一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．32B．C．D．
2．已知集合，則包含的元素個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．長江被稱為黃金水道，而三峽大壩則是長江上防洪發(fā)電的國之重器.三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米.為了改善船舶的通航條件，常常會通過修建階梯船閘來實現(xiàn)，船只只需要像爬樓梯一樣，以實現(xiàn)上升或者下降.假設(shè)每個閘室之間的水位差均可控制在15 至 25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個數(shù)為（ ）

A．4B．5C．6D．7
4．若 則 （ ）
A．B．C．D．
5．已知一組數(shù)據(jù)34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位數(shù)是45，那么實數(shù) x的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)的部分圖象如下，與其交于A，B兩點．若，則（ ）

A．4B．3C．2D．1
7．長方體 中，與平面所成的角為，與所成的角為，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）
A． B．
C．D．
8．設(shè)拋物線C： 的焦點為F，過拋物線C 上的點P 作C 的切線交x軸于點M，若，則（ ）
A．B．2C．D．
二、多選題
9．已知無窮數(shù)列和的各項均為整數(shù)，和是非常數(shù)數(shù)列，且和中存在大小相等的項，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若和是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，如果所有相等的項不止一項，則這些項構(gòu)成等差數(shù)列
B．若和{是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，如果所有相等的項不止一項，則這些項構(gòu)成等比數(shù)列
C．若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則所有相等的項不止一項
D．若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則所有相等的項可能只有一項
10．如圖，造型為“∞”的曲線C 稱為雙紐線，其對稱中心在坐標原點O，且C 上的點滿足到點 和的距離之積為定值a，則（ ）

A．點 在曲線 C 上
B．曲線 C的方程為(
C．曲線C 在第一象限的點的縱坐標的最大值為
D．若點在C 上，則
11．類比平面上的三角形是由三條線段首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形，我們把球面上三條大圓的劣弧 首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形稱為球面三角形．如圖所示，分別連接球心與不在同一大圓上三點，定義球面 的三個內(nèi)角分別為二面角的平面角．則下列說法正確的是（ ）
A．若 球的半徑為2，則
B．存在球面三角形，使得
C．若球的半徑為2，，那么球面三角形ABC的面積為
D．若是銳角且，則
三、填空題
12．已知向量的夾角為30°，且，則
13．的展開式中的系數(shù)為 ．
14．已知函數(shù) 其中，當兩函數(shù)圖象對應(yīng)曲線存在2條公切線時則的取值范圍是 ．
四、解答題
15．如圖，在平面四邊形中，

(1)若 與交于點，且，求的長；
(2)求四邊形 周長的最大值．
16．已知橢圓Γ 經(jīng)過點A(1,32)，右焦點為 F(1,0)
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)若直線l與Γ 交于兩點，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求 的中點 與 的最小距離．
17．如圖，直角梯形 ACDE 中， 、M 分別為AC、ED 邊的中點，將△ABE 沿BE 邊折起到△A'BE 的位置，N 為邊A'C 的中點．
(1)證明：MN∥平面A'BE；
(2)當三棱錐的體積為，且二面角為銳二面角時，求平面 NBM 與平面BEDC 夾角的正切值．
18．為抽查車輛文明駕駛情況，在某路口設(shè)有高清攝像頭，對經(jīng)過的車輛進行抓拍．抓拍系統(tǒng)設(shè)定：經(jīng)過該路口的每一輛車被抓拍的概率均為 但為保證抽查量，設(shè)定前2 輛車經(jīng)過該路口都沒有被抓拍時，第 3輛車必被抓拍．假設(shè)汽車依次通過該路口．
(1)從某一時刻開始，記第n輛車經(jīng)過該路口時被抓拍的概率為 求
(2)當任意連續(xù)有2輛車經(jīng)過該路口時， 表示 2 輛車均未被抓拍的概率， 表示第1輛車未被抓拍，且第2 輛車被抓拍的概率， 表示第1輛車被抓拍，且第2輛車未被抓拍的概率， 表示2 輛車均被抓拍的概率．
①試用 和 表示
②求 的值．
19．牛頓法( Newtn's methd)是牛頓在17世紀提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設(shè)r是的根，選取x．作為r的初始近似值，過點作曲線的切線L，L的方程為.如果，則 L與x軸的交點的橫坐標記為，稱為r 的一階近似值．再過點作曲線的切線，并求出切線與x軸的交點橫坐標記為，稱為r的二階近似值．重復(fù)以上過程，得r的近似值序列：，根據(jù)已有精確度，當時，給出近似解．對于函數(shù)，已知.
(1)若給定，求r的二階近似值；
(2)設(shè)
①試探求函數(shù)h(x)的最小值 m 與r 的關(guān)系；
②證明：.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)模長公式求解.
【詳解】由可得，所以，
故選：C
2．B
【分析】由一元二次不等式化簡集合，即可由交集的定義求解.
【詳解】由，解得或，
所以或，
故，
故選：B
3．B
【分析】由已知，水位差為米，每個閘室之間的水位差均可控制在15 至 25米之間，由，可知船閘至少需要修建閘室5個.
【詳解】因為三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米,
所以水位差為米，
又每個閘室之間的水位差均可控制在15 至 25米之間，
則，
所以船閘至少需要修建閘室5個.
故選：B.
4．C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可代入求解.
【詳解】
故選：C
5．A
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的總個數(shù)可得第65百分位是第6位，可得的范圍.
【詳解】因為，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項數(shù)據(jù)45，則.
故選：A
6．A
【分析】首先解方程，結(jié)合圖象，求得方程的實數(shù)根，即可求解的值.
【詳解】令，則，，，
則，且，所以.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，正確求解兩點的坐標.
7．D
【分析】根據(jù)線面角以及線線角的定義可得，即可由銳角三角函數(shù)表示結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由于平面，故,
故
由于的大小不確定，所以無法確定的大小，故的大小不確定，A錯誤，
由于,
故，
由于均為銳角，所以也是銳角，故，即.
故選：D
8．B
【分析】設(shè)Px0,y0，求出過點P拋物線C的切線方程，令，可得點的坐標，由兩點間距離公式表示出，，由拋物線定義得到，在中，由余弦定理得，，代入化簡，解方程可得，即可得到.
【詳解】

由已知，，設(shè)Px0,y0，則，
由，即，則，
所以過點P拋物線C的切線的斜率為，
則切線方程為，
當時，，即點的坐標為，
則，
，，
又，
則在中，由余弦定理得，
，
則，
整理得，
解得，
所以.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)Px0,y0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，得到點的坐標，由兩點間距離公式和拋物線定義，得到，， ，在中，由余弦定理建立方程，解出，即可求得.
9．ABD
【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解AB，舉例即可說明CD.
【詳解】對于A，由于an，bn是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，
若an，bn公共項的最小的一項記為于，且an，bn的公差分別為，
若的最小公倍數(shù)為，則均為an，bn的公共項,且構(gòu)成等差，故A正確.
對于B，由于an，bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，
若an，bn公共項的最小的一項記為于，且an，bn的公比分別為，
則均為an，bn的公共項，且構(gòu)成等比，故B正確.
對于C，若，，則an，bn只有1項是公共項，C錯誤.
對于D，若，由于，
則an，bn公共項只有，故D正確.
故選：ABD
10．AC
【分析】由已知得，設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，可解得，則可判斷A；由C 上的點滿足到點 和的距離之積為定值a，可得方程，化簡可判斷B； ，由得，則可判斷C；由可得成立，則可判斷D.
【詳解】由原點在曲線上得，
選項A．設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，
則，解得 ，故A 正確.
選項B，設(shè)曲線C上任一點坐標為，則，
得 ，則 ，
所以 ，
即 ，故 B 錯誤．
選項C，由，得 ，
由，得，
所以 ，則，故C 正確．
選項 D，由，得，
故點在C 上時有成立，故D錯誤．
故選：AC.
11．ABD
【分析】根據(jù)弧長公式即可求解A，根據(jù)二面角的幾何角定義即可求解B，根據(jù)，可得球面三角形占半徑為2的球面的比例為 ，即可由球的表面積公式求解C，根據(jù)二面角的定義，結(jié)合弧長公式即可求解D.
【詳解】選項 A，根據(jù)弧長公式 所以 A正確；
選項B，當兩兩垂直時，此時二面角的平面角均為直角，
根據(jù)定義得所以 B正確；
選項C，∵，
所以球面三角形占半徑為2的球面的比例為
根據(jù)球的面積公式，球面的面積為 故C錯誤；
選項 D，如圖所示，連接，設(shè)所在平面為．
作，連接．
由三垂線定理可得,
結(jié)合，
，且都是銳角，
，所以 ，所以D正確
故選：ABD．
12．
【分析】根據(jù)模長公式即可求解.
【詳解】，
故答案為：
13．
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解.
【詳解】，
故的系數(shù)為，
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，先求解兩曲線相切時的臨界情況時的值，利用相切和導(dǎo)數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，即可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.
【詳解】令則，
令，則，
由于函數(shù)互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對稱，
因此只需要考慮兩曲線相切時的臨界情況，設(shè)切點橫坐標為，
由
故，即，
所以，
設(shè)，則，，故有，兩邊取對并移項，
記函數(shù)，易知在1,+∞上單調(diào)遞增,
因為，所以，此時，
所以的取值范圍是
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)兩函數(shù)在相切的的臨界情況，設(shè)出切點橫坐標為，得，求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得，即可利用等面積法求解,進而由勾股定理即可求解，
（2）由基本不等式即可求解.
【詳解】（1） 中,由余弦定理得,
所以
因為，，所以

由可知, ,
所以
（2）因為,所以,
,故，
當且僅當時等號成立，故周長的最大值為
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上以及焦點即可聯(lián)立方程求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理可得坐標，進而根據(jù)中點坐標公式可得，從而判斷在直線上，即可由點到直線距離公式求解.
【詳解】（1）由已知 解得
所以橢圓方程為
（2）由于的斜率互化相反數(shù)，不妨設(shè)的斜率為，的斜率為.
則的方程為，
聯(lián)立，
故，又，所以，
進而,
用代入可得,
所以中點的坐標為
由于,
所以在直線上，
所以點與的最小距離即是點到直線的距離 ，
當且當且僅當時取得最小值，
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用中位線定理在平面中找到和直線平行的直線，利用直線和平面平行的判定定理即可證明.
（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)已知條件利用等體積法，進而求出各個點的坐標，再利用平面的法向量計算平面的夾角的正切值.
【詳解】（1）取的中點，的中點，由題意知，，
直角梯形中，四邊形為正方形，
為的中點，
，
四邊形為平行四邊形，，
平面，不在面內(nèi)，
平面.
（2）連接，則，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
，面，
平面，
，
，，
，為等邊三角形，
則，
設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，
，令
，令，
設(shè)平面與平面的夾角為，由題可知為銳角，
，
平面與平面的夾角的正切值為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解.
（2）根據(jù)全概率公式即可列出關(guān)系式，聯(lián)立即可求解，
【詳解】（1）記事件“第輛車經(jīng)過路口時被抓拍”為
則

（2）①由已知對應(yīng)事件“2兩輛車均未被抓拍”的前一狀態(tài)只能為所對應(yīng)事件，故，
同樣可得
②由全概率公式可得又，
解得
19．(1)；
(2)①；②證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定方法，求出的導(dǎo)數(shù)，依次求出即可.
（2）①求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最小值，結(jié)合求出m 與r 的關(guān)系；②由①的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可推理得證.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，，當時，，
同理，而，所以.
（2）①由（1）知，，則，
，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
由，得，且，則，
，當時，，當時，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在處取得最小值.
②由①知，，令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，當時，，當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，
則當時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
而，因此，所以.
【點睛】思路點睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

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