第Ⅰ卷
一、選擇題：（每小題4分，共40分；每小題選出正確答案后，請用2B鉛筆把機讀卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑．否則不得分．）
1. 下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
詳解：解：A、是分式方程，選項說法錯誤，不符合題意；
B、當(dāng)時，不是一元二次方程，選項說法錯誤，不符合題意；
C、，即是一元二次方程，選項說法正確，符合題意；
D、是二元二次方程，選項說法錯誤，不符合題意；
故選C．
2. 已知四邊形是平行四邊形，對角線與相交于點，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，四邊形是菱形B. 當(dāng)時，四邊形是菱形
C. 當(dāng)時，四邊形是矩形D. 當(dāng)時，四邊形是矩形
答案：D
解析：
詳解：解：如圖：
A、∵四邊形是平行四邊形，，
∴四邊形是菱形；A選項正確；
B、∵四邊形是平行四邊形，，
∴四邊形是菱形；B選項正確；
C、∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四邊形是矩形；C選項正確；
D、∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
不能證明四邊形是矩形，D選項錯誤，
故選：D．
3. 端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，媽媽買了2只紅豆粽、3只堿水粽、5只干肉粽，粽子除內(nèi)部餡料不同外其它均相同，小穎隨意吃一個，吃到紅豆粽的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
詳解：解：根據(jù)概率的定義，一共有10只粽子，其中紅豆粽有2個，
所以吃到紅豆粽的概率是．
故選B．
4. 如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
答案：C
解析：
詳解：作D關(guān)于AE的對稱點D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關(guān)于AE的對稱點，AD′=AD=4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值為2，
故答案為C．
5. 已知如圖，則下列4個三角形中，與相似的是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
詳解：∵由圖可知，，
∴，，
A．選項中三角形是等邊三角形，各角的度數(shù)都為，不與相似；
B．選項中三角形各角的度數(shù)分別是，，不與相似；
C．選項中三角形各角的度數(shù)分別為，，不與相似；
D．選項中三角形各角的度數(shù)分別為，，與相似；
故選：D．
6. 若且，則的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
詳解：解：，
，
，
，
解，得，

，
故選：D．
7. 某市2020年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化、綠化面積逐年增加，到2022年底增加到363公頃．設(shè)綠化面積平均每年的增長率為x，由題意，所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
詳解：解：設(shè)綠化面積平均每年的增長率為x，根據(jù)題意得，
故選：B．
8. 張華在一次數(shù)學(xué)活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子（）的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長為，則另一邊長是，矩形的周長是；當(dāng)矩形成為正方形時，就有（），解得，這時矩形的周長最小，因此（）的最小值是．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子（）的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
詳解：解：∵，
∴在原式中分母分子同除以，
即；
在面積是的矩形中設(shè)矩形的一邊長為，則另一邊長是，
矩形的周長是；
當(dāng)矩形成為正方形時，就有（），
解得：，
這時矩形的周長最小，
因此（）的最小值是．
故選：A．
9. 如圖，點是線段的黃金分割點（），下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
詳解：解：∵AC＞BC，
∴AC是較長的線段，
根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，故A正確，不符合題意；
AC2=AB?BC，故B錯誤，
，故C正確，不符合題意；
，故D正確，不符合題意．
故選B．
10. 如圖，在中，于點M，于點N，P為邊的中點，連接，則下列結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④當(dāng)時，．其中正確個數(shù)是（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
答案：D
解析：
詳解：解：①∵于點M，于點N，P為邊的中點，
∴點P是和的斜邊的中點，
∴，
故①正確；
②∵于點M，于點N，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故②正確；
③∵于點M，于點N，P為邊的中點，
∴點P是和的斜邊的中點，
∴，
∴點M，N，B，C共圓，
∴，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
故③正確；
④當(dāng)時，為以為斜邊的等腰直角三角形，
∴，
故④正確；
故選：D．
二、填空題：（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分，請把答案填寫在答題卷上，否則不得分．）
11. 菱形的兩條對角線長分別是方程的兩實根，則菱形的面積為______．
答案：24
解析：
詳解：解：x2﹣14x+48=0，
則有（x-6）(x-8)=0
解得：x=6或x=8．
所以菱形的面積為：（6×8）÷2=24．
菱形的面積為：24．
故答案為：24．
12. 已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣6=0的一個根為2，則m=___，另一個根是___．
答案： ①. 1 ②. -3
解析：
詳解：根據(jù)題意，得
4+2m ?6=0，即2m?2=0，
解得，m =1，
由韋達(dá)定理，知：，
∴
解得：
故答案為：1，?3.
13. 關(guān)于x的方程kx2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．
答案：k＜1且k≠0．
解析：
詳解：解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范圍為k＜1且k≠0．
故答案為：k＜1且k≠0．
14. 如圖，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面積為8，則△ABC的面積為______
答案：18.
解析：
詳解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵，
∴，
∴．
故選：18．
15. 將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是_______．

答案：##
解析：
詳解：解：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為．延長交x軸于點，作正方形；延長交x軸于點，作正方形1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2014個正方形的面積為______
答案：
解析：
詳解：解：∵正方形的點A的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為．
∴，，由勾股定理得，，，
∵，，
∴，
由題意得，
則，
∴，
∵，
∴，
則第二個正方形的面積為，
同理可得第三個正方形的面積為，
依此類推，
第n個正方形的面積為，
則第2014個正方形的面積為：．
故答案為：．
第Ⅱ卷
三、解答題：（本大題4個小題，共86分）解答時每小題需給出必要的演算過程或推理步驟．
17. 解方程：
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
解析：
小問1詳解：
原方程變形為
配方得，
即，
∴，
∴，．
小問2詳解：
原方程可以變形為，
∴或，
∴，．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）畫出△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，畫出將△A1B1C1三條邊放大為原來的2倍后的△A2B2C2．
答案：（1）見解析；（2）見解析.
解析：
詳解：（1）如圖：△A1B1C1即為所求；
（2）如圖：△A2B2C2即為所求.
19. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）試判斷此一元二次方程根的存在情況；
（2）若方程有兩個實數(shù)根x1和x2，且滿足，求的值．
答案：（1）有兩個不相等實數(shù)根
（2）
解析：
小問1詳解：
解：，
有兩個不相等的實數(shù)根；
小問2詳解：
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，
，
，解得：．
20. 第三屆亞洲沙灘運動會服務(wù)中心要在某校選拔一名志愿者．經(jīng)筆試、面試，結(jié)果小明和小穎并列第一．評委會決定通過抓球來確定人選．抓球規(guī)則如下：在不透明的布袋里裝有除顏色之外均相同的2個紅球和1個綠球，小明先取出一個球，記住顏色后放回，然后小穎再取出一個球．若取出的球都是紅球，則小明勝出；若取出的球是一紅一綠，則小穎勝出．你認(rèn)為這個規(guī)則對雙方公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖的方法進(jìn)行分析．
答案：見解析
解析：
詳解：解：根據(jù)題意，用表示紅球，表示綠球，列表如下：
由此可知，共有種等可能的結(jié)果，其中，兩紅球及一紅一綠各有種結(jié)果，
都是紅球，紅綠球．
都是紅球紅綠球，
這個規(guī)則對雙方是公平的．
21. 某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．
（1）若商場只要求保證每天的盈利為4320元，同時又可使顧客得到實惠，每千克應(yīng)漲價多少元？
（2）若該商場經(jīng)理想讓這種水果每天的盈利為4600元，商場經(jīng)理的想法能實現(xiàn)嗎？如果能請求出每千克應(yīng)漲價多少元，如果不能請說明理由．
答案：（1）2元 （2）不能，見解析
解析：
小問1詳解：
設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，則，
解得或，
為了使顧客得到實惠，所以，
所以每千克應(yīng)漲價2元．
小問2詳解：
該商場經(jīng)理想法不能實現(xiàn)．
設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，則，
整理，得
，
∵，
∴該方程無解，
∴不可能．
22. 如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE，
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．
答案：（1）證明見解析；（2）當(dāng)∠BAC=90°時，矩形AEBD是正方形．理由見解析．
解析：
詳解：（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AEBD矩形；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
23. 如圖，在中，，是的平分線，，垂足為點E．求證：．

答案：見詳解
解析：
詳解：證明：∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 閱讀理解：
如圖1，在四邊形的邊上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接，，可以把四邊形分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形的邊上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形的邊上的強相似點．
解決問題：
（1）如圖1，，試判斷點E是否是四邊形的邊上的相似點，并說明理由；
（2）如圖2在矩形中，，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形的邊上的一個強相似點E；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形沿折疊，使點D落在邊上的點E處．若點E恰好是四邊形的邊上的一個強相似點，當(dāng)時，試求出的值．
答案：（1）是，理由見解析；（2）見解析；（3）2
解析：
詳解：（1）點E是四邊形邊上的相似點．
理由：，
，
，
．
，
，
，
∴點E是四邊形的邊上的相似點．
（2）作圖如下：點E即為所求（下圖中二選其一即可）
（3）∵點E是四邊形的邊上的一個強相似點，
，
,
由折疊可知
，
，
．
在中，設(shè)為，為，
根據(jù)勾股定理，，
可得，
解得，
，
，
，即．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點、點，動點P從點A開始在線段上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．

（1）求直線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時，與相似．
（3）當(dāng)t為何值時，的面積為個平方單位．
答案：（1）y＝－＋6
（2）秒或秒
（3）1秒或4秒
解析：
小問1詳解：
解：設(shè)直線的解析式為
由題意，得，
解得
所以，直線的解析式為．
小問2詳解：
解：由得，
∴，
①當(dāng)時，．
∴，
解得
②當(dāng)時，．
∴，
解得
∴當(dāng)t為秒或秒時，與相似；
小問3詳解：
解：過點Q作垂直于點E．
在中，
在中，
，
解得，（秒）或（秒）
∴當(dāng)秒或秒時，的面積為個平方單位．










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