1．已知數(shù)列滿足，.給出下列四個結(jié)論：
①數(shù)列每一項都滿足；
②數(shù)列的前n項和；
③數(shù)列每一項都滿足成立；
④數(shù)列每一項都滿足.
其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②④
【答案】C
【分析】由遞推公式，判斷每個命題的正誤.
【詳解】①，，，所以，由遞推關(guān)系得，①正確；
②，，，，則，所以②不正確；
③，所以，
累加得，，所以，，所以（，），，故成立，③正確；
④，，累乘得，，所以，④正確.
故選：C.
【點睛】將遞推公式變形為和分別進行累加和累乘，得的取值范圍.
2．若，且對任意正整數(shù)n，均有，則稱一個復(fù)數(shù)數(shù)列為“有趣的”．若存在常數(shù)C，使得對一切有趣的數(shù)列及任意正整數(shù)m，均有，則C的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)“有趣的”復(fù)數(shù)數(shù)列的定義可知,可求得,,對參數(shù)分奇偶性討論,結(jié)合三角不等式得
利用無窮等比數(shù)列求和,即可求得的最小值.
【詳解】由題意得，，
所以，從而，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故
進而有
令，
當m為偶數(shù)時，設(shè)，
則；
當m為奇數(shù)時，設(shè)，
故
綜上可得C的最大值為，
故選:C．
【點睛】關(guān)鍵點點睛:在本題中關(guān)鍵是構(gòu)造并利用等比數(shù)列,
第一次是構(gòu)造等比數(shù)列:由可構(gòu)造等比數(shù)列從而求得,
第二次構(gòu)造等比數(shù)列:利用構(gòu)造等比數(shù)列,
第三次是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和:由得到等比數(shù)列求和.
二、多選題
3．定義：若數(shù)列滿足，則稱為“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”.已知在“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”中，首項，則（ ）
A．當時，
B．當時，為遞增數(shù)列
C．當時，有最小值
D．當取任意非零實數(shù)時，一定有最大值或最小值
【答案】ABD
【分析】求出，即可判斷A；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再通過取點與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關(guān)系，逐一分析各個選項即可得解.
【詳解】對于A，當時，，故A正確；
下面分析B，C，D項：
構(gòu)造函數(shù)，則，
構(gòu)造函數(shù)，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
即，所以單調(diào)遞增，
再通過取點與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關(guān)系，
當時，，
當時，，當時，，
根據(jù)位置關(guān)系作出大致圖象如圖1：
分析B項：如圖2，
以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
依此類推，由圖可知，為遞增數(shù)列，B正確；
分析C項：如圖3，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
依此類推，由圖可知，為遞減數(shù)列，
無限趨近于0，無最小值，C錯誤；
分析D項：如圖4，當時，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
依此類推，由圖可知，當時，為遞增數(shù)列，
設(shè)與的圖象在第一象限的交點為，
結(jié)合B，C項可知：當或時，為遞增數(shù)列，
當時，為遞減數(shù)列，
當時，為常數(shù)列，
顯然，一定有最小值或最大值，D正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決．
4．已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項和為，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．若數(shù)列滿足，則
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和柯西不等式推導(dǎo)出，從而得到A正確，B錯誤；構(gòu)造函數(shù)得到在上恒成立，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出C正確；D選項，化簡得到，再用裂項相消法求和，證明出結(jié)論.
【詳解】A選項，，故，
由基本不等式可得，故，當且僅當時，等號成立，
故，A正確；
B選項，由柯西不等式得
，
當且僅當時，等號成立，
故，
，故，當且僅當時，等號成立，
故，
依次類推，可得，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br>故
，B錯誤；
C選項，設(shè)，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，故在上恒成立，
，C正確；
D選項，，
，
故，D正確.
故選：ACD
【點睛】常見的裂項相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對數(shù)型：，且；
5．利用“”可得到許多與n（且）有關(guān)的結(jié)論，則正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先證明出，當且僅當時，等號成立，A選項，令，得到，累加后得到A正確；B選項，推導(dǎo)出，，當且僅當時等號成立，令，可得，累加后得到B正確；C選項，推導(dǎo)出，累加后得到C錯誤；D選項，將中的替換為，推導(dǎo)出，故，當且僅當時，等號成立，累加后得到D正確.
【詳解】令，則，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也時最小值，，
故，當且僅當時，等號成立，
A選項，令，所以，
故，
其中
，
所以，A正確；
B選項，將中的替換為，可得，，
當且僅當時等號成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B正確；
C選項，將中的替換為，顯然，
則，
故，
故，C錯誤；
D選項，將中的替換為，其中，，則，
則，故，當且僅當時，等號成立，
則，D正確.
故選：ABD
【點睛】導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的.
6．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，.該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構(gòu)成的數(shù)列記為，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（ ）
A．B．若，則
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)數(shù)列的特征得到為，為周期為3的數(shù)列，從而得到，A正確；
根據(jù)數(shù)列的周期求和得到或，所以B錯誤.
利用斐波那契數(shù)列的特征得到，C正確；
根據(jù)提公因式和斐波那契數(shù)列的特征得到D正確.
【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出：數(shù)列為依次連續(xù)兩個奇數(shù)和一個偶數(shù)，
所以數(shù)列為，則數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為3，
所以，所以A正確.
因為，且，所以或，所以B錯誤.
因為
，所以C正確.，
所以D正確.
故選：ACD
【點睛】斐波那契數(shù)列有以下性質(zhì)：
（1）從第二項開始，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1，
（2）奇數(shù)項之和，偶數(shù)項之和，
（3）平方之和，
（4）兩倍項關(guān)系，
（5）.
三、填空題
7．已知數(shù)列、、的通項公式分別為、、，其中，，，，，令，（表示、、三者中的最大值），則對于任意，的最小值為__________．
【答案】
【分析】當時可得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得，取得最小值，而，分別求出、，比較可得時的最小值；然后當、時，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，分別求出可能取得最小值時的值，比較即可得答案.
【詳解】當時可得，
因為數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當時，取得最小值，此時，
因為，而，
，
又，所以當時，的最小值為；
當時，，
因為數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當時，取得最小值，此時，
因為，而，
，
此時的最小值為，而；
當時，，，
所以，
令，
因為數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以時，取得最小值，此時，
因為，，
，
又因為，此時的最小值為.
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
8．作單位圓的外切和內(nèi)接正邊形，記外切正邊形周長的一半為，內(nèi)接正邊形周長的一半為.計算可得，其中是正邊形的一條邊所對圓心角的一半.
給出下列四個結(jié)論：
①；②；
③；④記，則，.
其中正確結(jié)論的序號是__________.
【答案】①③④
【分析】對于①，在等腰三角形中求出，從而可求出，對于②，分別計算進行判斷，對于③，分別計算進行判斷，對于④，先計算，再計算化簡后，利用換元法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.
【詳解】對于①，等腰三角形中，，則，
所以，所以①正確；
對于②，因為，，所以，，
所以，
，
所以，所以②錯誤；
對于③，因為，，所以，，，
所以，
，
所以，所以③正確；
對于④，，
所以
，
令（），則
，
所以，
所以在上遞增，
所以，所以，所以④正確，
故答案為：①③④.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意利用三角函數(shù)表示出和，及三角函數(shù)恒等變換公式的靈活應(yīng)用，考查計算能力，屬于難題.
9．對任意，函數(shù)滿足，，數(shù)列的前15項和為，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和的極限存在，則___________.
【答案】
【分析】由題意可得，，．展開代入可得，又，化為．再根據(jù)數(shù)列的前15項和與，解得，．可得，．解出，即可得出，對分奇偶分別求和并取極限，利用極限相等求得.
【詳解】，，
，
展開為，，
即，．
即，
，
化為．
數(shù)列{}是周期為2的數(shù)列．
數(shù)列{}的前15項和為，
．
又，
解得，．
∴，．
由0，，解得．
0，，解得，
又，
令數(shù)列的前項和為，則當為奇數(shù)時，，取極限得；
則當為偶數(shù)時，，取極限得；
若數(shù)列的前項和的極限存在，則，，
故答案為：.
【點睛】方法點睛：在遇到周期性數(shù)列求和時，可利用分組求和的方法，分別對奇數(shù)項和偶數(shù)項進行求和，然后再求和.
四、解答題
10．已知數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項，在中都存在一項，使得；
②對于中任意連續(xù)三項，均有．
(1)分別判斷以下兩個數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，并說明理由：
（i）有窮數(shù)列：；
（ⅱ）無窮數(shù)列：．
(2)若有窮數(shù)列滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且各項互不相等，求項數(shù)m的最大值；
(3)若數(shù)列滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且，求的通項公式．
【答案】(1)（i）不滿足，理由見詳解；（ⅱ）滿足，理由見詳解
(2)3
(3)
【分析】（1）（i）令，代入求解即可判斷；（ⅱ）對于任意，直接相乘得到即可判斷；
（2）對于有窮數(shù)列，記其非零項中絕對值最大的一項為，絕對值最小的一項為，令時，得到；再令時，得到，從而得到數(shù)列至多有0，-1，1共3項，再構(gòu)造數(shù)列：0，-1，1，證明其滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，進而即可求得項數(shù)m的最大值；
（3）首先證明：當，時，數(shù)列滿足，且， (*)，再考慮，，三項，結(jié)合性質(zhì)(*)得到，從而，最后經(jīng)驗證，數(shù)列：滿足條件，再通過反證法證明這是唯一滿足條件的數(shù)列即可．
【詳解】（1）（i）不滿足．令，則不是數(shù)列{an } 中的項，故有窮數(shù)列不滿足性質(zhì)①；
（ⅱ）滿足．對于任意，有，
由于，令即可，故無窮數(shù)列滿足性質(zhì)①．
（2）對于有窮數(shù)列，記其非零項中絕對值最大的一項為，絕對值最小的一項為，
故令時，存在一項，
又是數(shù)列非零項中絕對值最大的，所以，即；
再令時，存在一項，
又是數(shù)列非零項中絕對值最小的，所以，即，
又，所以數(shù)列所有非零項的絕對值均為1，
又數(shù)列的各項均不相等，所以其至多有0，-1，1共3項，所以，
構(gòu)造數(shù)列：0，-1，1，
其任意兩項乘積均為0，-1，1之一，滿足性質(zhì)①；
其連續(xù)三項滿足，滿足性質(zhì)②.
又其各項均不相等，所以該數(shù)列滿足條件，此時，
綜上，的最大值為3．
（3）首先證明：當，時，數(shù)列滿足，且， (*)
因為對于任意數(shù)列的連續(xù)三項，，，總有，
即 或，不論是哪種情形， 均有
當時，，即；
當時，，亦有，
又，故性質(zhì)(*)得證．
考慮，，三項，有或，
若，則，此時令，有，
由性質(zhì)(*)知不存在k 使得，且，
故只有，此時，
因為 ，
所以令時，，
由性質(zhì)(*)知，只有或，
當 時，，，此時令，，
但，即，
由性質(zhì)(*)知不存在k使得，
所以，即，從而，
經(jīng)驗證，數(shù)列：滿足條件，下面證這是唯一滿足條件的數(shù)列，
假設(shè)是第一個不滿足上述通項公式的項，，
當，時，只能為，
令，則 ，但，
由性質(zhì)(*)，不存在k使得，
當，時，只能為，
則，
令，則，但，
由性質(zhì)(*)，不存在k 使得，
故不存在不滿足上述通項公式的項，
綜上，數(shù)列的通項公式為．
【點睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決．
11．對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列、、、，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列、、、、．對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列、、、，定義變換，將數(shù)列各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列；又定義．設(shè)是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．
(1)如果數(shù)列為、、，寫出數(shù)列、；
(2)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；
(3)證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當時，．
【答案】(1)、、，、、、
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由、、，求得再通過求解；
（2）設(shè)有窮數(shù)列求得再求得，由，兩者作差比較；
（3）設(shè)是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列、、、．在存在，有時條件下，交換數(shù)列的第項與第項得到數(shù)列，在存在，使得時條件下，若記數(shù)列、、、為，，．由，得到．是大于的整數(shù)，所以經(jīng)過有限步后，必有．
【詳解】（1）解：、、，、、、，、、，
、、、，、、、.
（2）證明：設(shè)每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為、、、，
則為、、、、，
從而．
又 ，
所以，
故．
（3）解：設(shè)是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列，，．
當存在，使得時，交換數(shù)列的第項與第項得到數(shù)列，
則．
當存在，使得時，若記數(shù)列，，為，
則．
所以．
從而對于任意給定的數(shù)列，由，1，2，…
可知．
又由（2）可知，所以．
即對于，要么有，要么有．
因為是大于的整數(shù)，所以經(jīng)過有限步后，必有．
即存在正整數(shù)，當時，.
【點睛】思路點睛：本題考查了數(shù)列新定義問題，按著某種規(guī)律新生出另一個數(shù)列的題目，涉及到歸納推理的思想方法，對學(xué)生的思維能力要求較高，綜合性強，能很好的考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是要理解新定義，根據(jù)定義進行邏輯推理，進而解決問題.
12．已知數(shù)列滿足，其前8項的和為64；數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記，，求數(shù)列的前項和；
(3)記，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件得到等差數(shù)列的公差，利用前項和公式，求出首項，得到通項公式，設(shè)出公比，得到方程，求出公比，寫成通項公式；
（2）寫出的通項公式，利用裂項相消法求和；
（3）方法一：變形得到，其中利用錯位相減法求和，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況求解，最終求出；
方法二：變形后，利用裂項相消法求和，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況求解，最終求出.
【詳解】（1）∵，
∴數(shù)列是公差為等差數(shù)列，且，
∴，解得，
∴；
設(shè)等比數(shù)列的公比為（），
∵，，
，即，
解得（舍去）或，
∴
（2）由（1）得
，
（3）方法一：
∵，
①
②
兩式相減得，
，
，
當為偶數(shù)時，
，
當為奇數(shù)時，
，
.
方法二：
當為偶數(shù)時，
，
當為奇數(shù)時，
，
.
【點睛】方法點睛：常見的裂項相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對數(shù)型：，且；
13．若無窮數(shù)列滿足，，則稱具有性質(zhì)．若無窮數(shù)列滿足，，則稱具有性質(zhì)．
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，且，請直接寫出的所有可能取值；
(2)若等差數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的取值范圍；
(3)已知無窮數(shù)列同時具有性質(zhì)和性質(zhì)，，且不是數(shù)列的項，求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)的可能取值有：、、、
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題中定義可得出，，可依次求得、的取值；
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)可求得的取值范圍，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；
（3）根據(jù)性質(zhì)可得出，根據(jù)可推導(dǎo)出、必同號，再利用性質(zhì)可得出，利用反證法可證得：，則，再證明出，由此可知，都成立，可猜測數(shù)列的通項公式，再利用反證法證明數(shù)列的唯一性即可.
【詳解】（1）解：因為數(shù)列具有性質(zhì)，則，所以，，
當時，由，所以，或，
當時， 由，所以，或.
綜上所述，的可能取值有：、、、.
（2）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
即，所以，，
所以，，
因為，則，
所以，.
（3）解：根據(jù)性質(zhì)，，都有，
又因為，所以，，
于是，因為、必同號，進而、必同號，
若，由性質(zhì)，必有，，，，這與矛盾，
所以，，進而，，討論可知或或，僅有這三種可能.
若，則，，，這與矛盾，因此，.
下面證明：，則，
利用反證法：假設(shè)，則，
又因為，所以，，
若，則或，與矛盾，則，所以，，則或，
于是無論哪種情況，，，
由且可得，此時滿足，
所以，，則，，所以，，矛盾，
綜上可知，，所以，，，
下面證明：，利用反證法，如不然，只能，所以，，則，
由于，所以，，只能有，，這與矛盾，
總之，，再由可得，進而，都成立，
可以猜測數(shù)列的通項為，
可驗證此時、兩條性質(zhì)均成立，符合題意，
如另有其它數(shù)列符合題意，則至少前項必為：、、、、，
仍滿足，，
設(shè)是第一個違反上述通項公式的項，
若，則，，所以，，符合通項公式，矛盾；
若，則，，所以，，也符合通項公式，矛盾.
綜上所述，數(shù)列的通項公式必為.
【點睛】思路點睛：本題考查了數(shù)列新定義問題，按著某種規(guī)律新生出另一個數(shù)列的題目，涉及到歸納推理的思想方法，對學(xué)生的思維能力要求較高，綜合性強，能很好的考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是要理解新定義，根據(jù)定義進行邏輯推理，進而解決問題.
14．對于一個有窮單調(diào)遞增正整數(shù)數(shù)列P，設(shè)其各項為，，，，若數(shù)列P中存在不同的四項，，，滿足，則稱P為等和數(shù)列，集合稱為P的一個等和子集，否則稱P為不等和數(shù)列．
(1)判斷下列數(shù)列是否是等和數(shù)列，若是等和數(shù)列，直接寫出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；
(2)已知數(shù)列P：，，，，是等和數(shù)列，并且對于任意的，總存在P的一個等和子集M滿足集合，求證：數(shù)列P是等差數(shù)列；
(3)若數(shù)列P：，，，是不等和數(shù)列，求證：．
【答案】(1)是等和數(shù)列，所有的等和子集為，，；不是等和數(shù)列
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由等和數(shù)列的定義判斷即可；
（2）數(shù)列P最多有如下五個等和子集：，，，，，根據(jù)反證法結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；
（3）假設(shè)，且不是整數(shù)，利用反證法證明即可.
【詳解】（1）A是等和數(shù)列，所有的等和子集為，，；
B是不等和數(shù)列．
（2）數(shù)列P最多有如下五個等和子集：，，，，，
考慮，，只可能是如下三種情況的一種：
，，，
若，則，不是P的等和子集，
否則，或，并且不是P的等和子集，否則，，
所以，P的所有等和子集有，，
此時，不滿足，該情況不成立，即；
由對稱性可知，，
因此，，此時，，不是P的等和子集，
考慮，，
故，是P的等和子集，
故，，
由以上三式可知，即數(shù)列P是等差數(shù)列．
（3）假設(shè)，且不是整數(shù)，
則對于任意，總有，
因為數(shù)列P是不等和數(shù)列，所以，至少有個不同的取值，
若存在，則，，
當時，若，則，則存在等和數(shù)列，與題設(shè)矛盾，
故時，有，
所以，，只有個不同的取值，
因此，，，
又因為存在，所以，，此時，，矛盾．
若不存在，則，恰個不同的取值，
所以，，，并且，，
此時，，矛盾．
綜上，．
【點睛】思路點睛：本題考查了數(shù)列新定義問題，按著某種規(guī)律新生出另一個數(shù)列的題目，涉及到歸納推理的思想方法，對學(xué)生的思維能力要求較高，綜合性強，能很好的考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是要理解新定義，根據(jù)定義進行邏輯推理，進而解決問題.
15．高鐵的建設(shè)為一個地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展提供了強大的推進力，也給人們的生活帶來極大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個路段的示意圖，其中線段?代表山坡，線段為一段平地.設(shè)圖中坡的傾角滿足，長長長.假設(shè)該路段的高鐵軌道是水平的（與平行），且端點分別與在同一鉛垂線上，每隔需要建造一個橋墩（不考慮端點建造橋墩）
(1)求需要建造的橋墩的個數(shù)；
(2)已知高鐵軌道的高度為，設(shè)計過程中每放置一個橋墩，設(shè)橋墩高度為（單位：），單個橋墩的建造成本為（單位：萬元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.
【答案】(1)18個
(2)715.625萬元
【分析】（1）先由正切值得到余弦值，進而計算得到得到的長，再計算得出，結(jié)合每30m放置一個橋墩，
即可求出需要建造的個數(shù).
（2）可設(shè)最左邊的橋墩到的距離為米，為從左往由第個橋墩的高度，寫出和
對應(yīng)的橋墩高度的表達式，然后利用數(shù)列求和求出所有橋墩的高度，計算出成本總和的最小值即可得
出答案.
【詳解】（1）由，，可得，，過點向作垂線，垂足為，則
，，，
故修建橋墩個數(shù)為個.
（2）設(shè)最左邊的橋墩到的距離為米，為從左往由第個橋墩的高度，
由，之間可以建13或14個橋墩，當可以建14個橋墩時，
，當時，AC之間可以建13個橋墩，而，
即之間可以建8個橋墩，在時，當，，
，，；
當，
；當，；同理寫出，
表達式總結(jié)如下：
①當時：
解得
求和后得到的高度總和
②當時：
求和后得到的高度總和
所以當，，當，，
即橋墩高度總和最小為，成本最小值為萬元.
【點睛】方法點睛：利用數(shù)列求解最值問題一般有三種方法：
（1）數(shù)列也是特殊的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)，因此可以利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而確定數(shù)列的最值.
（2）結(jié)合基本不等式求最值，將通項或者前n項和轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求最值.
（3）利用相鄰項比較，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求最大值只需要滿足，得出最值.
16．給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對值之和.
(1)判斷、哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；
(2)任取一個元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；
(3)當遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)的最小值.
注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).
【答案】(1)集合A不是規(guī)范數(shù)集；集合B是規(guī)范數(shù)集；
(2)證明見詳解；
(3).
【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合中的元素兩兩相減的差的絕對值，是否都大于等于1即可；
（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類討論、與三種情況，結(jié)合去絕對值的方法即可證明；
（3）法一：當時，證得，從而得到；當時，證得，從而得到；當時，分類討論與兩種情況，推得，由此得解；
法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質(zhì)與（2）中結(jié)論即可得解.
【詳解】（1）對于集合A：因為，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；
對于集合B：因為，
又，，，，，，
所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.
（2）不妨設(shè)集合S中的元素為，即，
因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當時，
則，
當且僅當且時，等號成立；
當時，
則，
當且僅當且時，等號成立；
當時，
則，
當且僅當時，等號成立；
綜上所述：.
（3）法一：
不妨設(shè)，
因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當時，
則當時，可得，
當且僅當時，等號成立，
則范數(shù)，
當且僅當時，等號成立，
又，
當且僅當時，等號成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當時，
則當時，可得，
當且僅當時，等號成立，則，
則范數(shù)，
當且僅當時，等號成立，
又，
當且僅當時，等號成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當，使得，且，
當，即，即時，
則當時，可得，
當且僅當時，等號成立，
則當時，可得，
當且僅當時，等號成立，
則范數(shù)
；
對于，其開口向上，對稱軸為，
所以，
所以范數(shù)的最小值為；
當，即，即時，
則當時，可得，
當且僅當時，等號成立，
則當時，可得，
當且僅當時，等號成立，
則范數(shù)
；
對于，其開口向上，對稱軸為，
所以，
所以范數(shù)；
綜上所述：范數(shù)的最小值.
法二：
不妨設(shè)，
因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
所以對于，同樣有，則，
由（2）的證明過程與結(jié)論可得，，當且僅當時，等號成立，
即，，……，
所以范數(shù)
，
當且僅當時，等號成立，
所以范數(shù)的最小值.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，再將集合中的元素進行從小到大排列，利用分類與整合的思想進行討論分析，從而得解.
17．約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為.
(1)當時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個的值；
(2)當時，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，求證：.
【答案】(1)8.
(2).
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意即可寫出a的一個值；
（2）由題意可知，，，，結(jié)合構(gòu)成等比數(shù)列，可推出是完全平方數(shù)，繼而可得，由此可知為，即可求得a；
（3）由題意知，，從而可得，采用放縮法以及裂項求和的方法，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）當時正整數(shù)的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，
比如為8的所有正約數(shù),即.
（2）由題意可知，，，，
因為，依題意可知，所以，
化簡可得，所以，
因為，所以，
因此可知是完全平方數(shù).
由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以為，
所以,.
（3）證明：由題意知，，
所以，
因為，
所以
，
因為，，所以，
所以，
即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：在第二問的解答中，在得到后，要能根據(jù)，推得，繼而得出，這是解決問題的關(guān)鍵.第三問的證明中，難點在于要能注意到，，從而可得，然后采用裂項求和的方法進行化簡進而證明結(jié)論.
18．定義圈數(shù)列X：；X為一個非負整數(shù)數(shù)列，且規(guī)定的下一項為，記，這樣的相鄰兩項可以統(tǒng)一表示為（的相鄰兩項為，即；的相鄰兩項為）.定義圈數(shù)列X做了一次P運算：選取一項，將圈數(shù)列X變?yōu)槿?shù)列：，即將減2，相鄰兩項各加1，其余項不變.并記下標k輸出了一次.記X進行過i次P運算后數(shù)列為：（規(guī)定）
(1)若X：4，0，0，直接寫出一組可能的；
(2)若進行q次P運算后，有，此時下標k輸出的總次數(shù)為，記直接寫出一組非負實數(shù)，使得對任意，都成立，并證明；
(3)若X：，0，0，…，0，證明：存在M，當正整數(shù)時，中至少有一半的項非零.
【答案】(1)
(2)，證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)P運算的概念直接寫出答案即可；
（2）從第一問的過程中可以猜測；然后利用極端原理或考慮整體或者局部的方程證明即可；
（3）想法利用（2）的結(jié)論，同時注意感受“一半”有配對的含義，因此可多觀察下標k輸出后附近的整體變化；然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
【詳解】（1）
（2）.
考察，由操作規(guī)則，下標k輸出了總值為，收入了
因此，由，
∴.
.
方法一：極端原理：
設(shè)，∴，且，
∴，因此等號成立，有，
即的后一項也是最大值，重復(fù)n次這個過程，則所有數(shù)都是最大值，
即，∴.
方法二：考慮整體或者局部：
由，得到，
遍歷所有k有，
從而有，
而，從而有，
∴，
即，即∴.
（3）X各項和為，每次運算都不會改變總和，
由抽屜原理，至少有一項，因此可以進行無數(shù)次P運算.
，因此各項值最多有種可能.
從而存在不同的正整數(shù)，滿足，
將數(shù)列看作起點，，相當于次P運算回到原始狀態(tài)，
由（2）的結(jié)論，每個下標都輸出過.
取，當時，任取i，兩個相鄰下標，考察項的和：
存在，第t次P運算在下標i輸出，
則.
現(xiàn)證明：當時，即第h次P運算，恒有.
當時，已證；
設(shè)時成立，即，
當時
1）若第h次P運算不在下標輸出，由規(guī)則，
∴；
（2）若第h次P運算在i或下標輸出，則與第t次運算同理可得
因此總有，
因此，當后，每個下標都有輸出，其任何相鄰的兩個至少有一個是非零，從而中至少一半的項非零.
【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
19．數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)數(shù)列的前項和，判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；
(2)數(shù)列是等差數(shù)列，其首項，公差，數(shù)列是“數(shù)列”，求的值；
(3)證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列”和，使得成立.
【答案】(1)數(shù)列不是“數(shù)列”，理由見解析
(2)-1
(3)證明過程見解析
【分析】（1）根據(jù)求出，當時，令，無解，故數(shù)列不是“數(shù)列”；
（2）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和公式列出方程，得到，要保證恒為整數(shù)，又，求出
（3）令，得到數(shù)列均為“E數(shù)列”，從而得到結(jié)論.
【詳解】（1）當時，，
當時，，
故，
當時，令，
，故，無解，故數(shù)列不是“數(shù)列”；
（2）是等差數(shù)列，故，
設(shè)前項和為，則，
因為數(shù)列是“數(shù)列”，
所以，即，
其中為非負整數(shù)，所以要保證恒為整數(shù)，
故為所有非負整數(shù)的公約數(shù)，且，
所以
（3）對任意的等差數(shù)列，，（d為公差），
設(shè)，則，
設(shè)數(shù)列的前項和為，為數(shù)列的第項，
設(shè)數(shù)列的前項和為，為數(shù)列的第項，
故數(shù)列均為“E數(shù)列”，
故對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列”和，使得成立.
【點睛】數(shù)列新定義問題，主要針對于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運用，對常見的求通項公式和求和公式要掌握牢固，同時涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項式定理，數(shù)列與排列組合等知識的綜合，要將“新”性質(zhì)有機地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.
20．定義：對于任意一個有窮數(shù)列，在其每相鄰的兩項間都插入這兩項的和，得到的新數(shù)列稱為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項間插入這兩項的和，得到二階和數(shù)列，以此類推可以得到階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)n階和數(shù)列各項和為．
(1)試求數(shù)列的二階和數(shù)列各項和與三階和數(shù)列各項和，并猜想的通項公式（無需證明）；
(2)設(shè)，的前項和，若，求的最小值
【答案】(1)，，
(2)7
【分析】（1）根據(jù)進行猜想，結(jié)合等比數(shù)列的知識進而求解，并進行推導(dǎo).
（2）利用裂項求和法求得，由此列不等式，從而求得的最小值.
【詳解】（1）一階和數(shù)列：，對應(yīng)；
二階和數(shù)列：，對應(yīng)；
三階和數(shù)列：，對應(yīng)；
故猜想，，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
下面證明：
設(shè)，
則
，
所以成立.（證畢）
所以.
（2）由于，
所以，
則．
所以，
當時，，不成立，
當時，，成立，
所以的最小值為7．
【點睛】本題的難點在于第一問，猜想的遞推關(guān)系式并利用配湊法求得.對于復(fù)雜的問題的研究，可先通過簡化題目來進行，如本題求，找到規(guī)律后可進行猜想，猜想后要進行證明.
21．已知數(shù)列：，其中，且．
若數(shù)列滿足，當時，或，則稱：為數(shù)列的“緊數(shù)列”．
例如，數(shù)列：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8．
(1)直接寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；
(2)已知數(shù)列A滿足：，，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個數(shù)為；
(3)已知數(shù)列A滿足：，，對于數(shù)列A的一個“緊數(shù)列”，定義集合，如果對任意，都有，那么稱為數(shù)列A的“強緊數(shù)列”．若數(shù)列A存在“強緊數(shù)列”，求的最小值．（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“緊數(shù)列”的定義寫出即可；
（2）先證明數(shù)列從第2項開始到第項是連續(xù)正整數(shù)，再把問題轉(zhuǎn)化成求滿足要求的的個數(shù)為即可；
（3）根據(jù)“強緊數(shù)列”的定義求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)“緊數(shù)列”的定義得
；；；．
（2）解：∵ 對任意，有或，或，
數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，
∴ ；；
；④．
∵ 數(shù)列為遞增數(shù)列，
顯然成立，
，
∴ ③也成立，
對④，，也即，
又，
，
∴ 數(shù)列從第2項到第項為連續(xù)正整數(shù)．
，
，
，
，
∴ 滿足條件的有個，
即所有符合條件的數(shù)列A的個數(shù)為．
（3）解：記，依題意，，
對，有或，
，
，
若，則，即，
若，則，即，
，
不能成立，
記，
，
則且，
若存在且，即，則，
否則，若，則，不符合題意，
因此，集合有下列三種情形，
，，
對，有，
則，
當且僅當取等號；
，其中，
對，有，對，有，
；
，
對，有，
，
綜上，的最小值為．
【點睛】本題注意“夾逼思想”在數(shù)列問題中的運用；第3問中求的最小值用到了“累加法”，解題關(guān)鍵是對集合分類討論．
22．已知和是各項均為正整數(shù)的無窮數(shù)列，如果同時滿足下面兩個條件：
①和都是遞增數(shù)列；
②中任意兩個不同的項的和不是中的項.
則稱被屏蔽，記作.
(1)若，.
（i）判斷是否成立，并說明理由；
（ii）判斷是否成立，并說明理由.
(2)設(shè)是首項為正偶數(shù)，公差是的無窮等差數(shù)列，判斷是否存在數(shù)列，使得.如果存在，寫出一個符合要求的數(shù)列；如果不存在，說明理由；
(3)設(shè)是取值于正整數(shù)集的無窮遞增數(shù)列，且對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得.證明：存在數(shù)列，使得.
【答案】(1)（i）不成立，理由見解析；（ii）成立，理由見解析；
(2)不存在，理由見解析；
(3)存在，證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)的定義，對（i）（ii）分別分析；
(2)根據(jù)和的性質(zhì)，以及數(shù)的奇偶性分析即可；
(3)根據(jù)條件，的特點是后一項與前一項的差越來越大，不妨構(gòu)造并由構(gòu)造，再運用反證法即可.
【詳解】（1）（i）因為是所有的奇數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，
是所有的偶數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，對于的任意兩項之和
必為偶數(shù)，必定是中的項，所以不成立；
（ii）中的任意兩項之和必為偶數(shù)，必不屬于的項，
所以成立；
（2）設(shè)(是正偶數(shù))，則是由以及大于的所有的偶數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，是由正數(shù)構(gòu)成的
遞增數(shù)列，即 ，則當n足夠大時，必有，即中必有兩項之和大于并且是偶數(shù)，
即屬于中的項，不存在使得；
（3）由題意，不妨假設(shè) ，則 ，
設(shè) ，假設(shè) 中的第n項和第n+p項之和
是 的第m項 ，即 ，則有 ，
由求根公式得 ，，
，，
，，
，
關(guān)注公眾號《全元高考》
微信搜索微信公眾號「全元高考」
后臺回復(fù)「網(wǎng)盤群」獲取最新最全初高中網(wǎng)盤資源（4000 G+）
掃碼加微信查看朋友圈最新資源
備用聯(lián)系方式QQ：2352064664
群文件全套無水印資料+更多精品網(wǎng)課在網(wǎng)盤群，高考路上必備!
最新最全高一高二高三試卷&九科全新一手網(wǎng)課&學(xué)科資料專輯&名校獨家資料
更新速度極快!
進群了就不用到處找資料了，一網(wǎng)打盡!
(進群送往屆全部資料)所以不成立，即中的任意兩項之和
都不在中，所以存在數(shù)列 .
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于第三問，問題很抽象，理解的含義，構(gòu)造是關(guān)鍵，考慮到的增長速度較慢，用等差數(shù)列來構(gòu)造.

相關(guān)試卷

強基計劃專題練02 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（解析版）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)：

這是一份強基計劃專題練02 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（解析版）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)，共41頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

強基計劃專題練01 集合與常用邏輯用語（解析版）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)：

這是一份強基計劃專題練01 集合與常用邏輯用語（解析版）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)，共35頁。試卷主要包含了單選題，多選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 專題05 數(shù)列 真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）原卷版：

這是一份【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 專題05 數(shù)列 真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）原卷版，共6頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 專題05 數(shù)列 真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）解析版

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 專題05 數(shù)列 真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）解析版
2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃講義 專題6：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【原卷及解析版】

2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃講義 專題6：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【原卷及解析版】
2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃講義 專題5：函數(shù)與方程【原卷及解析版】

2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃講義 專題5：函數(shù)與方程【原卷及解析版】
高考數(shù)學(xué)強基計劃專題9等差、等比數(shù)列與數(shù)列求和

高考數(shù)學(xué)強基計劃專題9等差、等比數(shù)列與數(shù)列求和
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部