廣西柳州鐵一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)題

這是一份廣西柳州鐵一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)題，共11頁。試卷主要包含了橢圓，，若橢圓等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2.橢圓，（）的右頂點(diǎn)為，已知，若橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3.已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4.設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（ ）
A.4 B. C. D.
5.加斯帕爾?蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時，蒙日圓方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（ ）
A.橢圓的離心率為
B.若為正方形，則的邊長為
C.橢圓的蒙日圓方程為
D.長方形的面積的最大值為14
6.若橢圓：的蒙日圓為，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7.現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入橢圓所對應(yīng)的蒙日圓內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)落在橢圓外部的概率為？（附：橢圓的面積公式為）（ ）
A. B. C. D.
8.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
9.已知橢圓的蒙日圓方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點(diǎn)，若面積的最大值為34，則的值為（ ）
A. B. C. D.
10雙曲線的蒙日圓的面積為（ ）
A. B. C. D.
二?填空題
11過雙曲線的蒙日圓上一點(diǎn)作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點(diǎn)，若，則的周長為__________.
12.橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，直線交橢圓于點(diǎn)，則橢圓的離心率為__________.
13.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，過作軸垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是__________.
14.已知橢圓為橢圓的兩焦點(diǎn)，如果上存在點(diǎn)，使，那么離心率的取值范圍是__________.
三?多選題
15.如圖，正方體的棱長為是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的一個動點(diǎn)（舍邊界），且平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.平面截正方體所得截面的面積為
B.動點(diǎn)的軌跡長度為
C.的最小值為
D.與平面所成角的正弦值的最大值為
16.在棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，在側(cè)面上運(yùn)動，且滿足平面.以下命題正確的有（ ）
A.點(diǎn)的軌跡長度為
B.直線與直線所成角可能為
C.平面與平面所成銳二面角的正切值為
D.過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積最大為
四?解答題
17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為的面積為，已知
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍.
18.中，內(nèi)角的對邊分別為，記的面積為，且.
（1）求角；
（2）若為的中點(diǎn)，且，求的內(nèi)切圓的半徑.
19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知角A為銳角，的面積為S，且滿足.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
柳州鐵一中學(xué)2023級高二上學(xué)期數(shù)學(xué)周周清（2）參考答案
1.A 【詳解】橢圓上長軸端點(diǎn)向圓外兩條切線，，則兩切線形成的角最小，若橢圓上存在滿足條件的點(diǎn)P，則只需，即，，解得，即，又，即橢圓的離心率的取值范圍是；
2.B 解：因為橢圓，所以，設(shè)點(diǎn)，因為，所以點(diǎn)滿足的軌跡方程：，即，
故當(dāng)時，點(diǎn)存在，故橢圓的離心率，又因為，所以
3.D 【詳解】圓的圓心，半徑為1，
因為圓心到距離為2，所以圓上的點(diǎn)到的距離最大值為3，最小值為1，
又因為，則以為直徑的圓和圓有交點(diǎn)，可得，所以有，
4.B 【詳解】點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交
點(diǎn)，，設(shè)，
，
，在中，，
，解得，在
中，，所以直線的斜率為，
5.B 【詳解】對于A，由橢圓方程知：，則，
橢圓的離心率，A正確；對于BC，由A知：橢圓對應(yīng)的蒙日圓方程為：，
正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對角線長為圓的直徑，
正方形的邊長為，B錯誤，C正確；對于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，
長方形的對角線長為圓的直徑長方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即長方形的面積的最大值為D正確.
6.D 【詳解】如圖，分別與橢圓相切，顯然.
所以點(diǎn)在蒙日圓上，所以，
所以，即，所以橢圓的離心率.
7.D 【詳解】由題意知，蒙日圓的半徑為，
所以，根質(zhì)點(diǎn)落在橢圓外部的概率為.
8.B 【詳解】由題意可知的蒙日圓方程為，因為圓與圓僅有一個公共點(diǎn)，所以兩圓內(nèi)切或外切，故圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對值，
所以或，由此解得，
9.A 【詳解】由題意可知橢圓的蒙日圓的半徑為，因為，
所以為蒙日圓的直徑，所以，所以，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成，立，所以面積的最大值為，所以，則，
10.A 【詳解】不妨設(shè)，則過點(diǎn)的雙曲線切線方程為存在且不為零，
聯(lián)立，消去得，
所以，整理得
可知為關(guān)于的方程的兩個根，且，
即，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為，
即雙曲線的蒙日圓方程為，
半徑為面積為.
11. 【詳解】由題可知，的蒙日圓方程為，
半徑為，且，
所以為直徑，所以.
又，所以.
所以的周長為.
12.（也可以） 【詳解】
由題意知三角形為等腰直角三角形，設(shè)，
則，解得，在三角形中，由勾股定理得，所以.
13.【詳解】橢圓的左?右焦點(diǎn)為，點(diǎn)由為等腰直角三角形可知，，即可化為，
故或（舍）
14. 【詳解】解：當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時最大，
所以，則，
所以，
因為，所以，即橢圓離心率的取值范圍為，
15.BCD 【詳解】如圖1，取的中點(diǎn)，連接，因為，
所以平面截正方體所得的截面為四邊形.
因為，所以A錯誤.如圖1，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，因為，由于平面平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段.因為，所以正確
連接交于，此時最小，因為，所以C正確.
如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以.
設(shè)平面的法向量為，因為，
所以，令，得，設(shè)與平面所成的角為，
則，當(dāng)時，有最大值，所以D正確.
16.ACD 【詳解】解：對于A：取和的中點(diǎn)分別為，連接，則平面平面，所以平面平面，因為在側(cè)面上運(yùn)動，且滿足平面，所以點(diǎn)在線段上.故點(diǎn)運(yùn)動的軌跡長度為：，故選項A正確；對于B：因為.所以與直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，在中，，因為正方體的棱長為2，在中，，若所成的角為，則，而最大為，矛盾，所以所成角不可能為，故選項B不正確；對于C：因為面面，所以下面與平面所銳二面角，即為平面與面所成銳二面角，因為面面，當(dāng)為線段的中點(diǎn)，可得，所以即為二面角的平面角，且，所以，故選項正確：對于：當(dāng)為與的交點(diǎn)時過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點(diǎn)，則截面為?形，，其面積為故選項D正確，
17.（1）（2）【洋解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面積公式，得，即，花，則，不符合題意，故，
所以，由，得.
（2），由正弦定理，，
由，則，得，
所以，即的取值范圍.
18.（1）（2）
【詳解】（1）因為，所以，
由余弦定理得，所以，又，所以；
（2）因為為的中點(diǎn)，所以，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得，所以
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，
所以，解得
19.【答案】（1）（1）4
（1）由正弦定理和，得，
又∵，∴，
因為，所以，則，即，又∵，則.
（2）∵，
由余弦定理得，
所以，則，
又∵，則，當(dāng)，即時，.最大值，最大值為4.