微專題4　帶電粒子在復(fù)合場 中的運(yùn)動
1.命題角度：(1)帶電粒子在組合場中的運(yùn)動；(2)帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動.2.常用方法：分段分析法，建立運(yùn)動模型.3.?？碱}型：計(jì)算題.
考點(diǎn)一　帶電粒子在組合場中的運(yùn)動
考點(diǎn)二　帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動
帶電粒子在組合場中的運(yùn)動
1.帶電粒子的“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”的比較
2.常見運(yùn)動及處理方法
3.“5步”突破帶電粒子在組合場中的運(yùn)動問題
例1　(2021·全國甲卷·25)如圖，長度均為l的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場.一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子自電場中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點(diǎn)處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運(yùn)動過程中粒子未與擋板碰撞.已知粒子射入磁場時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°，不計(jì)重力.(1)求粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離；
由題可知，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與PQ的夾角為60°，設(shè)粒子在P點(diǎn)時(shí)豎直方向上的速度為vy，由幾何關(guān)系得tan 60°＝ ①
由運(yùn)動學(xué)公式可得vy＝at ②根據(jù)牛頓第二定律有qE＝ma ③
則粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離為
(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍；
粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，
磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí)，粒子由N點(diǎn)射出，粒子軌跡如圖乙所示，設(shè)此時(shí)的軌跡圓圓心為O2，半徑為r2.過O2作PQ的垂線與PQ的延長線交于點(diǎn)A，
在△O2PB中，由勾股定理有
(3)若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離.
由題意可知，粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場，畫出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖丙所示，設(shè)此時(shí)軌跡圓圓心為O3，半徑為r3，
設(shè)F為軌跡與擋板MN最近處的點(diǎn)，O3F⊥PQ，且與PQ相交于點(diǎn)E.
帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動
1.三種典型情況(1)若只有兩個(gè)場，所受合力為零，則表現(xiàn)為勻速直線運(yùn)動或靜止?fàn)顟B(tài).例如電場與磁場疊加滿足qE＝qvB時(shí)，重力場與磁場疊加滿足mg＝qvB時(shí)，重力場與電場疊加滿足mg＝qE時(shí).(2)若三場共存，所受合力為零時(shí)，粒子做勻速直線運(yùn)動，其中洛倫茲力F＝qvB的方向與速度v垂直.(3)若三場共存，粒子做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，則有mg＝qE，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，即qvB＝2.當(dāng)帶電粒子做復(fù)雜的曲線運(yùn)動或有約束的變速直線運(yùn)動時(shí)，一般用動能定理或能量守恒定律求解.
例2　(2022·廣東高州市二模)如圖所示，在區(qū)域Ⅰ有與水平方向成45°角的勻強(qiáng)電場，電場方向斜向左下方.在區(qū)域Ⅱ有豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E2＝ ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子從區(qū)域Ⅰ的左邊界P點(diǎn)由靜止釋放，粒子沿虛線水平向右運(yùn)動，進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，區(qū)域Ⅱ的寬度為d.粒子從區(qū)域Ⅱ右邊界的Q點(diǎn)離開，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°.重力加速度大小為g.求：(1)區(qū)域Ⅰ的電場強(qiáng)度大小E1；
粒子在區(qū)域Ⅰ受重力和靜電力，做勻加速直線運(yùn)動，θ＝45°，如圖所示
(2)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時(shí)的速度大??；
設(shè)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的速度為v，粒子受豎直向下的重力和豎直向上的靜電力，且qE2＝mg
速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，則對應(yīng)圓心角為60°，
(3)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時(shí)間.
粒子在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運(yùn)動的周期為
則粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時(shí)間為
(2022·山西省一模)如圖所示，以兩豎直虛線M、N為邊界，中間區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E，兩邊界M、N間距為d.N邊界右側(cè)區(qū)域Ⅱ中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場.M邊界左側(cè)區(qū)域Ⅲ內(nèi)，存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場.邊界線M上的O點(diǎn)處有一離子源，水平向右發(fā)射同種正離子.已知初速度為v0的離子第一次回到邊界M時(shí)恰好到達(dá)O點(diǎn)，電場及兩磁場區(qū)域足夠大，不考慮離子的重力和離子間的相互作用.(1)求離子的比荷；
由題可知，離子在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中的運(yùn)動軌跡如圖所示，離子在區(qū)域Ⅰ由O運(yùn)動到A過程中，水平方向以速度v0做勻速直線運(yùn)動，有d＝v0t
設(shè)離子運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)的速度方向與邊界N的夾角為θ，則離子運(yùn)動到A點(diǎn)速度為v＝
離子在區(qū)域Ⅱ中做勻速圓周運(yùn)動
從C點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)過程，豎直方向有
(2)初速度為 的離子第二次回到邊界M時(shí)也能恰好到達(dá)O點(diǎn)，求區(qū)域Ⅲ內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小.
設(shè)離子運(yùn)動到A′點(diǎn)時(shí)的速度方向與邊界N的夾角為θ′，
從進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ到射出區(qū)域Ⅱ，
再次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ中，豎直分位移為
所以y1′＋y2′＝4(y1＋y2)＝4AC
在區(qū)域Ⅲ中的弦長OF＝2r″sin θ″
1.(2022·山東省名校聯(lián)盟高三期末)如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，在第四象限內(nèi)存在垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(粒子所受重力不計(jì))從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場，其入射方向與x軸的夾角θ＝30°，第一次進(jìn)入電場后，粒子到達(dá)坐標(biāo)為(2 L＋L，L)的P點(diǎn)處時(shí)的速度大小為v、方向沿x軸正方向.求：(1)粒子從O點(diǎn)射入磁場時(shí)的速度大小v0；
由題意知，粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，由于洛倫茲力不做功，粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大小也為v0，根據(jù)對稱性，粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角也為θ，粒子進(jìn)入
第一象限后，沿x軸方向做勻速直線運(yùn)動，沿y軸方向做勻減速直線運(yùn)動，根據(jù)幾何關(guān)系有 ＝cs θ
(2)電場的電場強(qiáng)度大小E以及磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
對粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的過程，根據(jù)動能定理有
設(shè)粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的時(shí)間為t1，有
粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的過程中沿x軸方向的位移大小為xQP＝vt1
設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R，
根據(jù)幾何關(guān)系有OQ＝2Rsin θ解得R＝L
(3)粒子從O點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的時(shí)間t.
根據(jù)幾何關(guān)系，在粒子從O點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的過程中，運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為90°－θ，
2.(2022·河北唐山市高三期末)如圖，頂角為30°的“V”字形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場.OM上方存在電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場，方向豎直向上.在OM上距離O點(diǎn)3L處有一點(diǎn)A，在電場中距離A為d的位置由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子，經(jīng)電場加速后該粒子以一定速度從A點(diǎn)射入磁場后，第一次恰好不從ON邊界射出.不計(jì)粒子的重力.求：(1)粒子運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)的速率v0；
帶電粒子由靜止開始到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，
(2)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
根據(jù)題意作出粒子在磁場中完整的運(yùn)動軌跡圖如圖所示粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡的圓心為O1，軌跡與ON邊界相切于D點(diǎn)，設(shè)軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系可得sin 30°＝
設(shè)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，
(3)粒子從釋放到第2次離開磁場的總時(shí)間.
帶電粒子從靜止加速到A點(diǎn)所用時(shí)間為
帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期
帶電粒子再次進(jìn)入電場再返回磁場所用時(shí)間t3＝2t1
再次返回磁場由幾何關(guān)系可知，以O(shè)點(diǎn)為圓心繼續(xù)做圓周運(yùn)動至ON邊界離開，
3.(2022·河北張家口市一模)如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限存在垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，第二象限存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在x軸上的A(－d,0)點(diǎn)沿y軸正方向射入電場區(qū)域，粒子第一次經(jīng)過y軸時(shí)的速度方向與y軸正方向的夾角為60°，之后每相鄰兩次經(jīng)過y軸時(shí)的位置間距相等.不計(jì)粒子重力.求：(1)粒子的初速度的大小v0；
從A點(diǎn)第一次運(yùn)動到y(tǒng)軸的過程，x軸方向有vx2＝2ad
(2)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
粒子在磁場中運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力有
由幾何關(guān)系可知，粒子每次進(jìn)入磁場到離開磁場的過程中沿y軸方向運(yùn)動的距離L＝2rsin 60°
t0時(shí)間內(nèi)，粒子沿y軸方向運(yùn)動的距離為y＝v0t0由題意可知y＝L
(3)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到第n次經(jīng)過y軸的時(shí)間.
粒子第一次經(jīng)過y軸到第二次經(jīng)過y軸，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期
粒子第二次經(jīng)過y軸到第三次經(jīng)過y軸，在電場中運(yùn)動的時(shí)間
即粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到第三次經(jīng)過y軸時(shí)的時(shí)間為t3＋t2＋t1＝3t1＋t2所以粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到第n次經(jīng)過y軸時(shí)的時(shí)間
4.(2022·安徽省江南十校一模)如圖所示，豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，y軸正向豎直向上，x軸正向水平向右，x軸在水平平面M內(nèi)，在x軸上方存在方向豎直向下、電場強(qiáng)度大小為E1的勻強(qiáng)電場.兩平行水平面
M和N之間的距離為d，其間的區(qū)域存在方向豎直向上、電場強(qiáng)度大小為E2的勻強(qiáng)電場(E2＝ E1)和方向水平向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場.帶電荷量分別為q和－q(q>0)的小球1和2先后從y軸上距O點(diǎn)為h的P點(diǎn)以相同的初速率v0沿x軸正向水平射出，小球1從x軸上距O點(diǎn)為2h的A點(diǎn)進(jìn)入MN間，恰好未從平面N離開.小球2從x軸上C點(diǎn)進(jìn)入兩平面間，最后從平面N上某點(diǎn)離開.設(shè)兩小球質(zhì)量分別為m1和m2，且qE1＝2m1g，題中h、d和重力加速度g已知，其他量均未知.
(1)求兩小球的初速率v0；
小球1在x軸上方做類平拋運(yùn)動，有x1＝2h＝v0t1
qE1＋m1g＝m1a1且qE1＝2m1g
(2)求電場強(qiáng)度E2和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小之比；
所以小球1在MN間做勻速圓周運(yùn)動.由題意可知，小球1恰好未從下邊界平面N離開，其軌跡應(yīng)與平面N相切，如圖所示，
設(shè)小球1剛進(jìn)入MN時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角為θ1，由幾何關(guān)系可知Rcs θ1＋R＝d
(3)若C點(diǎn)坐標(biāo)為(4h,0)，求m1和m2之比以及球2離開平面N時(shí)速度大小.
小球2在x軸上方做類平拋運(yùn)動，有x2＝4h＝v0t2
m2g－qE1＝m2a2
小球2從P點(diǎn)到離開平面N全過程由動能定理得m2g(h＋d)－qE1h＋qE2d

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