定理，得，
解得或，又，所以.
19.（1）解：由題意知函數的定義域為，在上恒成立，所以在上恒成立，
又，當且僅當時，等號成立，
所以，即的取值范圍是.
（2）證明：若，，所以，
令，解得，所以當時，，
當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當且僅當時，等號成立.
令，，所以，令，解得，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當且僅當時，等號成立，
所以，又等號不同時成立，所以.
（3）證明：由題意可知，
因為有兩個極值點，，
所以，是方程的兩個不同的根，則且
所以
，
所以要證，即證，
即證，即證，即證.
令，則證明，令，則，
所以在上單調遞增，則，即，
所以原不等式成立.

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