一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．給出下列關(guān)系：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．集合的另一種表示法是（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)集合，，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．15D．16
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命題中，正確的是（ ）
A．的最小值是4B．的最小值是2
C．如果，，那么D．如果，那么
8．設(shè)，，，則，，的大小順序是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)若，則下列命題正確的是（ ）
A．若且，則B．若，則
C．若，則D．若且，則
10．已知關(guān)于的不等式的解集是，則（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集是
11．“”的充分不必要條件可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)______．
13．已知，，且，則的最小值是______．
14．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題（本大題共5小題，第15題13分，第16．17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．已知集合，，求：
（1），；
（2），
16．（1）解不等式；
（2）解不等式．
17．已知集合，集合．
（1）當(dāng)時(shí)，求和；
（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．設(shè)函數(shù)．
（1）若不等式的解集為，求，的值；
（2）當(dāng)時(shí)，，，，求的最小值．
19．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48平方米，房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元．如果墻高為，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？
答案和解析
1．【答案】B
【解析】【分析】
本題考查元素與集合的關(guān)系及特殊集合的表示方法，利用和的定義，逐一分析求解即可．
【解答】
解：對(duì)于①，為實(shí)數(shù)，而表示實(shí)數(shù)集，所以，即①正確；
對(duì)于②，2為整數(shù)，而表示整數(shù)集合，所以，即②正確；
對(duì)于③，為正自然數(shù)，而表示正自然數(shù)集，所以，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)闉闊o(wú)理數(shù)，表示有理數(shù)集，所以，即④錯(cuò)誤．故選B．
2．【答案】D
【解析】【分析】
本題主要考查存在量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題即可得到結(jié)論．
【解答】
解：命題：，的否定是：，．故選D．
3．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題．
集合是用描述法來(lái)表示的，用另一種方法來(lái)表示就是用列舉法，看出描述法所表示的數(shù)字在集合中列舉出元素．
【解答】
解：集合是用描述法來(lái)表示的，
用另一種方法來(lái)表示就是用列舉法，
即
故選D．
4．【答案】C
【解析】【分析】
本題主要考查了集合中元素的性質(zhì)以及集合的真子集個(gè)數(shù)的問(wèn)題，屬于一般題．
結(jié)合集合中元素的性質(zhì)以及集合的真子集個(gè)數(shù)的求法進(jìn)行求解即可．
【解答】
解：由題意可知，集合，集合中有4個(gè)元素，
則集合的真子集有個(gè)，
故選C．
5．【答案】A
【解析】【分析】
本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由，得或，
則“”是“”的充分不必要條件，故選A．
6．【答案】B
【解析】【分析】
本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
由，，可得的取值范圍．
【解答】解：，，
，．
故選B．
7．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了基本不等式、不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
根據(jù)基本不等式和不等式性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．
【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A不正確；
對(duì)于B，，最小值不為2，故B不正確；
對(duì)于C，，，那么，或，故C不正確；
對(duì)于，，，故D正確．故選D．
8．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查利用作差法比較大小，屬于一般題．
對(duì)，作差可求出，再對(duì)，作差可求出，即可得出答案．
【解答】
解：，
因?yàn)椋?br>而，所以，所以，
，
而，，，
而，所以，
綜上，．
故選：D．
9．【答案】BC
【解析】【分析】
本題主要考查比較大小，屬于基礎(chǔ)題．
利用賦值法及不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：A．若且，當(dāng)，時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；
B．，
，，，，
即，故B正確；
C．若，則，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；
D．若且，因?yàn)?，所以，必為一正一?fù)；
又因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，故D錯(cuò)誤．
故選BC．
10．【答案】ABD
【解析】【分析】
本題考查二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于中檔題．
由二次不等式的解集可得二次方程的解，且，進(jìn)而判斷A，B，C的真假，D中兩邊除以，整理可得不等式，進(jìn)而求出解集，判斷D的真假
【解答】
解：由不等式的解集可得，且二次方程的根為1，3，故A正確；
所以，，即，，
故，即，故B正確；
因?yàn)?，由，，可得，?br>因?yàn)?，所以?br>即，故C錯(cuò)誤；
所以不等式整理可得，
即，解得或，
所以不等式的解集，故D正確．故選：ABD．
11．【答案】AB
【解析】【分析】
本題考查不等式的解法、充要條件的判定方法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
由，解出不等式，根據(jù)充分但不必要的條件即可得出結(jié)論．
【解答】
解：由，得，
所以“”“”是“”的充分不必要條件，
“”是“”的充分必要條件．
“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：AB．
12．【答案】1
【解析】【分析】
本題考查元素的互異性及集合間的關(guān)系，注意解題時(shí)要驗(yàn)證互異性，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，若，必有，而不合題意，舍去，解可得答案，注意最后進(jìn)行集合元素互異性的驗(yàn)證．
【解答】
解：由，，．解得．
驗(yàn)證可得符合集合元素的互異性，
此時(shí)，，滿足題意．
故答案為：1．
13．【答案】18
【解析】【分析】
本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
直接利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值是18．
故答案為18．
14．【答案】
【解析】【分析】
本題考查一元二次不等式恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
首先討論，然后時(shí)，將一元二次不等式恒成立問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換即可得解．
【解答】
解：若，則不等式變?yōu)榱撕愠闪?，故滿足題意：
若，則不等式恒成立等價(jià)于，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
15．【答案】解：（1）因?yàn)?，?br>所以，．
（2）由（1）可得，
，
．
【解析】本題考查集合間基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
（1）解出集合，按照集合的運(yùn)算定義進(jìn)行運(yùn)算即可．
（2）按照集合的運(yùn)算定義進(jìn)行運(yùn)算即可．
16．【答案】解：（1），即為，
即，解得或，
故原不等式的解集為；
（2）由，即為，
即為，即，解得．
故原不等式的解集為．
【解析】本題考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
（1）先因式分解即可求出答案，（2）把原不等式化為，解出即可．
17．【答案】解：（1）集合，
整理得：，
集合．
當(dāng)時(shí)，．所以．
（2）若是的必要不充分條件，所以，
當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，或，
整理得或．
綜上所述：或．
【解析】本題主要考查集合的交、并，補(bǔ)集的混合運(yùn)算，必要不充分條件，以及利用集合關(guān)系求參數(shù)范圍，屬于中檔題．
（1）首先求出集合，再求出集合，根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義即可求出；
（I）由是的必要不充分條件，可得，分和討論即可得解．
18．【答案】解：（1）由題意知，和3是方程的兩根，
所以，，解得，．
（2）由，知，
因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9．
【解析】本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式應(yīng)用問(wèn)題，屬于較易題．
（1）根據(jù)一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出、的值．
（2）由題意，求得，利用基本不等式，即可求出的最小值．
19．【答案】解：設(shè)房屋側(cè)面的底面邊長(zhǎng)為，正面的底面邊長(zhǎng)為，總造價(jià)為元，
因?yàn)?，所?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，
所以當(dāng)房屋側(cè)面的底面邊長(zhǎng)為，正面的底面邊長(zhǎng)為時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為63400元，
【解析】本題考查了利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，確定函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
設(shè)房屋側(cè)面的底面邊長(zhǎng)為，正面的底面邊長(zhǎng)為，總造價(jià)為元，
由題意可得，利用基本不等式求出最值即可

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