一、單選題
1．的相反數(shù)是（ ）
A．2B．C．D．
2．下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．喜迎新春，小明想制作一個如右圖所示的象征美好寓意的精美擺件，他從不同方向觀察擺件，畫出了如下視圖，其中主視圖是（ ）

A． B．
C． D．
4．“善于學習，就是善于進步”．“學習強國”平臺上線的某天，全國大約有124600000人在平臺上學習，將這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．當時，
B．
C．若的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為2，則
D．若點和點在直線上，則
6．如圖，為的直徑，C，D是上在直徑異側的兩點，C是弧的中點，連接，，交于點P，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
7．在一個不透明的盒子中裝有1個白球和2個黃球，每個球除顏色外，其他都相同．從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出1個球記下顏色，則兩次摸到的球的顏色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在中，，是邊上的高，垂足為D，點F在上，連接，E為的中點，連接，若，則的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如圖，在四邊形中，，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動設運動時間為秒，的面積為個平方單位，則隨變化的函數(shù)圖象大致為（ ）

A． B． C． D．
10．在邊長為正方形中，與相較于點，是同平面內的一動點，，是中點，連接，則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
11．計算： ．
12．因式分解： ．
13．如圖，是反比例函數(shù)圖象上一點，過點作軸于點，點在軸負半軸上，且，連接，若的面積為，則的值為 ．

14．如圖，在邊長為的菱形中，，將菱形沿折疊，使點的對應點落在對角線BD上．若，則的長為 ，的長為 cm．
三、解答題
15．解方程：．
16．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點都在格點上，點A的坐標為?2,3，點B的坐標為，點C的坐標為?1,1，請解答下列問題：
(1)將向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，畫出平移后的；
(2)以原點O為位似中心，畫出的位似圖形，使與的相似比為．
17．觀察以下等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
第5個等式：；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式：________________________；
(2)猜想第n個等式：________________________（用含n的等式表示），并證明．
18．為豐富同學們的課余生活，某校特舉辦了形式多樣的趣味運動會，現(xiàn)準備購買跳繩和水杯兩種獎品，獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學生．已知購買1根跳繩、2個水杯共需花費36元；購買3根跳繩、1個水杯共需花費33元，求購買1根跳繩、1個水杯各需多少元？
19．已知船甲從處向正北方向的島航行，同時，船乙在島正東方向海里的處向正東方向航行，此時船甲觀察到船乙在北偏東方向，小時后船甲在處觀察到船乙在北偏東方向的處，若船甲的航行速度為海里時，求船乙的速度．（精確到 海里，參考數(shù)據(jù)：，，）
20．如圖，是的直徑，弦于點，過點作交的延長線于點，點是延長線上一點，．．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求半徑的長．
21．為增強學生體質，某校對學生進行體育綜合素質測評，學校分別從七、八年級隨機抽取了名學生的測評成績（百分制，單位：分），并對數(shù)據(jù)（測評成績）進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
．七年級名學生測評成績的頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成組：，，， ）如圖所示：
． 七、八年級 名學生測評成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表所示：
． 七年級 名學生傳統(tǒng)文化知識測試成績在 這一組的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根據(jù)以上信息，回答下列問題．
(1)表中的值為 ，補全頻數(shù)分布直方圖．
(2)八年級菲菲同學的測試成績是 分． 他認為高于本年級測試成績的平均數(shù)，所以自己的成績高于本年級一半學生的成績． 你認為他的說法正確嗎 請說明理由．
(3)若該校七年級共有 名學生，測試的成績分及以上為合格，請你估算該校七年級學生測評成績的合格人數(shù)．
22．如圖1，在四邊形中，，點為線段上一點，使得，，此時，連接，，且．

(1)求的長度；
(2)如圖2，點為線段上一動點（點不與，重合），連接，以為斜邊向右側作等腰直角三角形．
①當時，試求的長度；
②如圖3，點為的中點，連接，試問是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．
23．綜合與探究
如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點，作直線．
(1)求拋物線表達式及所在直線的函數(shù)表達式；
(2)若點P是第一象限內拋物線上的一個動點，連接，求面積的最大值及此時點P的坐標；
(3)若點M是拋物線上的點，且，請直接寫出點M的坐標．
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
八年級
參考答案：
1．A
【分析】本題考查相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【詳解】解：的相反數(shù)是2．
故選：A．
2．C
【分析】本題考查整式的運算，解題的關鍵是根據(jù)合并同類項，積的乘方及冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，完全平方公式分別對各選項逐一分析即可作出判斷．
【詳解】解：A．，故此選項不符合題意；
B．，故此選項不符合題意；
C．，故此選項符合題意；
D．，故此選項不符合題意．
故選：C．
3．A
【分析】本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關鍵是由三視圖得到相應的平面圖形．從正面看到的圖是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫實線，被遮擋的線畫虛線．
找到從正面看，得到的圖形即可．
【詳解】解：主視圖是

故選：A．
4．B
【分析】本題考查科學記數(shù)法?表示較大的數(shù)，根據(jù)科學記數(shù)法的方法，可以將題目中的數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示出來，本題得以解決，解答本題的關鍵是明確科學記數(shù)法的表示方法．
【詳解】解：，
故選：B．
5．C
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質結合圖象即可得出結論．
【詳解】解：觀察一次函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，圖象過點，即當時，，故A是錯誤的；
觀察一次函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，圖象經(jīng)過第一、二、三象限，所以，故B是錯誤的；
若的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為2，即，則，故C是正確的；
∵，
∴隨的增大而增大，
∵，
∴，
故D是錯誤的，
故選：C．
6．A
【分析】本題考查的是圓周角定理的應用，三角形的外角的性質的應用，先求解，再利用三角形的外角的性質可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，

∵為直徑，C是弧的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選A
7．D
【分析】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與摸出的兩個球中，顏色不同的情況，再利用概率公式即可求得答案；
【詳解】解：用樹狀圖列出所有可能的結果：
由樹狀圖可知可知，共有6種可能出現(xiàn)的結果，并且它們都是等可能的，其中“兩次摸到不同顏色的球”有4種情況，
所以概率為：，
故選：D
8．B
【分析】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的性質，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據(jù) “三線合一”得到D為的中點，根據(jù)三角形中位線定理計算得到，再利用計算求解即可解題．
【詳解】解：，是邊上的高，垂足為D，
D為的中點，
E為的中點，
為的中位線，
，
，
，
故選：B．
9．D
【分析】分當時，點在上和當時，點在上，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．
【詳解】解：過作于，當時，點在上，

∵，
∴
∴，
∴，
∴，
當時，點在上，過點作于點，

∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∵，
∴四邊形是矩形，
∴
，
綜上所述，當時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當時，函數(shù)圖象是直線的一部分，
故選：D．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，矩形的性質，勾股定理，30度直角三角形的性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．
10．C
【分析】本題考查了正方形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理，最短線段問題，由是同平面內的一動點，，可得點為正方形外接圓上一點，延長至，使，由是中點，可得為的中位線，即，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，當點三點共線時，最小，利用勾股定理即可求出最小值，進而求解，畫出圖形，正確找到取最小值時點的位置是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是同平面內的一動點，，
∴點為正方形外接圓上一點，
延長至，使，
∵是中點，
∴為的中位線，
∴，
由三角形兩邊之和大于第三邊可知，當點三點共線時，最小，
過點作于，
∵為正方形，邊長為，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值，
故選：．

11．
【分析】根據(jù)二次根式的化簡和零指數(shù)冪的知識進行計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查的二次根式化簡和零指數(shù)冪的知識，解題關鍵是學會二次根式化簡和零指數(shù)冪．
12．
【分析】本題主要考查提公因式法，公式法因式分解，掌握提公因式法，乘法公式進行因式分解是解題的關鍵．
先提取公因式，再運用乘法公式進行因式分解即可求解．
【詳解】解：
，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義．熟練掌握反比例函數(shù)值的幾何意義是關鍵．
根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義，求出三角形面積即可知道值．
【詳解】解：，的面積為，
∴，
∴，
故答案為：．
14． /
【分析】由折疊的性質可知，，，則，因為四邊形是菱形，則，，則推出為等邊三角形，則，，推出，又因為，則，則，因為，推出，則，設，，，則，求出；又因為，即，解得，又因為，即，則；推出-2．
【詳解】解：由折疊的性質可知，，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，，
∴，
即；
又∵，
即，
解得，
∵，
即，
∴；
∴），
故答案為：，．
【點睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定與性質，菱形的性質，相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是掌握相關知識．
15．，
【分析】本題考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解題的關鍵是掌握解一元二次方程的一般方法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，根據(jù)情況靈活選用解法求解即可．
【詳解】解：，
∵
∴，
∴，
∴，．
16．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖—平移變換、位似變換，熟練掌握平移規(guī)律，位似變換的性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)“橫坐標：左減右加，縱坐標：上加下減”的平移規(guī)律，得到平移后的點坐標，描點，連接即可；
（2）根據(jù)位似的性質，將橫坐標，縱坐標都按照位似比進行變化，得到變換后的點坐標，描點，連接即可．
【詳解】（1）解：點A的坐標為?2,3，點B的坐標為，點C的坐標為?1,1，點，，，為點，，分別向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度所得，
，，，
，，，
如圖所示，連接，，組成的即為所求．
（2）解：，，，與的相似比為，原點O為位似中心，
，，，即，，，
如圖所示，連接，，，組成的即為所求．
17．(1)
(2)，證明見解析
【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律問題，理解題目中代數(shù)式中各式的數(shù)量關系，掌握整式的運算，分式的運算法則是解題的關鍵．
（1）根據(jù)材料提示中的數(shù)量關系即可求解；
（2）根據(jù)材料提示，分式的運算法則即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，第6個等式為：，
故答案為：；
（2）解：第n個等式為：，理由如下，
證明：左邊右邊，
∴等式成立，
故答案為：．
18．購買1根跳繩需6元，1個水杯需15元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設購買一根跳繩元，購買一個水杯需元，根據(jù)題意列出二元一次方程組可得出答案．熟悉相關性質，找準各個數(shù)量之間的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設購買一根跳繩元，購買一個水杯需元，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
答：購買一根跳繩6元，購買一個水杯需15元；
19．海里時
【分析】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，解直角三角形求出海里，再解直角三角形求出海里，即可得海里，進而可得船乙的速度，掌握解直角三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，海里，，，
在中，，
海里，
海里，
海里，
在中，，
海里，
海里，
∴船乙的速度為海里時．
答：船乙的速度約為海里時．
20．(1)見詳解
(2)5
【分析】（1）連接，則，由于點，得，由，，得，則，即可證明是的切線；
（2）由垂徑定理得，而，所以，由，則，根據(jù)勾股定理得，即可求得，則半徑的長是5．
【詳解】（1）證明：連接，則，
，
于點，
，
交的延長線于點，點是延長線上一點，
，
，
，
，
是的半徑，且，
是的切線．
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得，
半徑的長是5．
【點睛】此題重點考查切線的性質、垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
21．(1)，見解析
(2)不正確，見解析
(3)人
【分析】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，樣本估計總體；
（1）根據(jù)中位數(shù)的定義，結合已知數(shù)據(jù)，即可求解，根據(jù)第三組的頻數(shù)補全頻數(shù)直方圖；
（2）根據(jù)中位數(shù)的意義，即可求解．
（3）根據(jù)樣本估計總體，用七年級測試的成績分及以上的占比乘以，即可求解．
【詳解】（1）解：七年級的中位數(shù)為第 40 和第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∴；
第三組的頻數(shù)為（人）， 補全頻數(shù)分布直方圖如下
故答案為：．
（2）解：菲菲的說法不正確，
理由：77 分雖然高于本年級測試成績的平均數(shù)，但低于中位數(shù)，所以他的成績低于本年級一半學生的成績；
（3）解： （人），
答：估算該校七年級學生的總人數(shù)有 990 人．
22．(1)
(2)①；②
【分析】（1）取的中點，連接，證明，得出則，進而根據(jù)，即可求解；
（2）①如圖所示，過點作于點，過點作于點，證明得出，即可得出，證明，進而證明在上，根據(jù)已知條件證明在上，然后解直角三角形，即可求解；
②如圖所示，過點作于點，連接，由①可得在上運動，當時，取得最小值，即重合時，的長即為的最小值，由①可得，求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，取的中點，連接，

∵，，
∴，，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）①如圖所示，過點作于點，過點作于點，

由（1）可得
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵都是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴在上，
∵，
∴
∵
∴在上，
∵，
∴，則
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
②如圖所示，過點作于點，連接，

由①可得在上運動，
∴當時，取得最小值，即重合時，的長即為的最小值，
設交于點，即與①中點重合，由①可得
∵
∴，
∴
設
則，
在中，．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，證明點在上是解題的關鍵．
23．(1)拋物線解析式為，直線的解析式為，
(2)面積的最大值為4，此時點P的坐標為
(3)或
【分析】（1）設出直線解析式，分別把B4,0，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點P作軸交于D，設，則，可得；再由，得到，利用二次函數(shù)的性質即可求出答案；
（3）如圖所示，取點，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點M即為為拋物線的交點，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點M的坐標為；求出直線與y軸的交點坐標為；取，則直線解析式為，由對稱性可得，則射線與拋物線的交點即為點M，同理可得點M的坐標為．
【詳解】（1）解：把B4,0，代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
設直線的解析式為，
把B4,0，代入中得：，
∴，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖所示，過點P作軸交于D，
設，則，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當時，最大，最大值為4，
∴此時點P的坐標為
（3）解：如圖所示，取點，連接，
∵B4,0，，
∴，，
，
∴，，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴點M即為為拋物線的交點，
同理可得直線解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴點M的坐標為；
在中，當時，，
∴直線與y軸的交點坐標為；
取，則直線解析式為，
由對稱性可得，
∴射線與拋物線的交點即為點M，
聯(lián)立，解得或，
∴點M的坐標為；
綜上所述，點M的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，解（2）的關鍵在于利用線段的長表示出對應三角形的面積，解（3）的關鍵在于取出H點證明等腰直角三角形得到45度的角．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
C
A
D
B
D
C

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