1.下列函數(shù)：①y=3? 3x2；②y=2x2；③y=x(3?5x)；④y=(1+2x)(1?2x)，是二次函數(shù)的有( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
2.用配方法解方程x2?x?154=0時(shí)，變形結(jié)果正確的是( )
A. (x?12)2=4B. (x?12)2=72C. (x?14)2=4D. (x?14)2=72
3.一元二次方程x2?2x?1=0的根的情況為( )
A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根
4.已知關(guān)于x的一元二次方程(k?2)x2+3x+k2?4=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則k的值為( )
A. ?2B. 2C. 2或?2D. 4或?2
5.關(guān)于拋物線y=x2?2x+c與y軸交于點(diǎn)(0,?3)，則下列說(shuō)法不正確的是( )
A. 拋物線的開(kāi)口方向向上B. 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1
C. 當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為?4D. 拋物線與x軸的交點(diǎn)為(?1.0)，(3,0)
6.若a是關(guān)于x的方程3x2?x?1=0的一個(gè)根，則2024?6a2+2a的值是( )
A. 2026B. 2025C. 2023D. 2022
7.拋物線y=x2向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，所得的拋物線表式是( )
A. y=(x?3)2?2B. y=(x?3)2+2C. y=(x+3)2?2D. y=(x+3)2+2
8.已知二次函數(shù)y=ax2+bx?1(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則代數(shù)式1?a?b的值為( )
A. ?1B. 2C. ?3D. 5
9.點(diǎn)P1(?1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函數(shù)y=?x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( )
A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y3
10.直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+b在同一坐標(biāo)系里的大致圖象正確的是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.關(guān)于x的方程(a?3)x2?4x?1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．
12.若拋物線y=(x?2)2+(m+1)的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為_(kāi)_____．
13.已知A(0,3)、B(2,3)是拋物線y=?x2+bx+c上兩點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是______．
14.如圖，函數(shù)y=?(x??)2+k的圖象，則其解析式為_(kāi)_____．
15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m?1)x+m2=0.若方程的兩根互為倒數(shù)，則m= ______．
16.已知關(guān)于x的方程x2?(m+3)x+4m?4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=5，另兩邊b，c的長(zhǎng)度恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根.△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
三、解答題：本題共5小題，共52分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題20分)
按規(guī)定方法解方程：
(1)x2?3x+1=0；(公式法)
(2)4x(2x?1)=3(2x?1)；(因式分解法)
(3)(y+3)2=(5?3y)2；(直接開(kāi)平方或因式分解法)
(4)3x2+6x?4=0.(配方法)
18.(本小題8分)
已知關(guān)于x的方程x2+ax?a?5=0．
(1)若方程有一個(gè)根為2，求a的值及該方程的另一個(gè)根；
(2)求證：不論a取任何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
19.(本小題6分)
把二次函數(shù)y=a(x??)2+k的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=12(x+1)2?1的圖象．
(1)直接寫(xiě)出a、?、k的值：a= ______、?= ______、k= ______；
(2)二次函數(shù)y=a(x??)2+k的開(kāi)口方向______、對(duì)稱(chēng)軸是______、頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．
20.(本小題8分)
閱讀材料：材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1x2=ca．
(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x?1=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2= ______，x1x2= ______；
(2)類(lèi)比探究：已知實(shí)數(shù)m，n滿足7m2?7m?1=0，7n2?7n?1=0.且m≠n，求m2n+mn2的值；
(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t分別滿足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1.求2st+7s+2t的值．
21.(本小題10分)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，B(0,?3)，點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，求線段PM最長(zhǎng)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
答案解析
1.C
【解析】解：①y=3? 3x2；③y=x(3?5x)；④y=(1+2x)(1?2x)，是二次函數(shù)，共3個(gè)，
故選：C．
利用二次函數(shù)定義進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．
2.A
【解析】解：x2?x?154=0，
x2?x=154，
x2?x+14=154+14，
(x?12)2=4．
故選：A．
利用配方法判斷即可．
本題考查解一元二次方程?配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法的步驟．
3.B
【解析】解：根據(jù)題意Δ=(?2)2?4×1×(?1)=8>0，
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．
先計(jì)算判別式，得到Δ=(?2)2?4×1×(?1)=8>0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2?4ac.當(dāng)Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0，則拋物線的開(kāi)口方向向上，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=??22×1=1，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C.因?yàn)閽佄锞€y=x2?2x+c與y軸交于點(diǎn)(0,?3)，則c=?3，所以y=(x?1)2?4，當(dāng)x=1時(shí)，y的最小值為?4，所以C選項(xiàng)符合題意；
D.解方程x2?2x?3=0得x1=?1，x2=3，則拋物線與x軸的交點(diǎn)為(?1.0)，(3,0)，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷，利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
6.D
【解析】解：∵a是關(guān)于x的方程3x2?x?1=0的一個(gè)根，
∴3a2?a=1，
∴2022?6a2+2a=2024?2(3a2?a)=2024?2×1=2022，
故選：D．
把x=a代入3x2?x?1=0，得3a2?a=1，然后把所求式子化為2024?2(3a2?a)代入計(jì)算即可作答．
本題考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
7.C
【解析】解：y=x2向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，所得的拋物線表式是y=(x+3)2?2，
故選：C．
根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，可得答案．
本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
8.A
【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx?1(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，
∴a+b?1=1，
∴1?a?b=?1．
故選A．
把點(diǎn)(1,1)代入函數(shù)解析式求出a+b?1，然后即可得解．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．
9.D
【解析】解：∵y=?x2+2x+c，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
P2(3,y2)，P3(5,y3)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，
∵3y3，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，P1(?1,y1)與(3,y1)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
故y1=y2>y3，
故選D．
10.D
【解析】解：A、由一次函數(shù)的圖象可知a>0，b>0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，圖象a>0，b0，b>0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，圖象a>0，b0，b>0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，圖象a>0，b>0，ab>0，而拋物線對(duì)稱(chēng)軸位于y軸右側(cè)，則ab0，b>0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，圖象a>0，b>0，對(duì)稱(chēng)軸位于y軸左側(cè)，則ab>0，故選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
根據(jù)題意和各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)圖象，可以得到一次函數(shù)中a和b的正負(fù)情況和二次函數(shù)圖象中a、b的正負(fù)情況，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象符合題意，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
11.a>?1且a≠3
【解析】解：根據(jù)題意得a?3≠0且Δ=(?4)2?4(a?3)×(?1)>0，
解得a>?1且a≠3．
故答案為：a>?1且a≠3．
利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到a?3≠0且Δ=(?4)2?4(a?3)×(?1)>0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ?1
【解析】解：∵拋物線y=(x?2)2+(m+1)，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,m+1)，
∵頂點(diǎn)在第一象限，
∴m+1>0，
∴m的取值范圍為m>?1．
故答案為：m>?1．
直接利用頂點(diǎn)形式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合第一象限點(diǎn)的特點(diǎn)列出不等式解答即可．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=a(x??)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?,k)，以及各個(gè)象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
13.x=1
【解析】解：
∵A(0,3)、B(2,3)是拋物線y=?x2+bx+c上兩點(diǎn)，
∴c=3?4+2b+c=3，解得b=2c=3，
∴拋物線解析式為y=?x2+2x+3，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=?22×(?1)=1，
故答案為：x=1．
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，則可求得對(duì)稱(chēng)軸．
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．
14.y=?(x+1)2+5
【解析】解：由圖象可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,5)
所以函數(shù)的解析式為y=?(x+1)2+5．
故答案為y=?(x+1)2+5．
15.?1
【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m?1)x+m2=0.若方程的兩根互為倒數(shù)，
設(shè)方程的一根為a，則得另一根為1a，
∴m2=1
又Δ=4(m?1)2?4m2≥0．
解得m=±1m≤ 12
所以m的值為?1．
故填空答案：?1．
可設(shè)方程的一根為a，則得另一根為1a，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與兩根之積，列出方程組，解出即可．
本題考查根與系數(shù)的關(guān)系和判別式的有關(guān)問(wèn)題，仔細(xì)分析，不難解決．
16.13或14
【解析】解：∵△ABC為等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一個(gè)為5．
①當(dāng)b=c時(shí)，Δ=(m?5)2=0，
解得：m=5，
∴原方程為x2?8x+16=0，
解得：b=c=4，
∵b+c=4+4=8>5，
∴4、4、5能構(gòu)成三角形．
該三角形的周長(zhǎng)為4+4+5=13．
②當(dāng)b或c中的一個(gè)為5時(shí)，將x=5代入原方程，得：25?5m?15+4m?4=0，
解得：m=6，
∴原方程為x2?9x+20=0，
解得：x1=4，x2=5．
∵4、5、5能組成三角形，
∴該三角形的周長(zhǎng)為4+5+5=14．
綜上所述，該三角形的周長(zhǎng)是13或14．
故答案為：13或14．
由等腰三角形的性質(zhì)可知b=c或b、c中有一個(gè)為5，①當(dāng)b=c時(shí)，根據(jù)根的判別式Δ=0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出該種情況不合適；②當(dāng)方程的一根為5時(shí)，將x=5代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定△ABC的三條邊，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)即可得出結(jié)論．
本題考查了三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，此題屬于易錯(cuò)題，解題時(shí)是需要分類(lèi)討論，以防漏解．
17.解：(1)x2?3x+1=0，
a=1，b=?3，c=1，
Δ=b2?4ac=9?4=5，
x=?b± b2?4ac2a=3± 52，
故x1=3+ 52，x2=3? 52；
(2)4x(2x?1)=3(2x?1)，
整理得4x(2x?1)?3(2x?1)=0，
因式分解得(2x?1)(4x?3)=0，
∴2x?1=0，4x?3=0，
解得x1=12，x2=34；
(3)(y+3)2=(5?3y)2，
開(kāi)方得y+3=±(5?3y)，
∴y+3=5?3y，y+3=?5+3y，
解得y1=12，y2=4；
(4)3x2+6x?4=0，
整理得x2+2x=43，
配方得x2+2x+1=43+1，即(x+1)2=73，
開(kāi)方得x+1=± 213，
解得x1= 21?33，x2=? 21?33．
【解析】(1)根據(jù)公式法進(jìn)行計(jì)算即可；
(2)整理后，根據(jù)因式分解進(jìn)行計(jì)算即可；
(3)根據(jù)直接開(kāi)平方進(jìn)行計(jì)算即可；
(3)根據(jù)配方法進(jìn)行配方計(jì)算即可．
本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18.(1)解：根據(jù)題意，將x=2代入方程x2+ax?a?5=0，
得4+2a?a?5=0，
解得a=1，
∵x1+x2=?a，
∴2+x2=?1，
解得x2=?3，
∴a=1，方程的另一個(gè)根為?3；
(2)證明：∵Δ=a2?4(?a?5)=a2+4a+20=(a+2)2+16>0，
∴不論a取任何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【解析】(1)根據(jù)題意將x=2代入方程求出a的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得2+x2=?1，進(jìn)一步即可求出另一個(gè)根；
(2)根據(jù)Δ=a2?4(?a?5)=(a+2)2+16>0，即可得證．
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
19.12 1 ?5 向上 直線x=1 (1,?5)
【解析】解：(1)二次函數(shù)y=12(x+1)2?1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?1)，把點(diǎn)(?1,?1)先向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,?5)，
所以原二次函數(shù)的解析式為y=12(x?1)2?5，
所以a=12，?=1，k=?5．
故答案為：12，1，?5；
(2)二次函數(shù)y=a(x??)2+k，即y=12(x?1)2?5的開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,?5)．
故答案為：向上，直線x=1，(1,?5)．
(1)利用逆向思維的方法求解：把二次函數(shù)y=12(x+1)2?1的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到二次函數(shù)y=a(x??)2+k的圖象，然后利用頂點(diǎn)的平移情況確定原二次函數(shù)解析式，然后寫(xiě)出a、?、k的值；
(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
20.?2 ?15
【解析】解：(1)∵一元二次方程5x2+10x?1=0的兩個(gè)根為x1，x2，
∴x1+x2=?2，x1x2=?15．
故答案為：?2，?15．
(2)∵7m2?7m?1=0，7n2?7n?1=0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2?7x?1=0，
∴m+n=1，mn=?17，
∴m2n+mn2
=mn(m+n)
=?17×1
=?17．
(3)把t2+7t+7=0，兩邊同時(shí)除以t2得：
7?(1t)2+7?1t+1=0，
則實(shí)數(shù)s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的根，
∴s+1t=?1，s?1t=17，
∴2st+7s+2t
=2s+7?st+2t
=2(s+1t)+7?st
=2×(?1)+7×17
=?2+1
=?1．
(1)直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案；
(2)由題意得出m、n可看作方程7x2?7x?1=0，據(jù)此得到m+n=1，mn=?17，將其代入計(jì)算可得；
(3)把t2+7t+7=0，兩邊同時(shí)除以t2得7?(1t)2+7?1t+1=0，據(jù)此可得實(shí)數(shù)s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的根，進(jìn)一步代入計(jì)算可得．
本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
21.解：(1)拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，B(0,?3)，得
9+3m+n=0n=?3，
解得m=?2n=?3，
∴y=x2?2x?3．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0)，經(jīng)過(guò)A(3,0)，B(0,?3)，得
3k+b=0b=?3，
解得k=1b=?3，
∴直線AB的解析式為y=x?3．
(2)點(diǎn)P在第四象限，設(shè)P(t,t?3)(0

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