高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專題3.1函數(shù)的概念及其表示【原卷版+解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【核心素養(yǎng)】
1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
2.考查換元法、待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
3.與不等式、方程等相結(jié)合考查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
知識點一
函數(shù)的概念
知識點二
函數(shù)的定義域、值域
(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).
知識點三
函數(shù)的表示方法
1.函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法．同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．
2.【易混辨析】
（1）判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應(yīng)法則是否相同．
（2）從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.
知識點四
分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).
知識點五
區(qū)間的概念
1.一般區(qū)間的表示．
設(shè)a，b∈R，且a，則函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）
A．a(chǎn)2+1B．a(chǎn)+
C．a(chǎn)-D．a(chǎn)-
變式6-3.（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．
一、單選題
1．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知函數(shù)，那么（）
A．7B．6C．5D．4
3．（2023春·北京海淀·高三清華附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，對于任意的，總有（）
A．B．
C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．B．C．D．
5．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）若函數(shù)滿足：，且，則（）
A．2953B．2956C．2957D．2960
二、多選題
6．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)不恒等于零，同時滿足，且當(dāng)時，，那么當(dāng)時，下列結(jié)論不正確的為（）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則______．
8.（2019·江蘇高考真題）函數(shù)的定義域是_____.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域為______________
10.（江蘇高考真題）已知實數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________
11．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是___．
四、解答題
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù)．又已知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值．
(1)證明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
函數(shù)
兩個集合
A，B
設(shè)A，B是兩個
非空數(shù)集
對應(yīng)關(guān)系
f：A→B
如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)
定義
名稱
符號
數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b}
閉區(qū)間
[a，b]
{x|a＜x＜b}
開區(qū)間
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半開半
閉區(qū)間
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半開半
閉區(qū)間
(a，b]
定義
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x時，
函數(shù)f(x)=x2+x-a的對稱軸方程為x=-，函數(shù)在[a，+∞)上單調(diào)遞增，其最小值為a2；
當(dāng)x0.
所以a2>a-.
所以函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
故選：D
變式6-3.（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】由，可知，解不等式即可.
【詳解】由，可知，
解得，
故答案為：.
一、單選題
1．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由根式性質(zhì)求函數(shù)定義域得集合B，應(yīng)用集合交運算求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，則.
故選：A
2．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知函數(shù)，那么（）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的概念代入解析式計算即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
故選：D．
3．（2023春·北京海淀·高三清華附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，對于任意的，總有（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)解析式，計算，判斷A，B，取特殊值判斷C，D.
【詳解】因為，
所以，A錯誤，B正確；
又，
所以，C，D錯誤；
故選：B.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可得解.
【詳解】由圖象知，的兩根為2，4，且過點，
所以，解得，
所以，
所以，
故選：A
5．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）若函數(shù)滿足：，且，則（）
A．2953B．2956C．2957D．2960
【答案】A
【分析】法一：利用特殊函數(shù)法與待定系數(shù)法，求得滿足題意的一個函數(shù)，代入即可得解.
法二：利用賦值法，得到與，進(jìn)而利用換元法與作差法得到，由此得解.
【詳解】法一：
取，易驗證滿足．
由，得，解得，
故．
法二：
因為，
令，則，；
令，則，；
兩式相減得，
由的任意性，令，得，
所以．
故選：A.
二、多選題
6．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)不恒等于零，同時滿足，且當(dāng)時，，那么當(dāng)時，下列結(jié)論不正確的為（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】令可得，令可得．當(dāng)時,,根據(jù)已知條件得,即，所以.
【詳解】對任意,恒有，
令可得，
因為當(dāng)時,故，所以，
令可得，所以，
當(dāng)時,,根據(jù)已知條件得,即，所以.
故選：ABC.
三、填空題
7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則______．
【答案】6
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求解函數(shù)值.
【詳解】函數(shù)，，
.
故答案為：6
8.（2019·江蘇高考真題）函數(shù)的定義域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得，
故函數(shù)的定義域為.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域為______________
【答案】
【分析】由，可得的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸求出給定區(qū)間的函數(shù)值域.
【詳解】因為，所以，
又，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，，
所以函數(shù)的值域為.
故答案為：
10.（江蘇高考真題）已知實數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________
【答案】
【解析】
分當(dāng)時和當(dāng)時兩種分別討論求解方程，可得答案.
【詳解】
當(dāng)時，，所以，
解得，不滿足，舍去；
當(dāng)時，，所以解得，滿足.
故答案為：.
11．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是___．
【答案】
【分析】首先分析各段函數(shù)的單調(diào)性，依題意只需函數(shù)的值域為，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)在各段的最大（?。┲?，即可得到不等式組，解得即可.
【詳解】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，即函數(shù)的值域為，
當(dāng)時在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，
則只需，解得；
當(dāng)時在上的最小值為，則只需要，解得；
綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù)．又已知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值．
(1)證明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)周期性，可得，再結(jié)合函數(shù)奇偶性即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)出二次函數(shù)解析式，結(jié)合（1）中結(jié)論，求得未知參數(shù)，則問題得解；
（3）先求出在的解析式，再結(jié)合函數(shù)周期性，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：∵f (x)是以為周期的周期函數(shù)，∴，
又∵是奇函數(shù)，∴，∴
（2）當(dāng)時，由題意可設(shè)，
由，得，∴，
∴.
（3）根據(jù)（2）中所求，可知；又在上是奇函數(shù)，故，
故當(dāng)時，設(shè)，則，解得.
故當(dāng)時，.
又在上是奇函數(shù)，故當(dāng)時，.
綜上，則時，.
因為時，.
所以當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，，所以，
綜上所述，.
函數(shù)
兩個集合
A，B
設(shè)A，B是兩個
非空數(shù)集
對應(yīng)關(guān)系
f：A→B
如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)
定義
名稱
符號
數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b}
閉區(qū)間
[a，b]
{x|a＜x＜b}
開區(qū)間
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半開半
閉區(qū)間
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半開半
閉區(qū)間
(a，b]
定義
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x

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