高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專題3.4冪函數(shù)【原卷版+解析】

這是一份高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專題3.4冪函數(shù)【原卷版+解析】，共32頁。

【核心素養(yǎng)】
1.以常見冪函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2. 與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3. 與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
知識點一
冪函數(shù)的定義
冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).

知識點二
常見的5種冪函數(shù)的圖象
常見的5種冪函數(shù)的圖象
知識點三
常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)
常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)
?？碱}型剖析
題型一：冪函數(shù)的概念
【典例分析】
例1-1. （2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
例1-2. （2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.
【知識拓展】
1.形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．
2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步解題.
【變式訓(xùn)練】
變式1-1. （2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（ ）
A．2B．3C．4D．9
變式1-2. （2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，則m的值為____________．
題型二：冪函數(shù)的圖象
例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．

例2-2.（2023·全國·高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
例2-3.（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例2-4.（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）直線：與，軸的交點分別是，，與函數(shù)，的圖像的交點分別為，，若，是線段的三等分點，則的值為________.
【規(guī)律方法】
函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．
【變式訓(xùn)練】
變式2-1.（2011·陜西·高考真題）函數(shù)的圖象是( )
A． B．C．D．
變式2-2. （2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域為R，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（ ）
A．1B．4C．7D．10
變式2-3. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
變式2-4.（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┖瘮?shù)，和的圖像都通過同一個點，則該點坐標(biāo)為________．
題型三：冪函數(shù)的性質(zhì)
【典例分析】
例3-1.（1993·全國·高考真題）函數(shù)y=在[－1, 1]上是( )
A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)
C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)
例3-2．（2007·山東·高考真題）設(shè)，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為（ ）
A．B．C．D．
例3-3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
例3-4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.
【方法技巧】
1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當(dāng)冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.
【變式訓(xùn)練】
變式3-1. （2020·全國·高三對口高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（ ）．
A．B．C．D．
變式3-2. （2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（ ）
A．B．是減函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)
變式3-3. 【多選題】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
變式3-4.（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為__________.

題型四：冪函數(shù)綜合問題
【典例分析】
例4-1. （2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
例4-2．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
例4-3．（江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝ (x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________．
例4-4．（2023·高三課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
【變式訓(xùn)練】
變式4-1. （2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
變式4-2. （2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中，，，若點，，，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
變式4-3. （2023·高三課時練習(xí)）已知，若函數(shù)滿足：當(dāng)時，恒成立，則的取值為______．（寫出滿足條件的所有取值）
變式4-4. （2020秋·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求的解析式；
(2)若在上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
一、單選題
1．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增的為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減
5．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（ ）
A．8B．4C．2D．1
6．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實數(shù)可作為值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
7.（2023·全國·高三對口高考）若，且，當(dāng)時，則一定有（ ）
A．B．
C．D．
8．（2012·山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，
二、填空題
9. （2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， ，則f(-8)的值是____.
10．（2014·上?！じ呖颊骖}）若，則滿足的取值范圍是_____.
11.（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為___________．
12．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的零點為________．
專題3.4 冪函數(shù)

【核心素養(yǎng)】
1.以常見冪函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2. 與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3. 與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
知識點一
冪函數(shù)的定義
冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).

知識點二
常見的5種冪函數(shù)的圖象
常見的5種冪函數(shù)的圖象
知識點三
常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)
常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)
?？碱}型剖析
題型一：冪函數(shù)的概念
【典例分析】
例1-1. （2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)已知，求出參數(shù)的關(guān)系式，即可計算作答.
【詳解】依題意，設(shè)，則，
所以.
故選：B
例1-2. （2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.
【答案】/
【分析】根據(jù)冪函數(shù)過點，求出函數(shù)解析式，將數(shù)值代入即可計算.
【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得：，
所以，則，
故答案為：.
【知識拓展】
1.形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．
2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步解題.
【變式訓(xùn)練】
變式1-1. （2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點計算得到，計算得到答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過點，故，故，
，.
故選：B
變式1-2. （2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，則m的值為____________．
【答案】81
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過的點求得參數(shù)，可得函數(shù)解析式，再代入求值即得答案.
【詳解】由題意函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，
則，則
故，
故答案為：81
題型二：冪函數(shù)的圖象
例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法逐項進(jìn)行排除即可求解.
【詳解】由，排除A，D．當(dāng)時，，所以，排除C．
故選：B．
例2-2.（2023·全國·高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式，即可得答案.
【詳解】圖象（1）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；
圖象（2）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；
圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；
圖象（4）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；
圖象（5）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；
圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；
圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；
故圖象對應(yīng)解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.
故選：C
例2-3.（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可知 圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由 的圖像即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，所以 圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，
由解析式，作出的圖像如圖
從而可得圖像為B選項.
故選：B.
例2-4.（2023·陜西榆林·校考模擬預(yù)測）直線：與，軸的交點分別是，，與函數(shù)，的圖像的交點分別為，，若，是線段的三等分點，則的值為________.
【答案】
【分析】求出點、的坐標(biāo)，代入相應(yīng)的冪函數(shù)解析式，求出、的值，即可得解.
【詳解】直線與、軸的交點分別是、，
因為，是線段的三等分點，可得，，
且與函數(shù)、的圖像交點分別是、，其中，
所以，解得，所以，.
故答案為：.
【規(guī)律方法】
函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．
【變式訓(xùn)練】
變式2-1.（2011·陜西·高考真題）函數(shù)的圖象是( )
A． B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：先找出函數(shù)圖象上的特殊點（1，1），（8，2），（，），再判斷函數(shù)的走向，結(jié)合圖形，選出正確的答案．
解：函數(shù)圖象上的特殊點（1，1），故排除A，D；
由特殊點（8，2），（），可排除C．
故選B．
變式2-2. （2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域為R，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（ ）
A．1B．4C．7D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域和冪函數(shù)的奇偶性可以確定m的值.
【詳解】解：由題意知，
因為其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則.
故選：C．
變式2-3. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，
所以0，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，
所以選項D正確，
故選：D.
變式2-4.（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┖瘮?shù)，和的圖像都通過同一個點，則該點坐標(biāo)為________．
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)既可以求得.
【詳解】根據(jù)三個函數(shù)可得定義域為：，則根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知這三個函數(shù)都經(jīng)過點.
故答案為：
題型三：冪函數(shù)的性質(zhì)
【典例分析】
例3-1.（1993·全國·高考真題）函數(shù)y=在[－1, 1]上是( )
A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)
C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)
【答案】A
【詳解】
考查冪函數(shù).
∵>0，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
可得在[?1,1]上的單調(diào)增函數(shù)，是奇函數(shù)．
故選A.
點睛：對于形如的冪函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)時，可以將函數(shù)化簡為，可知定義域及函數(shù)奇偶性，冪函數(shù)的單調(diào)性可以只研究第一象限，再結(jié)合奇偶性即可得結(jié)論.
例3-2．（2007·山東·高考真題）設(shè)，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】時，函數(shù)定義域不是R,不合題意；
時，函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)，合題意，
故選A.
例3-3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中間值比較a,b的大小，再讓b，c與中間值比較，判斷b,c的大小，即可得解.
【詳解】，又因為通過計算知，所以，即，
又，所以，所以.
故選：B
例3-4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價不等式組，即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，
因為，可得，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【方法技巧】
1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當(dāng)冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.
【變式訓(xùn)練】
變式3-1. （2020·全國·高三對口高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性性質(zhì)即可求解.
【詳解】A：一次函數(shù)的性質(zhì)知在上是減函數(shù)，不合題意．
B：定義域為R且，為非奇非偶且是減函數(shù)，不合題意；
C：定義域為R且，為偶函數(shù)且在R上不單調(diào)，不合題意．
D：定義域為R且，為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，符合題意.
故選：D．
變式3-2. （2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（ ）
A．B．是減函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷AB，再由奇函數(shù)的定義判斷CD.
【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.
函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；
因為函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.
故選：C.
變式3-3. 【多選題】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知， 在上單調(diào)遞增.
因為,所以，即，，
所以．故A正確；
令，則，故B錯誤；
令，則
由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以，即，于是有，故C正確；
令，則，
所以因為，故D錯誤．
故選：AC.
變式3-4.（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為__________.
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意可知，的定義域為，
所以，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，
由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以關(guān)于的表達(dá)式的解集為.
故答案為：.
題型四：冪函數(shù)綜合問題
【典例分析】
例4-1. （2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進(jìn)行比較即可.
【詳解】由單調(diào)遞減可知：.
由單調(diào)遞增可知：，所以，即，且.
由單調(diào)遞減可知：，所以.
故選：D
例4-2．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出函數(shù)與在均單調(diào)遞減時，a的取值區(qū)間結(jié)合選項可得答案.
【詳解】函數(shù)在均單調(diào)遞減可得即；
函數(shù)在均單調(diào)遞減可得，解得，
若函數(shù)與均單調(diào)遞減，可得，
由題可得所求區(qū)間真包含于，
結(jié)合選項，函數(shù)與均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是C
故選：C
例4-3．（江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝ (x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________．
【答案】－1或
【解析】
設(shè)點，則
令
令
（1）當(dāng)時，時取得最小值，，解得
（2）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值
，解得
綜上可知：或
所以答案應(yīng)填：-1或.
例4-4．（2023·高三課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.
【詳解】因為函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．
由m為正整數(shù)，則或,
又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，
而當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不符題意，
當(dāng)時，，為偶函數(shù)，于是．
因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，
所以等價于或或，
解得或，即.
【變式訓(xùn)練】
變式4-1. （2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分別由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)可得，，，即可得出答案.
【詳解】由題知，，，
，所以.
故選：A.
變式4-2. （2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中，，，若點，，，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由且橫坐標(biāo)對應(yīng)相等，知縱坐標(biāo)差的絕對值對應(yīng)相等，化簡即得.
【詳解】因為，且，，故.故，則.
故選：D.
變式4-3. （2023·高三課時練習(xí)）已知，若函數(shù)滿足：當(dāng)時，恒成立，則的取值為______．（寫出滿足條件的所有取值）
【答案】、、0或
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)情況，一一判斷的取值是否符合題意，可得答案.
【詳解】因為，所以 ，
要使則在區(qū)間上應(yīng)大于0，
所以時在區(qū)間可取到負(fù)值，不合題意；
當(dāng)時，，在區(qū)間上恒有成立，符合題意；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
即在區(qū)間上有成立，不合題意；
當(dāng)時，，當(dāng)時，為遞增函數(shù)，，則；
當(dāng)時，為遞減函數(shù)，，則，
故在區(qū)間上有恒成立，符合題意；
當(dāng) 時，，由，及，
知恒成立，符合題意；
當(dāng) 時，，由及，
知恒成立，符合題意，
綜上所述，的取值為、、0或，
故答案為：、、0或
變式4-4. （2020秋·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求的解析式；
(2)若在上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性求出的值, 求出函數(shù)的解析式即可;
(2) 求出函數(shù)的對稱軸, 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可.
【詳解】（1）由題意 ,
解得: 或 3 ,
若 是偶函數(shù),則，
故 ;
（2）,
的對稱軸是 ,
若 在上不是單調(diào)函數(shù),
則 , 解得: .
所以實數(shù)的取值范圍為.
一、單選題
1．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可選出結(jié)果.
【詳解】解：為奇函數(shù)，，為偶函數(shù)，
但在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，
而為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增.
故選：A
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.
【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，排除A,B選項；
易知當(dāng)時，為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.
故選：C.
3．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．3C．或3D．1或
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以且，
由，得或，
當(dāng)時，，滿足題意；
當(dāng)時，足，不符合題意.
綜上.
故選：A.
4．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減
【答案】B
【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).
【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，
所以或，
對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；
故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．
故選：B
5．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定，得函數(shù)解析式，計算函數(shù)值．
【詳解】，，，代入分別是，
在定義域內(nèi)，即是偶函數(shù)，因此取值或0，
時，在上不是減函數(shù)，
只有滿足，此時，，
．
故選：B．
6．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實數(shù)可作為值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
【答案】C
【分析】在上單調(diào)遞減，A錯誤，不是偶函數(shù)，B錯誤，定義判斷C正確， 函數(shù)為奇函數(shù)，D錯誤，得到答案.
【詳解】對選項A：，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，錯誤；
對選項B：，，函數(shù)定義域為，不是偶函數(shù)，錯誤；
對選項C：，，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，正確；
對選項D：，，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，錯誤；
故選：C
7.（2023·全國·高三對口高考）若，且，當(dāng)時，則一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】特殊值法判斷A,C,D選項錯誤，根據(jù)已知條件結(jié)合式子范圍及指數(shù)冪判斷證明B選項.
【詳解】令
A,C選項錯誤;
,D選項錯誤;
,
,
,
,B選項正確.
故選:B.
8．（2012·山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，
【答案】B
【詳解】令,可得．
設(shè)
根據(jù)題意與直線只有兩個交點，
不妨設(shè)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時如右圖，
與左支雙曲線相切，與右支雙曲線有一個交點，
根據(jù)對稱性可得，即，此時，
，
同理可得，當(dāng)時如左圖，，
故選：B．
二、填空題
9. （2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， ，則f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求
【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以
故答案為：
10．（2014·上海·高考真題）若，則滿足的取值范圍是_____.
【答案】
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，由于，所以當(dāng)時，當(dāng)時，，因此的解集為.
11.（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為___________．
【答案】
【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點計算，從而得函數(shù)解析式，再代入計算即可.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由題意，，
解得，所以冪函數(shù)解析式為，
所以.
故答案為：
12．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的零點為________．
【答案】，，
【分析】設(shè)冪函數(shù)解析式，求解函數(shù)解析式，解方程即可得函數(shù)函數(shù)的零點.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為函數(shù)的圖像過點，所以，解得
所以，則函數(shù)的零點為方程的根，解得或，
所以函數(shù)的零點為，，.
故答案為：，，.
函數(shù)特征性質(zhì)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定義域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
函數(shù)特征性質(zhì)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定義域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇