江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集運(yùn)算可得.
【詳解】解不等式，得，
所以.
故選：B
2. 已知命題，則：（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在題詞命題的否定是全稱量詞命題，直接寫出結(jié)論.
【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，
所以：.
故選：C
3. 函數(shù)在區(qū)間上（）
A 單調(diào)遞增B. 單調(diào)遞減C. 先增后減D. 先減后增
【答案】D
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】，即，
設(shè)，則單調(diào)遞減，
且
故存在唯一一個(gè)使
故在上，，此時(shí)單調(diào)遞減；
在上，，此時(shí)單調(diào)遞增；
故在區(qū)間上先減后增.
故選：D
4. 已知函數(shù)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)解析式代入驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)?，而?br>所以.
故選：C
5. 已知，則（）
A. B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.
詳解】由，可得，則，
則.
故選：D.
6. 設(shè)，函數(shù)，則“關(guān)于x的不等式的解集為”是“恒成立”的（）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)確定不等式和函數(shù)成立的條件，再由充分必要條件得出結(jié)果即可；
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，則，
可得恒成立，故充分性成立；
取，滿足恒成立，
但的解集為，故必要性不成立；
所以“關(guān)于x的不等式的解集為”是“恒成立”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 已知直線與曲線相切，則的最大值為（）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由題意列出的關(guān)系，進(jìn)而得到，再由二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求導(dǎo)：得，
由題意可得解得：，
所以，
所以時(shí)，的最大值為.
故選:C
8. 若函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大排列成等差數(shù)列，則（）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中項(xiàng)求解.
【詳解】令可得，
在同一直角坐系中作出和的圖象如下：
要使有3個(gè)零點(diǎn)，則，
由圖可知：有一個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，且，
即有一個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，且
故，，
由于，故，
化簡(jiǎn)可得，平方解得，
由于，故，
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1) 直接法：令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列曲線平移后可得到曲線的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)圖像的平移變換可判斷ABD，根據(jù)圖像的伸縮變換可判斷C.
【詳解】對(duì)于A，曲線向右平移3個(gè)單位可得到曲線，故A正確；
對(duì)于B，曲線向上平移3個(gè)單位可得到曲線，故B正確；
對(duì)于C，曲線橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍可得到曲線，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，曲線，向左平移個(gè)單位可得到曲線，故D正確；
故選：ABD
10. 一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好．（）
A. 若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為
B. 若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%，則教室通風(fēng)效果不變
C. 若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好
D. 若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差
【答案】BC
【解析】
【分析】設(shè)該公寓窗戶面積為x，依題意列出不等式組求解可判斷A；記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)根據(jù)B，C，D設(shè)增加的面積，表示出增加面積前后的比值作差比較即可判斷B，C，D.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)該公寓窗戶面積為，則地板面積為，
依題意有，解得，
所以，這所公寓的窗戶面積至少為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)窗戶增加的面積為，同時(shí)地板增加的面積為，
由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
所以公寓采光效果不變，故B正確；
對(duì)于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)增加的面積為c.
由題可知，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
因?yàn)椋遥?br>所以，即,
所以，同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，故C正確；
對(duì)于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，則窗戶增加后的面積為,地板增加后的面積為，
由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，采光效果不變，
所以無法判斷公寓的采光效果是否變差了，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且不恒為0，下列結(jié)論正確的是（）
A. 若具有奇偶性，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0
B. 若不具有奇偶性，則滿足奇函數(shù)與偶函數(shù)不存在
C. 若為奇函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無數(shù)對(duì)
D. 若為偶函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無數(shù)對(duì)
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定義即可判斷A選項(xiàng)；通過舉例，即可判斷B選項(xiàng)；通過構(gòu)造，即可判斷C選項(xiàng)；通過構(gòu)造即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，，則，
當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則，即；
當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，則，即，
即滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，不具有奇偶性，
滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，為奇函數(shù)時(shí)，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，
，故存在無數(shù)對(duì)奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故C正確；
對(duì)于D，為偶函數(shù)，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，
，故存在無數(shù)對(duì)奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)處的切線都不相同，則滿足題設(shè)的一個(gè)______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】只需要函數(shù)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同即可.
【詳解】設(shè)，則.
在上任取一點(diǎn)，
則函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程為：即.
只要不同，切線方程就不同.
故答案為：（答案不唯一）
13. 已知矩形的周長(zhǎng)為24，將沿向折疊，AB折過去后與DC交于點(diǎn)P．設(shè)，則______________（用x表示），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，______________．
【答案】 ①. . ②.
【解析】
【分析】結(jié)合圖形，折疊后易得，設(shè)，利用，即可求得的表示式；依題意，求出的面積表示式，利用基本不等式即可求得面積最大值，從而得到此時(shí)的值.
【詳解】
如圖2是圖1沿著折疊后的圖形，因，則，
因矩形的周長(zhǎng)為24，則，對(duì)折后,易得,
設(shè)，則,在中，由勾股定理，，
整理得，即
的面積為，
因，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)時(shí)，.
故答案為：；.
14. 已知a為常數(shù)，且．定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，則______________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先求出，再賦值得到，將轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用不等式傳遞性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.
【詳解】時(shí)，，則.
．定義在上的函數(shù)滿足：．
令，得到，即.
由于，則.
則要使得式子恒成立，則，解得或或者.
由于.則.
故答案為：1．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動(dòng)點(diǎn)，且．

（1）求證：；
（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求．
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，故，從而得到線面垂直，故為平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面的法向量，利用向量夾角余弦公式得到方程，求出，從而求出.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
又，故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，設(shè)，，
所以，
則，
則，
故；
【小問2詳解】
，則，
則，
則，
又，平面，
所以平面，
故為平面的一個(gè)法向量，
又平面的法向量為，
則平面與平面的夾角的余弦值為
，
又平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，解得，故.
16. 某學(xué)習(xí)小組研究得到以下兩個(gè)公式：①；②．
（1）請(qǐng)你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明；
（2）在中，已知，求的面積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若選①，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；
若選②，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；
（2）利用兩角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面積公式求解.
【小問1詳解】
若選①，證明如下：
.
若選②，證明如下：
.
【小問2詳解】
由已知，
可得，
即，
即，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以的面積.
17. 分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)P為C的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的斜率；
（2）求四邊形的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）結(jié)合圖形，易得，求得的斜率，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)，即得直線PQ的斜率；
（2）結(jié)合圖形，由對(duì)稱性可知，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是面積的一半，設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出和點(diǎn)到直線的距離，得到四邊形的面積函數(shù)式，利用換元和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.
【小問1詳解】
由可知,橢圓上頂點(diǎn)為，即,
直線的斜率為，則直線的方程為：，
將其代入整理得，，解得，或，
因點(diǎn)在x軸上方,故得點(diǎn)，于是直線PQ的斜率為：；
【小問2詳解】
如圖，設(shè)過點(diǎn)的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)和，
利用對(duì)稱性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形面積是面積的一半.
顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為
代入，整理得：，顯然，
設(shè)，則，
于是，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
則四邊形的面積為，
令，則，且，代入得，，
因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值為4，此時(shí).
18. 已知紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)擊中的概率均為，紅方、藍(lán)方空中攔截對(duì)方炮彈成功的概率分別為.現(xiàn)紅方、藍(lán)方進(jìn)行模擬對(duì)抗訓(xùn)練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)，另一方再進(jìn)行空中攔截，輪流進(jìn)行，各攻擊對(duì)方目標(biāo)一次為1輪對(duì)抗.經(jīng)過數(shù)輪對(duì)抗后，當(dāng)一方比另一方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次時(shí)，訓(xùn)練結(jié)束.假定紅方、藍(lán)方互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.記在1輪對(duì)抗中，紅方擊中藍(lán)方目標(biāo)為事件A，藍(lán)方擊中紅方目標(biāo)為事件B.求：
（1）概率；
（2）經(jīng)過1輪對(duì)抗，紅方與藍(lán)方擊中對(duì)方目標(biāo)次數(shù)之差X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（3）在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率．
【答案】（1），
（2）
分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式即可求出；
（2）求出的可能取值范圍及對(duì)應(yīng)的概率，求出；
（3）分藍(lán)方擊中、和次三種情況討論.
【小問1詳解】
，；
【小問2詳解】
的可能取值為，
因?yàn)?，?br>，
所以分布列為：
所以；
【小問3詳解】
若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
所以紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為.
19. （1）函數(shù)與的圖象有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)證明；
（2）是否存在正數(shù)c，對(duì)任意，總有？若存在，求c的最小值；若不存在，請(qǐng)說
明理由；
（3）已知常數(shù)，證明：當(dāng)x足夠大時(shí)，總有．
【答案】（1）關(guān)于直線對(duì)稱，證明見解析；（2）存在，；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）利用互為反函數(shù)的性質(zhì)判斷并證明.
（2）由零點(diǎn)，可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明時(shí)不等式恒成立.
（3）根據(jù)給定條件，等價(jià)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
令為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，即，則，因此點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
反之亦然，而點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，
所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
（2）存在正數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，
令，顯然，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，在上恒有，
當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，令，
求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，；
令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以存在正數(shù)c，對(duì)任意的，總有，.
（3），不妨令，則不等式，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，由，得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
又，而趨近于正無窮大時(shí)，趨近于，
因此存在大于的正數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，，
所以對(duì)于，存在正數(shù)，使得，恒有；
，不妨令，，不等式，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，，
令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?br>存在，使得，當(dāng)，即時(shí)，，恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
對(duì)于，恒成立，因此對(duì)于，存在正數(shù)，使得，恒成立，
取，對(duì)于任意的，成立，
所以當(dāng)x足夠大時(shí)，總有.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

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