一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的選項中，只有一項是符
合題目要求的．
1. 若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則，得到 ，再利用共軛復數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】因為 ，
所以 ，
故選：C.
2. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集、補集的運算即可求解；
【詳解】解：因為集合 ，
所以 或 ，
又 ，
.
故選：C
3. 已知等差數(shù)列 的前 n 項和為 若 ， ，則 為（ ）
A. 88 B. 77 C. 66 D. 55
【答案】B
【解析】
第 1頁/共 21頁
【分析】利用等差數(shù)列的前 項和公式及等差數(shù)列的性質即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質可得： ，
則由等差數(shù)列前 項和公式可得：
故選：B.
4. 已知 ， ，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用平方關系，即可求解.
【詳解】由 ， ，
可得
，
故選：B.
5. 已知函數(shù) 的導函數(shù)為 ，且滿足 ，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由導數(shù)的四則運算及賦值即可求解.
【詳解】解： ，
則 ，
第 2頁/共 21頁
故選：A
6. 在測量降雨量的實踐活動中，某小組利用現(xiàn)有儀器，將一個玻璃漏斗固定在一個較大的錐形瓶上，漏斗
的下端伸進錐形瓶內，下雨時將其置于室外收集雨水．如圖所示，已知錐形瓶的底部直徑為 ，瓶口
直徑為 ，玻璃漏斗口直徑為 ，收集完畢后測得水面距瓶底 ，水面直徑 ，則平
地降雨量大約為（ ） 注：平地降雨量等于收集到的雨水體積與收集雨水玻璃漏斗口的面積之比
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用圓臺的體積公式，求出收集到的雨水體積，再求出收集雨水的玻璃漏斗口面積，
即可求解.
【詳解】設收集到的雨水體積為 ，收集雨水的面積為 ，
則 ，
，
故平地降雨量為 ，
故選：D.
7. 已知一個等比數(shù)列的前 項，前 項，前 項的和分別為 ， ， ，則下列等式中正確的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
第 3頁/共 21頁
【解析】
【分析】ABC 通過反例即可判斷，D 通過等比數(shù)列求和公式可判斷.
【詳解】解：前三個選項舉反例，令 ，等比數(shù)列為 1，2，4，則 ， ，
對于 A， ，故 A 錯誤；
對于 B， ， ，故 B 錯誤；
對于 C， ，故 C 錯誤；
對于 D，因為 ， ，
，故 D 正確．
故選：D
8. 過拋物線 上的一點 作切線 ，設 與 軸相交于點 為 的焦點，直線 交 于另一
點 ，則 面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設 ，根據(jù)條件得到 ，從而得到 ，構造函數(shù)
，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，求出 的最小值，即可求解.
【詳解】設 ，由拋物線的對稱性，不妨設 ，設直線 ，
由 ，消 得 ，
因直線 與拋物線相切，得到 ，得到 ，
故直線 的方程為 ，
第 4頁/共 21頁
令 ，得點 M 的坐標為 ，設直線 的方程為 ，
聯(lián)立 ，得 ，所以有 ，于是 ，
則 ，
令 ，則 ，
當 時， ，得到 在區(qū)間 單調遞減；當 時， ，得到
在區(qū)間 上單調遞增，
故 ，
所以 的最小值為
故選：C.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于，設 ，根據(jù)條件得到
，再構造函數(shù) ，求出 的最值，即可求解.
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部
選對的得 6 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分．
9. 下列說法正確的有（ ）
第 5頁/共 21頁
A. 若樣本數(shù)據(jù) ， ， ， 的平均數(shù)為 ，則數(shù)據(jù) ， ， ， ， 的平均數(shù)為
B. 若隨機變量 ，且 ，則
C. 若隨機變量 ，則
D. 若隨機變量 ，設 ，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式判斷 A，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質判斷 B，根據(jù)二項分布均值和方差的計算
公式和方差的性質判斷 CD.
【詳解】若樣本數(shù)據(jù) ， ， ， 的平均數(shù)為 ，則 ，
所以數(shù)據(jù) ， ， ， ， 的平均數(shù)為 ，A 正確；
若隨機變量 ，則正態(tài)分布曲線關于直線 對稱，
因為 ，所以 ，B 正確；
若隨機變量 ，則 ，C 錯誤；
若隨機變量 ， ，
又 ，則 ，D 錯誤．
故選：AB
10. 已知點 為 所在平面內一點，則（ ）
A 若 ，則
B. 若 ，且 ，則 為等邊三角形
C. 若 ， ，則
D. 若 ，且 ，則 的面積是 面積的
第 6頁/共 21頁
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于 A，利用向量的線性質運算，可得 ，即可求解；對于 B，利用數(shù)量積的定義及數(shù)
量積的運算，可得 ，從而得到 ，再利用可得 ，即可求解；對于 C，根據(jù)條件可得
， ，進而有 M 為 的垂心，即可求解；對于 D，根據(jù)條件，可得
，令 ，從而可得 Q 點在直線 BC 上，再利用比值，即可求解.
【詳解】對于選項 A，因為 ，所以 ，
所以 ，故選項 A 錯誤，
對于選項 B，因為
，
所以 ，又 ， 在區(qū)間 上單調遞減，則 ，
又 ，則 ，所以 為等邊三角形，故選項 B 正確，
對于選項 C，若 ， ，則 ， ，
故點 M 為 的垂心，所以 ，則 ，故選項 C 正確，
對選項 D，由于 ，而 ，所以 ，其中 ，
不妨設 ，則 Q 點在直線 BC 上，
由于 與 同底，而高線之比等于 MQ 與 AQ 的比，即比值為 ，
所以 的面積是 面積的 ，故選項 D 正確，
第 7頁/共 21頁
故選：BCD.
11. 已知函數(shù) ，則（ ）
A.
B. 在區(qū)間 上單調遞增
C. 若 在區(qū)間 上恰有一個極值點，則 的取值范圍是
D. 若 在區(qū)間 內沒有零點，則 取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于 A，由二倍角公式及輔助角公式可判斷，對于 B，由 ，確定 的范圍即可判
斷，對于 C，通過 ，確定 的范圍，再結合恰有一個極值點得到 即可判
斷，對于 D，先確定 的范圍，再由 和
兩類討論即可.
【詳解】解： ，A 正確；
因為 ，所以 ，
所以 在區(qū)間 上單調遞增，B 正確；
因為 ，所以 ，
因為 在區(qū)間 上恰有一個極值點，
所以 ，
第 8頁/共 21頁
所以 ，C 錯誤；
，
函數(shù) 在區(qū)間 內沒有零點，
，
則 ，
則 ，取 ，
；
，
則 ，
解得： ，取 ，
；
綜上可知： 的取值范圍是 ，D 正確．
故選:ABD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 的展開式中 的系數(shù)為__________．
第 9頁/共 21頁
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用二項展開式的通項公式，即可求解.
【詳解】因為 的展開式的通項為 ，
令 ，得 的系數(shù)為 ，
故答案為：
13. 設點 ， 分別是雙曲線 的左、右焦點，過點 的直線 l 與雙曲線 C 的左、右兩支分
別交于 A、B 兩點，設 與 的內切圓半徑分別為 、 ，則 的值為__________．
【答案】3
【解析】
【 分 析 】 設 圓 與 三 邊 分 別 切 于 點 ， 根 據(jù) 圓 的 切 線 性 質 、 雙 曲 線 的 定 義 得
，進而確定 、 ，且 ，利用相似比求 .
【詳解】由 ，得 ，則 ，
設圓 與 三邊分別切于點 ，如圖：
由圓的切線的性質可得 ，
由雙曲線的定義可知 ，即 ，
設 ，則 ，得 ，所以 ，則 ，
第 10頁/共 21頁
同理，設圓 與 切于點 P，則 ，故 ，
因為圓心 、 都在 的角平分線上，
所以點 、 、 三點共線，則 ，可得
故答案為：
14. 已知函數(shù) ，若關于 的方程 恰有兩個不同的實數(shù)根，則
實數(shù) 的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出 圖象，令 ，得 ，再對 分類討論，數(shù)形結合，利用二次函數(shù)根
的分布問題及復合函數(shù)根的問題，即可求解.
【詳解】作出 圖象，如圖所示，
令 ，則原方程即為 ，
記方程 的兩根為 ， ，可知 ， ，
①當 時， ，
當 時， ，此時方程 恰有兩個不同的實數(shù)根，滿足題意；
當 時， ，此時方程 僅有一個實數(shù)根，不滿足題意；
②當 時， 或 ，此時 ，不妨設 ，
當 時， ，
第 11頁/共 21頁
則方程 有三個不同的實數(shù)根，方程 有一個實數(shù)根，不滿足題意；
當 時， ，
此時方程 和 各有一個實數(shù)根，且兩根不相等，滿足題意；
綜上可知，實數(shù) k 的取值范圍為 ，
故答案為： .
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于作出 的圖象，令 ，得 ，先討論
的根，再結合圖象，數(shù)形結合，即可求解.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 在 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c， ， ，D 為 BC 邊上的點．
（1）若 ，求角 A 的平分線 AD 的長；
（2）求 BC 邊上中線 AD 長的最小值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）應用余弦定理可得 ，再由 及已知列方程求 ；
（2）根據(jù)線段的關系及向量加減、數(shù)乘的幾何意義有 ，整理并應用基本不等式求
最小值.
【小問 1 詳解】
因為 ， ， ，
所以 ，所以 ，
由 ，且 是角 A 的平分線，
第 12頁/共 21頁
所以 ，所以 .
【小問 2 詳解】
因為 D 是 BC 的中點，所以 ，
兩式平方，并代換得
，當且僅當 時取等號，
所以 AD 長的最小值為 .
16. 如圖，AC 是 的直徑，PA 垂直于 所在的平面，B，D 是圓周上不同于 A，C 的兩點．
（1）求證：平面 平面
（2）若 ， ，直線 CD 與平面 PBC 所成的角的正弦值為 ，求
【答案】（1）證明見解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用題目給的幾何關系先證明 平面 在證明平面 平面
（2）先結合第一小問建立空間直角坐標系，然后利用待定系數(shù)法結合直線 CD 與平面 PBC 所成的角的正弦
值為 建立關于線段 長度的方程，然后再利用
，得到關于線段 長度的另外一個方程，進行求解即可.
【小問 1 詳解】
證明： 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，
第 13頁/共 21頁
又 是直徑 AC 所對的圓周角， ，
， 平面 PAD， 平面
平面 PCD， 平面 平面
【小問 2 詳解】
如圖，建立空間直角坐標系 ，
由 ， ， ，得 ，
則 ，
設 ，
得 ， ，
設平面 PBC 的一個法向量為 ，
則 ，取 ，
得 ，
因為直線 CD 與平面 PBC 所成 角的正弦值為 ，
所以 ，
得 ，
得 ，
第 14頁/共 21頁
由 ，
得 ，
當 時，代入 式得，
，
即 ，
得 ，此時 ，
則 ，故 ，
當 時，代入 式得，
，
即 ，得 或 ，
當 時，此時 ，
當 時，得 ，則，
故 ，
經檢驗，當 時，C，D 重合，不符題意
綜上知，AD 的長為
17. 已知函數(shù) ，其中
（1）當 時，求曲線 的對稱中心；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上單調遞減，求實數(shù) a 的取值范圍．
【答案】（1）
第 15頁/共 21頁
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)的定義域，就可以初步判斷對稱中心的橫坐標，再利用對稱性恒等式進行求解，就
可得對稱中心的縱坐標，從而可得對稱中心；
（2）由函數(shù)的單調遞減轉化為導函數(shù)值恒小于或等于 0，再利用二次不等式在區(qū)間內恒成立，轉化為端點
值成立即可求解.
【小問 1 詳解】
當 時， ，定義域為 ，
其定義域關于 對稱，
則
，
所以函數(shù) 的對稱中心是 .
【小問 2 詳解】
由 ，
因為 ，所以 ，所以 的定義域為 ，
則 ，
由題可得 在區(qū)間 上恒成立，
則 在區(qū)間 上恒成立，
第 16頁/共 21頁
則 ，
解得 ，
故實數(shù) a 的取值范圍為：
18. 已知橢圓 的離心率為 ，左、右焦點分別為 ， .橢圓 的
上、下頂點分別記為 ，右頂點為 .
（1）求 的方程；
（2）過上頂點 作直線 與 的延長線交于 ，與橢圓 交于 ，點 關于 軸的對稱點為 .延長 交
的延長線于 ，過 作 x 軸的平行線交 的延長線于點 Q，連接 、 .
①記直線 與直線 的斜率分別為 ， ，求 的值；
②證明： .
【答案】（1）
（2）① ；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出 ，即可求解；
（2）（i）設直線方程，聯(lián)立相應直線與橢圓 方程，直接求出 的坐標，即可求解；（ii）根據(jù)條件，
利用（i）中結果，可得到四邊形 為平行四邊形，即可求解.
【小問 1 詳解】
由已知， 并且 ，所以 ，于是 ，
所以橢圓 的方程為： .
【小問 2 詳解】
第 17頁/共 21頁
如圖所示，由已知直線 的斜率存在并且其斜率 k 滿足條件 ，
設其方程為 ，
由 ，解得 或 舍去 ，
所以點 的坐標為 ，從而點 的坐標為 ，
于是直線 的斜率 ， 的方程為
又直線 的方程為： ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
因為直線 的方程為： ， 的方程為 ，
由 ，得 ，
（i）因為直線 的斜率 ，直線 的斜率 ，
所以 ；
（ii）由（i）知 ， ，所以 ， ，所以四邊形 為平行四邊形，因
此
第 18頁/共 21頁
19. 記集合 ， ， ，對于 ，
， ，定義 .
（1） ，且 ，記隨機變量 ，求
（2）若集合 ，對于 ，且 ，都有 ，請寫出一個集合 ，使得集合 中的
元素個數(shù)最多，并說明理由；
（3）若集合 ，對于 ，且 ，都有 ，求證：集合 中至多有 個元素．
【答案】（1）
（2） ， 中一共有 個元素，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合的定義列舉出 中的元素，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；
（2）利用反證法，假設 中除了 外還有 個元素，利用集合元素的互異性可知這些元素中
至少含有 個“1”，則一定存在兩個元素之中的某一個分量同時為 1，與題設矛盾即可證明；
（3）對于 ，令 ，則由 可知若 ，則
，即可證明結論.
【小問 1 詳解】
由題意可 ，
中的元素有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 個，
從 8 個元素中任選兩個元素有 種，
其中向量 和剩下 7 個向量的數(shù)量積均為 0，有 7 種情況；
， ， 這 3 個向量中任選兩個，它們的數(shù)量積均為 0，有 3 種情況；
， ， 這 3 個向量分別和 ， ， 的數(shù)量積為 0，有 3 種情況，
則滿足 的情況共有 種，
第 19頁/共 21頁
所以 .
【小問 2 詳解】
， 中一共有 個元素，此時 中元素個數(shù)是
最多的.
理由如下：
假設 中除了 外還有 個元素，
則根據(jù)集合中元素的互異性這些元素中至少含有 個“1”，
所以一定存在兩個元素 ， ， ，
這兩個向量之中的某一個分量同時為 1，
即存在 ，使得 ，此時 ，與題設矛盾，
故集合 中至多有 個元素．
【小問 3 詳解】
對于 ，令 ，
定義 與 是一組“互補向量”，
若 ，則 ，且 ，
所以對于集合 ，若 ，則 ，
因為若 且 ，則 ，
與已知對于 ，且 ，都有 ，矛盾，
而 中元素個數(shù)為 個， 與 成對出現(xiàn)，
所以集合 中的元素個數(shù)至多為 個，即 .
下面給出一種 的取法：
在每一組“互補向量”中，我們始終取“1”的個數(shù)較多的那個向量作為集合 中的元素，這樣就能保證對
于 ，且 ，都有 ，
第 20頁/共 21頁
證明如下：
①若 ， ，則每一組“互補向量”里被選出來的向量都至少含有 個“1”，
可知 中任意兩個向量里都至少有一個相同位置含有“1”，符合題意．
②若 ， ，按照前面的選法，選出的“1”的個數(shù)大于 的向量與其他組被選出的向量的數(shù)量積
都大于 0，所以我們只需要考慮那些恰好含有 個“1”的“互補向量”組．
事實上，每一個恰好含有 個“1”的向量只與自身的“互補向量”的數(shù)量積為 0，而與其他的含有 個“1
”的向量的數(shù)量積均大于
所以對于由兩個恰好含有 個“1”的向量構成的“互補向量”組，我們就從這兩個向量中任選一個作為集
合 中的元素，這樣的選法仍是選出了 個向量作為 中的元素．
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查集合的新定義、集合的表示、元素與集合的關系，對于新定義問題要
充分理解定義，并把定義進行轉化為已知的知識點或結論，方便解題.
第 21頁/共 21頁

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