第5講　功與功率　功能關(guān)系
1.命題角度：(1)功、功率的分析與計(jì)算；(2)功能關(guān)系.2.常用方法：微元法、圖像法、轉(zhuǎn)換法.3.常考題型：選擇題.
考點(diǎn)一　功、功率的分析與計(jì)算
考點(diǎn)二　功能關(guān)系及應(yīng)用
1.功的計(jì)算(1)恒力做功一般用功的公式或動(dòng)能定理求解.(2)變力做功通常應(yīng)用動(dòng)能定理、微元法、等效轉(zhuǎn)化法、平均力法、圖像法求解，或者利用恒定功率求功W＝Pt.2.功率的計(jì)算(1)明確是求瞬時(shí)功率還是平均功率.P＝ 側(cè)重于平均功率的計(jì)算，P＝Fvcs α(α為F和速度v的夾角)側(cè)重于瞬時(shí)功率的計(jì)算.
(2)機(jī)車(chē)啟動(dòng)(F阻不變)①兩個(gè)基本關(guān)系式：P＝Fv，F(xiàn)－F阻＝ma.②兩種常見(jiàn)情況a.恒定功率啟動(dòng)：P不變，此時(shí)做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到達(dá)到最大速度vm，此過(guò)程Pt－F阻s＝b.恒定加速度啟動(dòng)：開(kāi)始階段a不變，達(dá)到額定功率后，然后保持功率不變，加速度逐漸減小到零，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng).無(wú)論哪種啟動(dòng)方式，最大速度都等于勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即vm＝ .
例1　(多選)(2022·廣東卷·9)如圖所示，載有防疫物資的無(wú)人駕駛小車(chē)，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛.已知小車(chē)總質(zhì)量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力.下列說(shuō)法正確的有A.從M到N，小車(chē)牽引力大小為40 NB.從M到N，小車(chē)克服摩擦力做功800 JC.從P到Q，小車(chē)重力勢(shì)能增加1×104 JD.從P到Q，小車(chē)克服摩擦力做功700 J
小車(chē)從M到N，依題意有P1＝Fv1，代入數(shù)據(jù)解得F＝40 N，故A正確；小車(chē)從M到N，因勻速行駛，小車(chē)所受的摩擦
力大小為f1＝F＝40 N，則摩擦力做功為W1＝－40×20 J＝－800 J，則小車(chē)克服摩擦力做功為800 J，故B正確；依題意，從P到Q，重力勢(shì)能增加量為ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C錯(cuò)誤；設(shè)小車(chē)從P到Q，摩擦力大小為f2，有f2＋mgsin 30°＝ ，摩擦力做功為W2＝－f2·PQ，聯(lián)立解得W2＝－700 J，則小車(chē)克服摩擦力做功為700 J，故D正確.
例2　(2021·山東卷·3)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，一端可繞豎直光滑軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端與質(zhì)量為m的小木塊相連.木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木塊所受摩擦力的大小為
例3　(多選)(2018·全國(guó)卷Ⅲ·19)地下礦井中的礦石裝在礦車(chē)中，用電機(jī)通過(guò)豎井運(yùn)送到地面.某豎井中礦車(chē)提升的速度大小v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過(guò)程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質(zhì)量相等.不考慮摩擦阻力和空氣阻力.對(duì)于第①次和第②次提升過(guò)程，A.礦車(chē)上升所用的時(shí)間之比為4∶5B.電機(jī)的最大牽引力之比為2∶1C.電機(jī)輸出的最大功率之比為2∶1D.電機(jī)所做的功之比為4∶5
由于加速階段加速度相同，故加速時(shí)牽引力相同，即電動(dòng)機(jī)的最大牽引力相同，B項(xiàng)錯(cuò)誤；在加速上升階段，由牛頓第二定律知，F(xiàn)－mg＝ma，則F＝m(g＋a)，第①次在t0時(shí)刻，功率P1＝F·v0，
可知，電機(jī)輸出的最大功率之比P1∶P2＝2∶1，C項(xiàng)正確；
由動(dòng)能定理知，兩個(gè)過(guò)程動(dòng)能變化量相同，克服重力做功相同，故兩次電機(jī)做功也相同，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
例4　(2022·山東煙臺(tái)市高三期末)一輛汽車(chē)在平直公路上由靜止開(kāi)始啟動(dòng)，汽車(chē)先保持牽引力F0不變，當(dāng)速度為v1時(shí)達(dá)到額定功率Pe，此后以額定功率繼續(xù)行駛，最后以速度vm勻速行駛.若汽車(chē)所受的阻力Ff為恒力，汽車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度為v、牽引力為F、牽引力的功率為P，則下列圖像中可能正確的是
因?yàn)槠?chē)先保持牽引力F0不變，由牛頓第二定律可得F0－Ff＝ma，又因?yàn)槠?chē)所受的阻力Ff為恒力，所以開(kāi)始階段汽車(chē)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以v－t圖像開(kāi)始應(yīng)有一段傾斜的直線，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)楫?dāng)速度為v1之前，保持牽引力F0不變，則功率滿足P＝F0v，即P與v成正比，所以在P－v圖像中0～v1段圖像應(yīng)為過(guò)原點(diǎn)的直線，故D錯(cuò)誤.
2.功能關(guān)系的理解和應(yīng)用功能關(guān)系反映了做功和能量轉(zhuǎn)化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，功是能量轉(zhuǎn)化的量度.(1)根據(jù)功能之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，判定能的轉(zhuǎn)化情況.(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化，可計(jì)算變力做的功.
例5　(2021·湖北卷·4)如圖(a)所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30°的固定斜面上滑，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力大小f恒定，物塊動(dòng)能Ek與運(yùn)動(dòng)路程s的關(guān)系如圖(b)所示.重力加速度大小取10 m/s2，物塊質(zhì)量m和所受摩擦力大小f分別為A.m＝0.7 kg，f＝0.5 NB.m＝0.7 kg，f＝1.0 NC.m＝0.8 kg，f＝0.5 ND.m＝0.8 kg，f＝1.0 N
0～10 m內(nèi)物塊上滑，由動(dòng)能定理得－mgsin 30°·s－fs＝Ek－Ek0，整理得Ek＝Ek0－(mgsin 30°＋f)s，結(jié)合0～10 m內(nèi)的圖像得，斜率的絕對(duì)值
|k|＝mgsin 30°＋f＝4 N,10～20 m內(nèi)物塊下滑，由動(dòng)能定理得(mgsin 30°－f)(s－s1)＝Ek，整理得Ek＝(mgsin 30°－f)s－(mgsin 30°－f)s1，結(jié)合10～20 m內(nèi)的圖像得，斜率k′＝mgsin 30°－f＝3 N，聯(lián)立解得f＝0.5 N，m＝0.7 kg，故選A.
例6　(多選)如圖所示，一傾角為θ＝53°(圖中未標(biāo)出)的斜面固定在水平面上，在其所在的空間存在方向豎直向上、電場(chǎng)強(qiáng)度大小E＝2×106 V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)和方向垂直于豎直面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝4×105 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng).現(xiàn)讓一質(zhì)量m＝4 kg、電荷量q＝＋1.0×10－5 C的帶電物塊從斜面上某點(diǎn)(足夠高)由靜止釋放，當(dāng)沿斜面下滑位移大小為3 m時(shí)，物塊開(kāi)始離開(kāi)斜面.g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.下列說(shuō)法正確的是
A.物塊離開(kāi)斜面時(shí)的動(dòng)能為18 JB.物塊從釋放至剛要離開(kāi)斜面的過(guò)程中，重力勢(shì)能減少120 JC.物塊從釋放至剛要離開(kāi)斜面的過(guò)程中，電勢(shì)能增加了60 JD.物塊從釋放至剛要離開(kāi)斜面的過(guò)程中，由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為30 J
對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，物塊離開(kāi)斜面時(shí)應(yīng)滿足qvB＝(mg－qE)cs 53°，解得v＝3 m/s，動(dòng)能為 mv2＝18 J，選項(xiàng)A正確；物塊從釋放到離開(kāi)斜面，重力勢(shì)能減少mgxsin 53°＝96 J，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
電勢(shì)能的增加量等于克服靜電力做的功，即ΔEp＝qExsin 53°＝48 J，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由功能關(guān)系得(mg－qE)xsin 53°＝ mv2＋Q，解得Q＝30 J，選項(xiàng)D正確.
例7　(多選)(2022·山東濟(jì)南市、聊城市等高三學(xué)情檢測(cè))一物體在豎直向上的拉力作用下由靜止開(kāi)始豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體的機(jī)械能E與上升高度h的關(guān)系如圖所示，已知曲線上A點(diǎn)處切線的斜率最大.不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是A.0～h2過(guò)程中物體所受的拉力先增大后減小B.h1處速度最大C.0～h2過(guò)程中物體的動(dòng)能先增大后減小D.0～h3過(guò)程中物體的加速度先增大再減小，最后物體做勻速運(yùn)動(dòng)
物體受重力與拉力作用，重力做功不改變物體的機(jī)械能，機(jī)械能的變化量等于拉力做功，則有ΔE＝FΔh，得F＝ ，所以斜率表示拉力.由題圖可知，
在0～h1階段斜率增大，即拉力增大，h1～h2階段斜率減小，即拉力減小，即0～h2過(guò)程中物體所受拉力先增大后減小，故A正確；在h1處，斜率最大，拉力最大，拉力大于重力，物體正在加速，所以h1處速度不是最大，故B錯(cuò)誤；
由題圖可知，在h1～h2過(guò)程中，圖像斜率減小，拉力F減小，在h2后圖像斜率為零，拉力為零，在h1處拉力F大于重力，在h2處拉力為零，因此在
h1～h2過(guò)程中，拉力先大于重力后小于重力，物體先向上做加速直線運(yùn)動(dòng)后做減速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能先增大后減小，故C正確；在0～h3過(guò)程中，拉力先大于重力后小于重力，最后拉力為零，物體所受的合外力先增大再減小到零后反向增大、最后不變，根據(jù)牛頓第二定律可得物體的加速度先增大再減小后反向增大再不變，且h2～h3階段為豎直上拋運(yùn)動(dòng)，不是勻速運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤.
1.(2022·山東泰安市一模)如圖所示，水平平臺(tái)與水平細(xì)桿間的高度差為H，質(zhì)量也為M的物塊放在水平臺(tái)上，質(zhì)量為M的小球套在水平桿上，物塊和小球通過(guò)小滑輪用輕質(zhì)細(xì)線相連，滑輪右側(cè)細(xì)線恰好豎直.現(xiàn)用一水平恒力F由靜止沿桿拉動(dòng)小球，物塊始終在水平平臺(tái)上，不計(jì)一切摩擦.則小球前進(jìn)2H時(shí)，物塊的速度為
小球從平臺(tái)的邊緣處由靜止向右運(yùn)動(dòng)2H時(shí)，設(shè)小球的速度為v，此時(shí)輕質(zhì)細(xì)線與水平方向夾角為θ，如圖所示，可知tan θ＝ ，則有
cs θ＝ ，小球沿細(xì)線方向的分速度等于物塊的速度，則物塊的速度為v1＝vcs θ＝ ，對(duì)物塊和小球組成的系統(tǒng)，由動(dòng)能定理可得F·2H＝ Mv2＋ Mv12，解得v1＝ ，故選D.
2.(多選)(2022·遼寧葫蘆島市普通高中高三期末)某質(zhì)量m＝1 500 kg的“雙引擎”小汽車(chē)，行駛速度v≤54 km/h時(shí)靠電動(dòng)機(jī)輸出動(dòng)力；行駛速度在54 km/h＜v≤90 km/h范圍內(nèi)時(shí)靠汽油機(jī)輸出動(dòng)力，同時(shí)內(nèi)部電池充電；當(dāng)行駛速度v> 90 km/h時(shí)汽油機(jī)和電動(dòng)機(jī)同時(shí)工作，這種汽車(chē)更節(jié)能環(huán)保，該小汽車(chē)在一條平直的公路上由靜止啟動(dòng)，汽車(chē)的牽引力F隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的圖線如圖所示，所受阻力恒為1 250 N.已知汽車(chē)在t0時(shí)刻第一次切換動(dòng)力引擎，以后保持恒定功率行駛至第11 s末，則在前11 s內(nèi)A.經(jīng)過(guò)計(jì)算t0＝5 sB.在0～t0時(shí)間內(nèi)小汽車(chē)行駛了45 mC.電動(dòng)機(jī)輸出的最大功率為60 kWD.汽油機(jī)工作期間牽引力做的功為4.5×105 J
t0時(shí)刻，電動(dòng)機(jī)輸出的功率最大，為Pm＝F1v1＝5 000×15 W＝75 kW，故C錯(cuò)誤；
故6～11 s內(nèi)都是汽油機(jī)在做功，且汽油機(jī)工作時(shí)牽引力做的功為W＝Pt＝4.5×105 J，故D正確.
3.(多選)(2022·海南省模擬)如圖所示，某物體(可視為質(zhì)點(diǎn))分別從等高的固定斜面Ⅰ、Ⅱ頂端下滑，物體與接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同，斜面與水平面接觸處用半徑可忽略的光滑小圓弧相連.若該物體沿斜面Ⅰ由靜止下滑，運(yùn)動(dòng)到水平面上的P點(diǎn)靜止，不計(jì)空氣阻力.下列說(shuō)法正確的是A.物體沿斜面Ⅱ由靜止下滑，將運(yùn)動(dòng)到水平面上P點(diǎn)的 左側(cè)靜止B.物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)的路程大于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)的路程C.物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量等于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量D.物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能大于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能
設(shè)斜面的傾角為α，長(zhǎng)度為l，高度為h，斜面的下端點(diǎn)到P點(diǎn)的水平距離為x，由動(dòng)能定理得mgh－μmglcs α－μmgx＝0，設(shè)斜面上端點(diǎn)到P點(diǎn)的水平
距離為s總，則s總＝lcs α＋x，聯(lián)立可得mgh－μmgs總＝0，可知最終兩物體均停止在P點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；根據(jù)幾何知識(shí)可知，物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)的路程大于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)的路程，故B正確；
兩種情形下，都是重力勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，而初始時(shí)重力勢(shì)能相同，則物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量等于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量，故C正確；
沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能ΔE1＝μmgL1cs α1，沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能ΔE2＝μmgL2cs α2，因?yàn)長(zhǎng)1＞L2，α1＜α2，所以ΔE1＞ΔE2，故D錯(cuò)誤.
1.如圖所示，一質(zhì)量為25 kg的小孩從高為2 m的滑梯頂端由靜止滑下，滑到底端時(shí)的速度大小為2 m/s(g取10 m/s2).關(guān)于力對(duì)小孩做的功，以下說(shuō)法正確的是A.重力做功450 JB.合力做功50 JC.克服阻力做功50 JD.支持力做功450 J
由功的計(jì)算公式可知，重力做功為WG＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理可知，合力做功等于動(dòng)能的變化量，則有W合＝ ×25×22 J＝50 J，B正確；
由動(dòng)能定理可得WG－W克f＝ mv2，故克服阻力做功W克f＝WG－ mv2＝500 J－50 J＝450 J，C錯(cuò)誤；支持力與小孩的運(yùn)動(dòng)方向一直垂直，所以支持力不做功，D錯(cuò)誤.
2.一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時(shí)其速度為1 m/s，從此刻開(kāi)始在滑塊運(yùn)動(dòng)方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時(shí)間的變化規(guī)律分別如圖(a)和圖(b)所示.設(shè)在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)力F對(duì)滑塊做的功分別為W1、W2、W3，則以下關(guān)系正確的是A.W1＝W2＝W3B.W1

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