湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三第一次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22題。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。★?？荚図樌?/span>★注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，用簽字筆或鋼筆將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（    ）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A. B. C. D.3.從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是（    ）A. B. C. D.4.設(shè)命題p：若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則點(diǎn)必在一次函數(shù)圖象上；命題q：若正項(xiàng)數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則點(diǎn)必在指數(shù)函數(shù)圖象上.下列說法正確的是（    ）A.p、q均為真命題 B.p、q均為假命題 C.p真q假 D.p假q真5.某人從A地到B地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.3，0.3，0.4，乘火車遲到的概率為0.2，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.4，則這個(gè)人從A地到B地遲到的概率是（    ）A.0.16 B.0.31 C.0.4 D.0.326.已知把物體放在空氣中冷卻時(shí)，若物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式（其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說法正確的是（    ）A.  B.C.牛奶的溫度降至還需 D.牛奶的溫度降至還需7.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為（    ）A. B. C. D.8.記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（    ）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（）均為正數(shù)，且.，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，…，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的（    ）可能相等.A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差10.已知O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（    ）A.若直線l過焦點(diǎn)F，則N，O，P三點(diǎn)不共線B.若直線l過焦點(diǎn)F，則C.若直線l過焦點(diǎn)F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上D.若，則直線l恒過點(diǎn)11.已知正四面體的棱長為2，下列說法正確的是（    ）A.正四面體的外接球表面積為B.正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值C.正四面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為D.正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的體積最大值為12.若是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且對任意，，都有，則下列說法正確的是（    ）A.一定為正數(shù)  B.2是的一個(gè)周期C.若，則 D.若在上單調(diào)遞增，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)是______.14.已知的兩條直角邊分別為3，4，以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積是______.15.小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（，），設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層（，）比第層的“環(huán)境滿意度”多出；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（，）比第層的“高層恐懼度”高出倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為，，記小王對第k層“購買滿意度”為，且，則小王最想買第______層住宅.（參考公式及數(shù)據(jù)：，，，）16.已知，，過x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）若，使得.成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.（12分）西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場之前，會對其進(jìn)行檢測，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測定為一等品.（Ⅰ）現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；（Ⅱ）以這10箱的檢測結(jié)果來估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.19.（12分）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均為矩形，，，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.20.（12分）已知數(shù)列滿足，（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；（Ⅱ）若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.21.（12分）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)M.（Ⅰ）若點(diǎn)在直線l上，求直線l的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M且與直線l垂直的直線分別交x軸于，y軸于兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G，H，使得M在雙曲線上運(yùn)動時(shí)，動點(diǎn)使得為定值.22.（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：；（Ⅲ）若，求證：.
湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三第一次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分細(xì)則題號123456789101112答案ABACBDCDBCBCDABDBCD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A【解析】由，，得.故選A.2.B【解析】，故選B.3.A【解析】從5條線段中任取3條，可能的情況有：，，，，，，，，，共有10種可能，其中，能構(gòu)成三角形的只有，，共3種可能，所以，能構(gòu)成三角形的概率為.選A.4.C【解析】若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則，故點(diǎn)必在一次函數(shù)圖像上，故p真；若，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，不恒在指數(shù)函數(shù)圖像上，故q假.故C正確.5.B【解析】設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，則，，，，，，，由全概率公式得：.選B.6.D【解析】由條件及公式，得，故，AB錯(cuò)誤；又由，，得，故牛奶的溫度從降至需，從降至還需.故選D.7.C【解析】連接，設(shè)，則，，在中，，，在中，，，又，，故選C.8.D【解析】設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，故，即；設(shè)，，則，在.單調(diào)遞減，故，即；綜上得，，故D正確.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.BC【解析】極差分別為和，，，故A錯(cuò)誤；由知，當(dāng)時(shí)，平均數(shù)相等，故B正確；當(dāng)時(shí)，中位數(shù)分別為與，同理可知當(dāng)時(shí)，中位數(shù)相等，當(dāng)時(shí)，中位數(shù)分別為與，同理可知當(dāng)時(shí)，中位數(shù)相等，故C正確；由.，知，，標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯(cuò)誤.綜上，選BC.10.BCD【解析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，得設(shè)，，則選項(xiàng)A若直線l過焦點(diǎn)F，則，，又，，三點(diǎn)共線，A錯(cuò)選項(xiàng)B由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：，又，，所以B對；選項(xiàng)C拋物線C在點(diǎn)M處的切線為拋物線C在點(diǎn)N處的切線為，聯(lián)立得解得：拋物線在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)在定直線上，所以C對選項(xiàng)D因?yàn)?/span>，，將韋達(dá)定理代入得：所以直線l恒過點(diǎn)，所以D對11.ABD【解析】A.棱長為2的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)為R，則：，所以，所以A對B.設(shè)四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為，，，，設(shè)四面體的高為d，由等體積法可得：，所以為定值.所以B對C.設(shè)中點(diǎn)為D，連接，，則為求，，所以正弦值為，所以C錯(cuò)D.要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，所以正四面體的外接球半徑為，設(shè)正四面體為a，則，所以，故體積，所以D對因此：正確答案為ABD12.BCD【解析】因?yàn)?/span>符合條件，故A.錯(cuò)誤；因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故B正確；因?yàn)閷θ我?/span>，，都有，所以對任意，取得；若，即，故，由2是的周期得，故C正確；假設(shè)，由及，，得，，故.這與在.上單調(diào)遞增矛盾，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.-40【解析】，所以的系數(shù)為14.【解析】由勾股定理知斜邊為5，斜邊上的高為，該幾何體為兩個(gè)同底面的圓錐，底面半徑為，兩個(gè)圓錐的高之和為5，所以該幾何體體積為15.10【解析】依題意，，且，；，所以.【注】利用，（）求解更易.，故小王對第k層住宅的購買滿意度.【方法一】由.即解得，所以同理有，小王最想購買第10層住宅.【方法二】設(shè)，，則故時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減.由于，故最大，小王最想購買第10層住宅.16.【解析】設(shè)則，取，則此時(shí)，直線：令，則，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)知，.故，即，化簡得，恒成立.故，實(shí)數(shù)m的值為1.（Ⅱ）若，使得，則，即，能成立.于是，，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【方法二】若，使得，則，即，能成立.于是，，，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18.【解析】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，則；因此，從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為，（2）由題意可知，從這10箱中隨機(jī)抽取1箱恰好是一等品的概率，由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123P.19.（Ⅰ）證明：四邊形和四邊形均為矩形，，又平面平面，，.（Ⅱ）設(shè)，，，，過C點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)M，由（1）可知平面，平面，平面，設(shè)與平面所成的角為，又，平面，到平面的距離等于3在平行四邊形中，，，與平面所成角的正弦值，20.【解析】（Ⅰ）數(shù)列成等比數(shù)列.根據(jù)得；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，故由，得.顯然，，單調(diào)遞增，且，故，，.，，當(dāng)時(shí)，綜上，知.21.【解析】（1）聯(lián)立，則又點(diǎn)在直線上，所以：，時(shí)，，則：所以：，即，則當(dāng)時(shí)，；所以：直線l的方程：（Ⅱ）聯(lián)立，則，因?yàn)?/span>，M是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，所以，化簡得，解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即為于是，過點(diǎn)M且與l垂直的直線為，可得，，，即，，于是即P的軌跡方程為：所以存在定點(diǎn)，，使得當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，為定值1322.【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域是.由，得在上單調(diào)遞減；由，得在上單調(diào)遞增，綜上知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得在的值域?yàn)?/span>，在上的值域?yàn)?/span>.注意到，.不妨設(shè)則欲證，即證.由于由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞增，故只需證，由已知，即證，也即【方法一】令，.，由，在單調(diào)遞增，得單調(diào)遞增且.由于，故滿足.由單調(diào)遞增知：當(dāng)時(shí)，.單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>；設(shè)，，則，單調(diào)遞減，故，即，取，得，即綜上，得，即，得證.【方法二】（重新同構(gòu)）令，即，證：，由于，從而.故要證成立，只需在單調(diào)遞增成立即可.，令，，則，在單調(diào)遞減，，，故在單調(diào)遞增成立，原命題成立.【方法三】（比值代換）由對稱性，不妨設(shè)，，則由于，欲證，即證：，即證：【方法四】（切、割線放縮）1、由于故，即；2、由方法二知，，故，即，故，；由1、2知，故成立，原命題成立.（Ⅲ）由（Ⅱ）知.（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故.（2）當(dāng)時(shí)，由，取，得（）時(shí)，

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