專題2.8 有理數(shù)的乘方【十大題型】 【蘇科版2024】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc4804" 【題型1 乘方運算的符號規(guī)律】  PAGEREF _Toc4804 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc32067" 【題型2 乘方的逆運算（簡算）】  PAGEREF _Toc32067 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc5893" 【題型3 乘方中的程序流程圖問題】  PAGEREF _Toc5893 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc9841" 【題型4 乘方中的整除問題】  PAGEREF _Toc9841 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc26822" 【題型5 乘方中的進制問題】  PAGEREF _Toc26822 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc31721" 【題型6 乘方中的末尾數(shù)字問題】  PAGEREF _Toc31721 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc28747" 【題型7 乘方中的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc28747 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc5425" 【題型8 算“24”點】  PAGEREF _Toc5425 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc15884" 【題型5 乘方的實際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc15884 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc25541" 【題型10 乘方中的新定義問題】  PAGEREF _Toc25541 \h 8  知識點：有理數(shù)的乘方 1. 有理數(shù)的乘方 一般地，個相同的乘數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”； 在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當看作的次方的結(jié)果時，讀作的次冪。 求個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。 1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”； 2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。 注意：除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1。 【題型1 乘方運算的符號規(guī)律】 【例1】（23-24七年級·安徽合肥·期中）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的一組是（????） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【變式1-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）觀察下列三組數(shù)的運算：(?2)3=?8，?23=?8；(?3)3=?27，?33=?27；(?4)3=?64，?43=?64．聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律．下列用字母a表示的式子：①當a0時，?a3=(?a)3．其中表示的規(guī)律正確的是（????） A．① B．② C．①、②都正確 D．①、②都不正確 【變式1-2】（23-24七年級·廣東深圳·期末）已知4個數(shù)：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正數(shù)的個數(shù)有（　?。?A．1 B．2 C．3 D．4 【變式1-3】（23-24七年級·山東棗莊·期中）下列各式：①a2=(?a)2；②a3=(?a)3；③?a2=?a2；④a3=a3．一定成立的有(????) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【題型2 乘方的逆運算（簡算）】 【例2】（23-24七年級·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式： ①3×52與32×52；???? ②?2×32與?22×32； （2）根據(jù)以上計算結(jié)果想開去：ab3等于什么?（直接寫出結(jié)果） （3）猜想與驗證：當n為正整數(shù)時，abn等于什么?請你利用乘方的意義說明理由． （4）利用上述結(jié)論，求?42022×0.252023的值． 【變式2-1】（23-24七年級·全國·單元測試）如果x5=?32，y3=8那么xy= ． 【變式2-2】（23-24七年級·福建廈門·期中）若126×38=p，則126×36的值可以表示為（????） A．16p B．p?5 C．p?6 D．15p 【變式2-3】（23-24七年級·廣東東莞·期中）62=36,2×32=22×32=4×5=36，由此你能算出236×1233=（????） A．6 B．8 C．18 D．十分麻煩 【題型3 乘方中的程序流程圖問題】 【例3】（23-24七年級·河南駐馬店·期中）小可同學設(shè)計了幾張如圖寫有不同運算的卡片A，B，C，D，小可選擇一個有理數(shù)，讓她的同桌小佳選擇A，B，C，D的順序，進行一次列式計算． (1)當小可選擇了4，小佳選擇了A→C→B→D的順序，列出算式并計算結(jié)果； (2)當小可選擇了?2，小佳選擇了D→C→（______）→（______）的順序，若列式計算的結(jié)果剛好為?3，請通過計算判斷小佳選擇的順序． 【變式3-1】（23-24七年級·江蘇揚州·階段練習）根據(jù)下面的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，列出關(guān)于x，y的代數(shù)式，并求出當輸入的x與y滿足x+1+y-122=0時的值． 【變式3-2】（23-24七年級·北京·期末）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數(shù)是20，而結(jié)果不大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進行第二次運算，直到符合要求為止，請求出最后輸出的結(jié)果． 【變式3-3】（23-24七年級·北京東城·期末）小明設(shè)計了一個如圖所示的數(shù)值轉(zhuǎn)換程序． (1)當輸入a=?5,b=?3吋，求輸出M的值為多少？ (2)若a=?3,M的值大于4，直接寫出一個符合條件的b的值． 【題型4 乘方中的整除問題】 【例4】（23-24七年級·江蘇揚州·期中）?82024+?82023能被下列哪個數(shù)整除？（????） A．3 B．5 C．7 D．5 【變式4-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）試說明257+513能被30整除． 【變式4-2】（23-24七年級·湖南懷化·期末）20232?2023一定能被（????）整除 A．2020 B．2022 C．2024 D．2025 【變式4-3】（23-24七年級·四川成都·期中）當自然數(shù)n的個位數(shù)分別為0，1，2，…，5時，n2,n3,n4的個位數(shù)如表所示： 在10，11，12，13這四個數(shù)中，當n= 時，和數(shù)2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除． 【題型5 乘方中的進制問題】 【例5】（23-24七年級·浙江溫州·期中）遠古美索不達米亞人創(chuàng)造了一套以60進制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，對于大于55的數(shù)，美索不達米亞人則采用六十進制的位值記法，位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留空，例如：，左邊的表示2×602；中間的表示3×60；右邊的則表示1個單位，用十進制寫出來是7381，若楔形文記數(shù)，表示十進制的數(shù)為 ． 【變式5-1】（23-24七年級·山東煙臺·期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位漁夫從右往左打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕到的魚的數(shù)量．由圖可知，他一共捕到的魚的數(shù)量為（???） A．34 B．154 C．1234 D．6154 【變式5-2】（23-24七年級·全國·競賽）二進制數(shù)(101)2可用十進制表示為1×22+0×21+1×20=5，同樣地，三進制數(shù)(102)3可用十進制表示為1×32+0×31+2×30=11．現(xiàn)有二進制數(shù)a=(11101)2、三進制數(shù)b=(1010)3，那么a、b的大小關(guān)系是（????）． A．a(chǎn)?a，可知M=a2?3b=?52?3×?3，計算求解即可； （2）由題意知，?a=3，當b=1時，b24，進而可知，b=1符合要求． 【詳解】（1）解：由題意知，b2=5，?a=5， ∵b2>?a， ∴M=a2?3b=?52?3×?3=34， ∴輸出M的值為34； （2）解：由題意知，?a=3， 當b=1時，b2=1，且b24， ∴b=1符合條件． 【題型4 乘方中的整除問題】 【例4】（23-24七年級·江蘇揚州·期中）?82024+?82023能被下列哪個數(shù)整除？（????） A．3 B．5 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本題考查了數(shù)的整除、有理數(shù)的乘方的運算，先計算出?82024+?82023=7×82023，即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵． 【詳解】解：?82024+?82023 =?82023×?8+?82023 =?82023×?8+1 =7×82023， ∴能被7整除， 故選：C． 【變式4-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）試說明257+513能被30整除． 【答案】理由見解析． 【分析】先利用有理數(shù)的乘方的逆運算將257進行變形，再提取公因子513，由此即可得出答案． 【詳解】257+513=(52)7+513 =514+513 =513×(5+1) =6×513 則(257+513)÷30=(6×513)÷30=512 因為512是整數(shù) 所以257+513能被30整除． 【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的逆運算、乘法的分配律，掌握有理數(shù)的乘方的逆運算是解題關(guān)鍵． 【變式4-2】（23-24七年級·湖南懷化·期末）20232?2023一定能被（????）整除 A．2020 B．2022 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】根據(jù)乘法分配律的逆運算得到2022×2023，即可得出結(jié)論． 【詳解】解：20232?2023 =2023×2023?2023 =2023?1×2023 =2022×2023， ∴20232?2023一定能被2022整除， 故選：B． 【點睛】本題主要考查的有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法分配律的逆運算． 【變式4-3】（23-24七年級·四川成都·期中）當自然數(shù)n的個位數(shù)分別為0，1，2，…，5時，n2,n3,n4的個位數(shù)如表所示： 在10，11，12，13這四個數(shù)中，當n= 時，和數(shù)2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除． 【答案】10、11、13 【分析】根據(jù)表格中的規(guī)律，分別求出2001、2002、2003、2004這幾個數(shù)的個位在n=10、11、12、13時的值，通過判斷這4個數(shù)字的個位數(shù)字和是否是0或5來判斷是否能被5整除 【詳解】根據(jù)表格中的規(guī)律，可得下表： 由表格知道，當n=10、11、13時，2001n+2002n+2003n+2004n的個位數(shù)字都是0，能夠被5整除 故答案為：10、11、13 【點睛】本題考查了歸納總結(jié)的能力，解題關(guān)鍵是利用乘方的規(guī)律來確定個位數(shù)字，求出結(jié)果的個位數(shù)字之和判斷是否能夠被5整除. 【題型5 乘方中的進制問題】 【例5】（23-24七年級·浙江溫州·期中）遠古美索不達米亞人創(chuàng)造了一套以60進制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，對于大于55的數(shù)，美索不達米亞人則采用六十進制的位值記法，位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留空，例如：，左邊的表示2×602；中間的表示3×60；右邊的則表示1個單位，用十進制寫出來是7381，若楔形文記數(shù)，表示十進制的數(shù)為 ． 【答案】3723 【分析】根據(jù)題意，可以用十進制表示出楔形文記數(shù)． 【詳解】解：楔形文記數(shù)表示十進制的數(shù)為：1×602+2×60+3＝3600+120+3=3723， 故答案為：3723． 【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法以及六十進制的位值記法． 【變式5-1】（23-24七年級·山東煙臺·期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位漁夫從右往左打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕到的魚的數(shù)量．由圖可知，他一共捕到的魚的數(shù)量為（???） A．34 B．154 C．1234 D．6154 【答案】A 【分析】本題主要考查了用數(shù)字表示事件，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列式即可． 【詳解】解：1×53+2×52+3×5+4=154． 【變式5-2】（23-24七年級·全國·競賽）二進制數(shù)(101)2可用十進制表示為1×22+0×21+1×20=5，同樣地，三進制數(shù)(102)3可用十進制表示為1×32+0×31+2×30=11．現(xiàn)有二進制數(shù)a=(11101)2、三進制數(shù)b=(1010)3，那么a、b的大小關(guān)系是（????）． A．a(chǎn)

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