數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答：字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，則（ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.已知命題“”，則的否定為（ ）
A. B.
C. D.
4.在平行四邊形中，，則（ ）
A. B.
C. D.
5.如果隨機變量，且，則（ ）
A. B. C. D.
6.已知，則的最小值為（ ）
A. B.2 C. D.1
7.已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知，設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二，多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.若為方程的兩個解，則的最小值為
D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個解，則的取值范圍為
11.已知函數(shù)的定義域為，設(shè)，若和均為奇函數(shù)，則（ ）
A. B.為奇函數(shù)
C.的一個周期為4 D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.將一個底面半徑為，高為的圓柱形鐵塊熔鑄成一個實心鐵球，則該實心鐵球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為__________.
13.設(shè)，若，則__________.
14.設(shè)是正實數(shù)，若橢圓與直線交于點，點為的中點，直線（為原點）的斜率為2，又，則橢圓的方程為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值.
16.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，點為的圖象的一個對稱中心.
（1）求的解析式；
（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值和最小值互為相反數(shù)，求的最小值.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)是且的反函數(shù)，且函數(shù).
（1）若，求及的值；
（2）若函數(shù)在上有最小值，最大值7，求的值.
18.（本小題滿分17分）
在中，已知.
（1）求；
（2）記為的重心，過的直線分別交邊于兩點，設(shè).
（i）求的值；
（ii）若，求和周長之比的最小值.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的極值；
（2）若存在兩個極值點.
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
2025屆高三9月質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評分細(xì)則
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B
【解析】由，解得的定義域為，又因為，所以，所以，故選B.
2.【答案】C
【解析】因為，所以，所以，解得，可得.故選C.
3.【答案】A
【解析】的否定為，故選A.
4.【答案】B
【解析】，故選B.
5.【答案】D
【解析】由隨機變量，且，因為，可得，則，解得，故選D.
6.【答案】D
【解析】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，故選D.
7.【答案】B
【解析】由，則可得，故可得數(shù)列為等差數(shù)列，又由，有，可得，所以是2為公差的等差數(shù)列，又由，有，所以，則，故，故選B.
8.【答案】D
【解析】，即，設(shè)，顯然單調(diào)遞增，所以恒成立，即，設(shè)函數(shù)，則，顯然的最小值為，所以，故選D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.【答案】AD（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）
【解析】當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以A選項正確，B選項錯誤；因為時，，故C選項錯誤；當(dāng)時，單調(diào)遞減，故D選項正確.故選AD.
10.【答案】AD（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）
【解析】由題得，所以，因為，所以選項正確；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上不單調(diào)，B選項錯誤；
的最小值為最小正周期，C選項錯誤；
當(dāng)時，，所以的取值范圍為，D選項正確，故選AD.
11.【答案】ACD（全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分）
【解析】依題意，，令，解得，A選項正確；
由為奇函數(shù)可得，為偶函數(shù)，所以，所以，又，所以，又，所以，B選項錯誤；
由可得，，所以，求導(dǎo)可得，，C選項正確；
因為，令可得，，令可得，，所以，所以，D選項正確，故選ACD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案及評分細(xì)則】（5分，其他結(jié)果均不得分）
【解析】設(shè)球的半徑為，由題意可知，得，則該實心鐵球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為.
13.【答案及評分細(xì)則】（5分，其他結(jié)果均不得分）
【解析】，整理得，因為，所以，所以.
14.【答案及評分細(xì)則】（5分，橢圓方程正確即給分）
【解析】由已知條件可知，
聯(lián)立，消去并整理得：，
設(shè)，
則
則，
由，則，
又因為，
所以，解得.
所以橢圓的方程為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15.【答案】（1）詳見解析（2）
【解析及評分細(xì)則】（1）側(cè)面為正方形，，
直三棱柱，
平面平面，
平面平面，
平面平面；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
又由，
設(shè)平面的一個法向量為，
，即
令，則，于是，
又由，
設(shè)直線與平面所成的角為，
所以，
故直線與平面所成的角的正弦值為.
16.【答案】（1）（2）
【解析及評分細(xì)則】（1）設(shè)的最小正周期為，則，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以；
（2）依題意，，
因為，所以，
當(dāng)時，的最大值為，最小值為，不符題意；
當(dāng)時，的最大值為1，所以的最小值為，
所以，解得，
所以的最小值為.
17.【答案】（1）（2）或
【解析及評分細(xì)則】（1）函數(shù)是且的反函數(shù)，則，
，
所以，則，
又，所以，
所以.
（2）令，由單調(diào)性可知，在上的值域為或
由于在上最小值為，最大值為7，考慮，解出或，考慮，則，因此的取值范圍為，
若，則；若，則
綜上所述，或.
18.【答案】（1）（2）（i）3，（ii）
【解析及評分細(xì)則】（1），
所以；
（2）（i）設(shè)為的中點，則，又因為，
所以，
因為三點共線，
所以，所以；
（ii）設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長分別為，則，
，所以，
所以，
由可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以，
所以，
所以和的周長之比的最小值為.
19.【答案】（1）的極小值為，無極大值（2）（i），（ii）詳見解析
【解析及評分細(xì)則】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)單調(diào)遞增，
所以為的極小值點，，
所以的極小值為，無極大值；
（2）（i），
設(shè)，即有兩個零點，
則
所以當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)單調(diào)遞增，
所以的最小值為，且，即
當(dāng)時，，若，則，此時在無零點，因此
所以；
（ii）由（i）可知，，且，
所以，
設(shè)，則，
因為，所以單調(diào)遞減，
，所以，所以.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
D
D
B
D
題號
9
10
11
答案
AD
AD
ACD

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