考試時間：120分鐘 滿分：150分
第I卷選擇題（滿分58分）
一?選擇題（本小題共8小題，每小題5分，共40分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理結合進行求解即可.
【詳解】由正弦定理得：，則，
由得，所以，
故選：C．
2. 已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則對應的點在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)復數(shù)除法化簡復數(shù)，然后求出復數(shù)對應的點.
【詳解】因為，
所以對應的點為，位于第三象限.
故選：C.
3. 一個射擊運動員打靶6次的環(huán)數(shù)為：9，5，7，6，8，7下列結論不正確的是（ ）
A. 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7B. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7
C. 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7D. 這組數(shù)據(jù)的方差為7
【答案】D
【解析】
【分析】由一組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征求解判斷即可.
【詳解】9，5，7，6，8，7這組數(shù)據(jù)從小到大排列，5，6，7，7，8，9，
所以眾數(shù)為7，中位數(shù)為7，平均數(shù)為，
方差為：，
故選：D
4. 設m，n是兩條直線，，是兩個平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則α//β
D. 若，，，則
【答案】B
【解析】
【分析】對于A，由面面平行的判定定理得；對于B，由線面平行的性質得；對于C，與相交或平行；對于D，與相交、平行或異面．
【詳解】m，n是兩條直線，，是兩個平面，
對于A，若，，，則由面面平行的判定定理得，故A錯誤；
對于B，若，，，則由線面平行的性質得，故B正確；
對于C，若，，，則與相交或平行，故C錯誤；
對于D，若，，，則與相交、平行或異面，故D錯誤．
故選：B.
5. 某調查機構對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進行調查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結論中錯誤的是（ ）
A. 快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B. 快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術崗位的“90后”的人數(shù)超過總人數(shù)的20%
C. 快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D. 快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩個圖，結合選項，即可判斷.
【詳解】由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總人數(shù)的56%，超過一半，A正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術崗位的“90后”的人數(shù)占總人數(shù)的百分比為，超過20%，
所以快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術崗位的“90”后的人數(shù)超過總人數(shù)的20%；B正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)占總人數(shù)的百分比為，超過“80前”的人數(shù)占總人數(shù)的百分比，C正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術崗位的“90后”的人數(shù)占總人數(shù)的百分比為22.176%，小于“80后”的人數(shù)占總人數(shù)的百分比，但“80后”從事技術崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，D不一定正確．
故選：D
6. 如圖，E，F(xiàn)分別為平行四邊形ABCD邊AD的兩個三等分點，分別連接BE，CF，并延長交于點O，連接OA，OD，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)相似三角形可得，結合平面向量的線性運算即可求解.
【詳解】由題意知，，
由，得，所以，
在中，，
即，
即，整理得.
故選：C
7. 如圖，一個三棱錐容器的三條側棱上各有一個小洞D，E，F(xiàn)，經(jīng)測量知，設該容器的體積為 ，該容器最多能盛的水的體積為，則=（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求兩個三棱錐的底面積和高之比，即可得體積之比.
【詳解】如圖：

連接，，，當三點在水平面時，該容器盛水最多.
因為：，所以.
又因為：，所以，到平面的距離之比為：，
所以，所以.
故選：B
8. 已知非零不共線向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設，根據(jù)條件求出，利用向量減法的幾何意義和三角形三邊關系定理求出的范圍，再結合二次函數(shù)的單調性即可求得.
【詳解】設，則，由兩邊平方得，，整理得，，
因是非零不共線向量，則，即，解得，，
此時函數(shù)是增函數(shù)，故，即的取值范圍為.
故選：D.
二?多選題（本小題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 關于函數(shù)有下述四個結論，其中結論正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關于直線對稱
C. 的圖象關于點對稱
D. 在上單調遞增
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可代入驗證求解對稱軸以及對稱中心，利用整體法即可判斷D，根據(jù)周期公式即可求解A.
【詳解】，
對于A，的最小正周期為，故A錯誤，
對于B, ,故的圖象關于直線對稱，B正確，
對于C，，故的圖象關于點對稱，C正確，
對于D，時，，故在上單調遞增，D正確，
故選：BCD
10. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 已知，，是關于的方程的一個根，則
D. 若復數(shù)滿足，則的最大值為
【答案】CD
【解析】
【分析】由復數(shù)的模長公式可判斷A選項；由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法法則可判斷B選項；
對于C選項，利用共軛復數(shù)根的性質結合韋達定理，即可求得和的取值；
對于D選項，將復數(shù)模長公式的幾何意義，將的模長轉化為圓上的點，的最大值為圓心1,0到點的距離再加上半徑，即可判斷.
【詳解】A選項：若，則，故A錯誤；
B選項：若，則，故B錯誤；
C選項：因為是關于的方程的一個根，則也是關于的方程的一個根，
所以，解得，
則，故C正確；
D選項：設，因為，
所以，即，其表示圓心為1,0，半徑為2圓.
而，其表示圓上的點到點的距離.
因為圓心1,0到點的距離為，
所以的最大值為，故D正確.
故選：CD.
11. 在銳角中，角所對的邊分別為，且，則下列結論正確的有（ ）
A. B. 的取值范圍為
C. 的取值范圍為D. 的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理邊化角、誘導公式、和差角公式計算可判斷A項，結合A項、三角形內角和及銳角三角形計算可判斷B項，運用正弦定理將問題轉化為三角函數(shù)在區(qū)間上求值域可判斷C項，運用切化弦、差角公式化簡式子，由換元法將問題轉化為求在上的值域，結合導數(shù)求解即可判斷D項.
【詳解】因為，所以由正弦定理得，
又因為，所以，
即，
整理得，即
對于A項，因為A、B、C均為銳角，所以，即，故A項正確；
對于B項，因，，所以，
因為A、B、C均為銳角，所以，即，解得，
所以的取值范圍為，故B項錯誤．
對于C項，由正弦定理得，，
所以，所以．故C項正確．
對于D項，由A項知，，由B項知，，所以，
所以，，
令，則，所以，，
令，，則，所以在上單調遞增，
又，，所以，即范圍為，故D項正確.
故選：ACD.
第II卷非選擇題（滿分92分）
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知圓錐的底面周長為，其側面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求圓錐的底面半徑和母線長，進而求圓錐的高和體積.
【詳解】設該圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得．
因為半徑為的球的表面積為，即，解得，
則圓錐的高．
所以該圓錐的體積．
故答案為：．
13. 甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，每輪比賽甲、乙各射擊一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率為，每輪比賽中甲、乙兩人射擊的結果互不影響，若在一輪射擊中，恰好有一人中靶的概率為，則___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，，解得：.
故答案為：
14. 已知正四面體的棱長為，若該正四面體能在底面半徑為2的圓錐內任意轉動，則該圓錐體積的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先計算出正四面體的外接球半徑，再分析該球與圓錐S與內部相切的情形即可．
【詳解】解：先計算正四面體的外接球半徑，如圖所示：
記正四面體的底面三角形的中心為，
由正四面體的性質可知，平面，正四面體的外接球的球心在上，設其半徑為，
∵平面，∴，
可知，，
則有，
，即，解得，
當正四面體的外接球在圓錐內部相切時，正四面體可在圓錐內任意轉動，
取圓錐的一個軸截面，如圖所示：
為正四面體的外接球球心，為圓錐S底面圓的圓心，
為圓和圓錐的其中一個切點，為圓錐的高，
可知，，，
則，，
則，圓錐的體積為．
故答案為：．
【點睛】關鍵點睛：本題考查幾何體的組合問題，解題的關鍵是先求出正四面體的外接球半徑，將問題轉化為外接球在圓錐內部相切的情況.
四?解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15. 某市舉辦了黨史知識競賽，從中隨機抽取部分參賽選手，統(tǒng)計成績后對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試估計全市參賽者成績的第40百分位數(shù)（保留小數(shù)點后一位）和平均數(shù)（單位：分）；
（2）若用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從，，三層中抽取一個容量為6的樣本，再從這6人中隨機抽取兩人.求抽取的兩人都及格（大于等于60分為及格）的概率.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖計算可得,再借助百分位數(shù)的定義與平均數(shù)定義計算即可得；
（2）先借助分層隨機抽樣定義計算出從50,60，60,70，三層中抽取的人數(shù)，并給抽取出的人數(shù)進行編號，結合古典概型公式，計算出所有可能的樣本空間數(shù)即符合要求的樣本空間數(shù)即可得.
【小問1詳解】
，則，
；，
故40百分位數(shù)在80,90層，則40百分位數(shù)為，
平均數(shù)；
【小問2詳解】
因為按比例分配的分層隨機抽樣，
故50,60，60,70，三層中抽取的樣本量分別為：
；
；
從這6人中隨機抽取兩人，記50,60中抽取的人編號為1，
60,70抽取的人編號為2、3，
抽取的人編號為4、5、6，
記事件 “抽取的兩人都及格”，
，
所以；
，所以；
.
16. 在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若∠BAC的角平分線交BC于點D，且，求面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助降冪公式及正弦定理與輔助角公式計算即可得解.
（2）借助等面積法及基本不等式即可得解.
【小問1詳解】
，
由正弦定理可知：，
又，化簡得，
即，
所以，，
即，因為，所以，從而；
【小問2詳解】
由題意可得：，
且，即，
化簡得，
而，解得，等號成立當且僅當，
的面積，等號成立當且僅當，
綜上所述，的面積的最小值為.
17. 如圖（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中點，現(xiàn)將沿AB折起得圖（2），點M是PD的中點，點N是BC的中點．

（1）求證：平面PAB；
（2）在線段PC上是否存在一點E，使得平面平面PAB？若存在，請指出點E的位置并證明你的結論；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，E為PC中點，證明見解析
【解析】
【分析】（1）應用線面平行判定定理證明即可；
（2）先取點，再應用面面平行判定定理證明即可；
【小問1詳解】
取AP的中點Q，連接MQ，BQ，

因為M，Q分別為PD，PA的中點，
所以，，
又因為N為BC中點，
所以，．
所以，，
所以四邊形MNBQ為平行四邊形，所以，
又因為平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB．
【小問2詳解】
存在點E，當E為PC中點時，平面平面PAB．
證明如下：由圖（1）因為A是PD中點，，，
所以且，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以．
因為E，M分別為PC，PD中點，所以，
所以，
因為平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，
同理可知平面PAB，又因為平面平面，
所以平面平面PAB．

18. 如圖，已知中，，，，M，N為線段上兩點，且．
（1）若，求的值；
（2）設，試將的面積S表示為的函數(shù)，并求其最大值．
（3）若，求的值．
【答案】（1）12 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積定義計算即可；
（2）由正弦定理求出，再由三角形面積公式得出面積，利用三角恒等變換化簡即可得出最值；
（3）由三角形面積間的關系得出，利用（2）中結論化簡為，再由三角恒等變換化簡求出角正切值即可得解.
【小問1詳解】
中，，
所以
所以.
【小問2詳解】
在中，，，
由正弦定理得，即，
在中，，
所以，所以
所以
，
因為，所以，
所以當且僅當，即時，的面積取最大值為.
【小問3詳解】
當時，，
即，
因為，
所以，
設且，由（2）得，，且，
所以，
所以，
即，
兩邊同除以，得，
解得或（舍去），
此時.
19. 材料一：我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：隨機生成的一元多項式，在復數(shù)集中最終都可以分解成一次因式的乘積，且一次因式的個數(shù)（包括重復因式）就是被分解的多項式的次數(shù).事實上，數(shù)學中有如下定理：
代數(shù)基本定理：任何一元次復系數(shù)多項式方程至少有一個復數(shù)根.
材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復系數(shù)多項式在復數(shù)集中可以分解為個一次因式的乘積.進而，一元次多項式方程有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計）.下面我們從代數(shù)基本定理出發(fā)，看看一元多項式方程的根與系數(shù)之間的關系.
設實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)集內的根為，容易得到. 設實系數(shù)一元三次方程①
在復數(shù)集內的根為，可以得到，方程①可變形為展開得：②
比較①②可以得到根與系數(shù)之間的關系：，
閱讀以上材料，利用材料中的方法及學過的知識解決下列問題：
（1）對于方程在復數(shù)集內根為，求的值；
（2）如果實系數(shù)一元四次方程在復數(shù)集內的根為，根據(jù)材料二，試找到該四次方程根與系數(shù)之間的關系并說明原因；
（3）已知函數(shù)，對于方程在復數(shù)集內的根為，當時，求的最大值.
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中閱讀材料按公式求得三個根之間的關系，再計算的值；
（2）根據(jù)題意推廣得到一元四次方程根與系數(shù)的關系；
（3）由題有的三個實根為，設，右側展開利用對應系數(shù)相等得，計算并結合即可求最大值．
【小問1詳解】
由閱讀材料可知：，且，
有：；
【小問2詳解】
由材料可知：一元四次方程可改寫為展開得：
，
故可得：.
【小問3詳解】
由題有的三個實根為.
設，
展開得，
故，
則，
又，故，
綜上：當時，的最大值為,

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