刷真題 明導(dǎo)向
一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
三、填空題
6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小值為______.
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．
四、解答題
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
11．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【A組 在基礎(chǔ)中考查功底】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處有極值，則（ ）
A．B．
C．D．a(chǎn)不存在
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是的極小值點B．是的極小值點
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．曲線在處的切線斜率小于零
4．（2023春·江蘇揚州·高三揚州市新華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)與，則它們的圖象交點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不確定
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的最大值與最小值之差為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，則（ ）
A．有極大值，沒有極小值
B．有極小值，沒有極大值
C．函數(shù)與的圖象有兩個交點
D．函數(shù)有兩個零點
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)存在三個不同的零點
B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C．若時，，則t的最小值為2
D．當(dāng)時，方程有且只有兩個實根
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的極值點，則（ ）
A．是的極小值點B．有三個零點
C．D．
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有2個零點B．有2個極值點C．在單調(diào)遞增D．最小值為1
三、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考階段練習(xí)）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.
16．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，是該函數(shù)的極值點，定義表示超過實數(shù)x的最小整數(shù)，則的值為______．
17．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.
四、解答題
18．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對任意，都有成立，求的取值范圍.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m) 在上恒成立.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，，求的最大值．
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求其最值；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的極大值是，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示，求
(1)，，的值；
(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．
【B組 在綜合中考查能力】
一、單選題
1．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，則（ ）
A．有最小值，有最大值B．無最小值，有最大值
C．有最小值，無最大值D．無最小值，無最大值
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上有唯一的極大值，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美，若函數(shù)的圖象能將圓的周長和面積同時等分成兩個部分，則稱為這個圓的一個“太極函數(shù)”．已知函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，則實數(shù)t的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2023·貴州黔西·校考一模）已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A．0，,e2B．C．D．
6．（2023春·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，函數(shù)（是的導(dǎo)數(shù)）的圖象關(guān)于原點對稱，若在上恰有3個極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
7．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)則（ ）
A．沒有極值點
B．當(dāng)時，函數(shù)圖像與直線y＝m有三個公共點
C．點是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
8．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A．有唯一的零點和極值點，且零點小于極值點
B．曲線在點處的切線斜率為
C．為偶函數(shù)
D．在時值域為
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)在定義域內(nèi)不存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是______．
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________.
12．（2023秋·廣西防城港·高三防城港市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點和，則實數(shù)a的取值范圍為______.
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為，則實數(shù)__________．
14．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)和的表達(dá)式分別為，，若對任意，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.
四、解答題
15．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，
（?。┣笄€在點處的切線方程；
（ⅱ）求證：，.
(2)若在上恰有一個極值點，求的取值范圍.
16．（2023春·河南·高三清豐縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
17．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求證：.
18．（2023·江蘇南通·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，關(guān)于x的不等式恰有兩個整數(shù)解，求m的取值范圍；
(2)若的最小值為1，求a.
19．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，的最小值為，求的取值范圍.
【C組 在創(chuàng)新中考查思維】
一、單選題
1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于兩個函數(shù)與，若這兩個函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量分別為，則的最小值為（ ）
A．-1B．C．D．
3．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，若關(guān)于 的方程存在正零點，則實數(shù)的值可能為（ ）
A．B．C．eD．2
6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（ ）
A．有極小值B．有極大值
C．若，則D．的零點最多有兩個
三、填空題
7．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，不等式對恒成立，則實數(shù)的最小值為__________.
8．（2023·陜西西安·長安一中校考二模）若函數(shù)在和，兩處取得極值，且，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
四、解答題
9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；
(2)設(shè)，當(dāng)時，
①證明：函數(shù)恰有兩個零點；
②若為函數(shù)的極值點，為函數(shù)的零點，且，證明：.
10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a為實數(shù).
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且.求證：.
【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第16練 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（精練）
刷真題 明導(dǎo)向
一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.
【詳解】，
所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；
在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
故選：D
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.
【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.
當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時，得，則
當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
二、多選題
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小值為______.
【答案】1
【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.
【詳解】由題設(shè)知：定義域為，
∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；
又在各分段的界點處連續(xù)，
∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；
∴
故答案為：1.
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點
因為，所以方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時，，即圖象在上方
當(dāng)時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個根為
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)
且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
四、解答題
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當(dāng)時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間
【分析】（1）[方法三]不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)的分子構(gòu)成一個新函數(shù) ，再求導(dǎo)得到，根據(jù)的正負(fù)，判斷 的單調(diào)性，進(jìn)而確定的正負(fù)性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】（1）
[方法一]【最優(yōu)解】：
等價于．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故，所以，即，所以c的取值范圍是．
[方法二]：切線放縮
若，即，即當(dāng)時恒成立，
而在點處的切線為，從而有，
當(dāng)時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．
[方法三]：利用最值求取值范圍
函數(shù)的定義域為：
，
設(shè)，則有 ，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范圍為．
（2）且
因此，設(shè) ，
則有，
當(dāng)時，，所以， 單調(diào)遞減，因此有，即
，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以， 單調(diào)遞增，因此有，即 ，所以單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間和 上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.
【整體點評】(1)方法一：分類參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用；
方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎(chǔ).
方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域為．
要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br>[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時，，單減，故；
當(dāng)時，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．
（ⅰ）當(dāng)時，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時，，即．
【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.
11．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：
所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，則，且，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
（III）由（II）知，此時，
所以，
令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實數(shù)b的取值范圍.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.
（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.
【詳解】（1）的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，
當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故上有且只有一個零點，且：
當(dāng)時，即即，
當(dāng)時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因為，所以，
若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點，
因為，，
所以在上存在零點，取一零點為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，
最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因為
所以，
又因為在上單調(diào)遞減，，即，所以，
同理，因為，
又因為在上單調(diào)遞增，即，，所以，
又因為，所以，
即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.
【A組 在基礎(chǔ)中考查功底】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處有極值，則（ ）
A．B．
C．D．a(chǎn)不存在
【答案】B
【分析】函數(shù)在處有極值，即，求解導(dǎo)數(shù)，代入即可求解.
【詳解】解：因為函數(shù)，故
又函數(shù)在處有極值，故，
解得.經(jīng)檢驗滿足題意
故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意得對上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性與最值，分析即可得答案.
【詳解】由題意可知，不等式在上恒成立，
則對上恒成立，
設(shè)，，
則，令，解得，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，取極大值，即為最大值，最大值為，
所以，，
所以的取值范圍為
故選：B
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是的極小值點B．是的極小值點
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．曲線在處的切線斜率小于零
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.
【詳解】由圖像知，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
是的極大值點，3是的極小值點，故ABC錯誤；
又因為，所以曲線在處切線斜率小于零，故D正確.
故選：D.
4．（2023春·江蘇揚州·高三揚州市新華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍．
【詳解】解：，
令，得：
當(dāng) ，即
此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點，
反之，當(dāng) ，即，此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的極小值點，不符合題意；
當(dāng) ，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點.
綜上得：.
故選：A.
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值點，然后使極小值點在內(nèi)，從而可求出的取值范圍
【詳解】由題意，得，
當(dāng)時，在上恒成立，所以在上遞增，函數(shù)無極值，
所以，
令，則x＝±，
∵函數(shù)在（，）上，函數(shù)遞減，在（，+∞）上，函數(shù)遞增
∴x時，函數(shù)取得極小值
∵函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
故選：B．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)與，則它們的圖象交點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不確定
【答案】B
【分析】令，判斷的單調(diào)性并計算的極值，根據(jù)極值與0的大小關(guān)系判斷的零點個數(shù)，得出答案.
【詳解】令，則，由，得，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，.
∴當(dāng)時，取得最小值，
∴只有一個零點，即與的圖象只有1個交點.
故選：B.
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的最大值與最小值之差為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖像的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.
【詳解】，
設(shè)，則
則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，其最大值與最小值是互為相反數(shù)，

即的最大值與最小值之差為，
當(dāng)時，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，所以的最大值與最小值之差為
故選：B
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求得，根據(jù)在區(qū)間上存在最小值，得到且，，設(shè)，根據(jù)且，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
且在區(qū)間上存在最小值，
即在區(qū)間上存在，
使得且，，
設(shè)，即滿足，且，
可得，解得，
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得，令，求導(dǎo)求最值即可.
【詳解】若在上恒成立，則在上恒成立等價于
在上恒成立，令，則，
令，解得，令，解得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
故.故選：B.
二、多選題
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，則（ ）
A．有極大值，沒有極小值
B．有極小值，沒有極大值
C．函數(shù)與的圖象有兩個交點
D．函數(shù)有兩個零點
【答案】AD
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而可知函數(shù)是否有極值；畫出函數(shù)與的圖象從而可判斷交點個數(shù)；函數(shù)有兩個零點價于函數(shù)與圖像有兩個交點，數(shù)形結(jié)合即可判斷.
【詳解】，則，
因為在恒成立.
所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；
所以在處有極大值，沒有極小值，故A正確，B錯誤；
根據(jù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，以及的圖象，如圖：
由此可知，函數(shù)與的圖象只有一個交點，故C錯誤；
函數(shù)有兩個零點等價于函數(shù)與圖像有兩個交點，如下圖所示：
由此可知，函數(shù)與圖像有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點；故D正確.
故選：AD.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)存在三個不同的零點
B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C．若時，，則t的最小值為2
D．當(dāng)時，方程有且只有兩個實根
【答案】BD【詳解】，令，解得或，
當(dāng)或時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且函數(shù)有極小值，有極大值，當(dāng)趨近負(fù)無窮大時，趨近正無窮大，當(dāng)趨近正無窮大時，趨近于零，故作函數(shù)草圖如下，
由圖可知，選項BD正確，選項C錯誤，t的最大值為2．
故選：BD．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的極值點，則（ ）
A．是的極小值點B．有三個零點
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)極值點的概念可得，進(jìn)而判斷函數(shù)單調(diào)性及零點情況，判斷各選項.
【詳解】由，
得，
由是函數(shù)的極值點，得，解得，
故函數(shù)，，
令，解得或，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為極小值點，A選項正確；
又，，，，
所以函數(shù)分別在，，上各有一個零點，共三個零點，B選項正確；
又在上單調(diào)遞減，且，
所以，
又，故，C選項錯誤；
同理，
且，
，D選項正確；故選：ABD.
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有2個零點B．有2個極值點C．在單調(diào)遞增D．最小值為1
【答案】BC
【分析】先求定義域，再求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，最值情況，判斷BCD，A可以證明出函數(shù)值恒正，A錯誤.
【詳解】定義域為R，，
令得：或1，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
如下表：
從而判斷出函數(shù)有兩個極值點，在上單調(diào)遞增，
BC正確，
由于恒成立，所以函數(shù)無零點，A錯誤，
當(dāng)時，，故函數(shù)無最小值，D錯誤；.
故選：BC
三、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．
【答案】
【分析】求得，將題意轉(zhuǎn)化為使得在上存在穿越零點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，求解即可.
【詳解】定義域為，，
根據(jù)題意可得在上存在穿越零點，
故，且，解得.
故答案為：
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考階段練習(xí)）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】.
【分析】求導(dǎo)后得到在上恒成立，參變分離后得到在上恒成立，利用導(dǎo)函數(shù)求出，從而求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，，
故只需在上恒成立，
則在上恒成立，
其中在上恒成立，
故，所以，
故答案為：.
16．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，是該函數(shù)的極值點，定義表示超過實數(shù)x的最小整數(shù)，則的值為______．
【答案】
【分析】利用二次求導(dǎo)的方法求得，從而求得，進(jìn)而求得正確答案.
【詳解】的定義域為，
，令，
所以在上單調(diào)遞增，
，
所以存在，使，
則在區(qū)間上，遞減；在區(qū)間上，遞增，
所以是的極小值點，所以，
所以.
故答案為：
17．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意參變分離可得在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性，求出最值，即可得的取值范圍.
【詳解】解：因為在上恒成立，
即在上恒成立，
取，所以，
因為，所以，而，即，
所以在上，，單調(diào)遞增，所以，
因為在上恒成立，所以.
故答案為：
四、解答題
18．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對任意，都有成立，求的取值范圍.
【答案】(1)的極大值為，無極小值
(2)
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性即可求極值；
(2)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可求的取值范圍.
【詳解】（1），
令，解得：，令，解得：，
故在上遞增，在上遞減，
∴的極大值為，無極小值.
（2）若對任意，都有成立，
則對任意恒成立，
令，則，
令，，則，
∴在上遞增，即，∴在上恒成立，
∴在上遞增，故，故，即的取值范圍是.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m) 在上恒成立.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得函數(shù)的最小值，再利用導(dǎo)數(shù)可證不等式.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，
當(dāng)時，在上恒成立，所以此時在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，由，解得，
由，解得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
綜上：當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
（2）由（1）知:當(dāng)時，在上為增函數(shù)，無最小值.
當(dāng)時，在上上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，即，
則，
由，解得，
由，解得，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以，
即在上恒成立.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)
【分析】（1），討論或判斷的單調(diào)性；（2）由題意可得：對任意恒成立，即，通過導(dǎo)數(shù)求的最小值．
【詳解】（1），
當(dāng)時，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，得，令，得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）依題意得對任意恒成立，
即對任意恒成立，
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，故的最大值為．
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求其最值；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為，無最小值.
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題并求最值.
（2）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，通過構(gòu)造新函數(shù)，證明 恒成立得到結(jié)論.
【詳解】（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得：.
可知當(dāng)時，，時，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值為，無最小值.
（2）當(dāng)時，恒成立.
當(dāng)時，為二次函數(shù)，圖像拋物線開口向下，，使得，與恒成立矛盾；
當(dāng)時，，可知恒成立
現(xiàn)證明恒成立，即證：，等價于證明.
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得：，
設(shè)，則，
時，，時，，
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，恒成立，.
故可得：當(dāng)時，，時，，
即可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，從而可得，即有恒成立，所以當(dāng)時，恒成立
綜上實數(shù)的取值范圍是.
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的極大值是，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示，求
(1)，，的值；
(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)，，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷原函數(shù)的極值點，再利用代入法求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)零點的定義，通過數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，
于是有，
由，
所以有；
（2）由（1）函數(shù)的極小值為，極大值為，
而知函數(shù)的圖象如下圖所示
因為函數(shù)有三個零點，
所以函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
所以.
【B組 在綜合中考查能力】
一、單選題
1．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，則（ ）
A．有最小值，有最大值B．無最小值，有最大值
C．有最小值，無最大值D．無最小值，無最大值
【答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最值.
【詳解】由已知得，
記，∵，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，∴當(dāng)時，當(dāng)時
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故有最小值，無最大值.
故選：.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上有唯一的極大值，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題知函數(shù)在上有唯一極大值，進(jìn)而得，再解不等式即可得答案.
【詳解】解：方法一：當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上有唯一的極大值，
所以函數(shù)在上有唯一極大值，
所以，，解得.
故選：C
方法二：令，，則，，
所以，函數(shù)在軸右側(cè)的第一個極大值點為，第二個極大值點為，
因為函數(shù)在上有唯一的極大值，
所以，解得.
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美，若函數(shù)的圖象能將圓的周長和面積同時等分成兩個部分，則稱為這個圓的一個“太極函數(shù)”．已知函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先由題意，可知函數(shù)關(guān)于點對稱，列式求，再根據(jù)函數(shù)有2個極值點，轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根.
【詳解】圓的圓心為，若函數(shù)是圓的太極函數(shù)，
則函數(shù)關(guān)于點對稱，則，有，
即，
整理為：恒成立，
解得：，
則函數(shù)，
，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個不相等的實數(shù)根，
則，解得：.
故選：A
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，則實數(shù)t的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】先將化成，再利用函數(shù)在R上單調(diào)遞增得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值即可．
【詳解】解：因為可化成，
又因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以，
令，解得，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時，．
故選：C.
5．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┮阎?，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A．0，,e2B．C．D．
【答案】A
【分析】分成，兩段討論，分別利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值和分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，
若，必有，解得，所以，
若，滿足，
所以；
當(dāng)時，，即，
令，，
由得，得，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即，
綜上所述，a的取值范圍為0，,e2.
故選：A.
6．（2023春·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，函數(shù)（是的導(dǎo)數(shù)）的圖象關(guān)于原點對稱，若在上恰有3個極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的周期，借助函數(shù)的對稱性求出，再由函數(shù)的極值點情況列出不等式作答.
【詳解】依題意，函數(shù)的周期為，則，，，
，因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
則，又，則有，，
當(dāng)時，，因為函數(shù)在上恰有3個極值點，
因此，解得，
所以的取值范圍為.
故選：A
二、多選題
7．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)則（ ）
A．沒有極值點
B．當(dāng)時，函數(shù)圖像與直線y＝m有三個公共點
C．點是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
【答案】CD
【分析】證明函數(shù)為奇函數(shù)即可判斷C，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的大致圖像，即可判斷AB，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.
【詳解】因為，時，
，所以為奇函數(shù)，則關(guān)于點對稱，故選項C正確；
當(dāng)時，，令，解得，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又為奇函數(shù)，
畫出的大致圖像，

由圖知選項A錯誤，選項B錯誤；
假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點為，則，解得
，或；
當(dāng)時，直線是曲線的切線，故選項D正確．
故選：CD．
8．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A．有唯一的零點和極值點，且零點小于極值點
B．曲線在點處的切線斜率為
C．為偶函數(shù)
D．在時值域為
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，再利用數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)的零點和極值點即可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷C；通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)值域，即可判斷D.
【詳解】由得函數(shù)的定義域為，則，
令得
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，；時，；時，；
其圖像如下圖所示：
即函數(shù)有唯一的零點和唯一極值點，且零點大于極值點；故選項A錯誤；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點處的切線斜率為，即選項B正確；
，
；顯然不滿足偶函數(shù)的定義，故選項C錯誤；
易得，
令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時，且，
即在時值域為，所以選項D正確；
故選：BD.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.
【詳解】，
故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，
記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，
記，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故選：AD
【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
三、填空題
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中學(xué)校考期末）已知函數(shù)在定義域內(nèi)不存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由題可得或在上恒成立，然后根據(jù)參變分離及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且，
因為在定義域內(nèi)不存在極值點，
所以或在上恒成立，
即或在上恒成立，
因為在上不可能恒成立，
所以在上恒成立，即，
所以，
故．
故答案為：.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，確定函數(shù)極值，結(jié)合函數(shù)值情況，列出使得函數(shù)在區(qū)間上存在最大值的不等式，即可求得答案.
【詳解】由得,
當(dāng)或時,；當(dāng)時,，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為函數(shù)的極大值點，且，
令，則或，
故要使函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，即時函數(shù)取最大值，
需滿足，
故答案為：
12．（2023秋·廣西防城港·高三防城港市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點和，則實數(shù)a的取值范圍為______.
【答案】
【分析】先求導(dǎo)，再令，令，對判別式分兩種情況討論得解.
【詳解】因為，
所以，
令，
則時，，
判別式
當(dāng)時.，此時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，不合題意：
當(dāng)時，設(shè)此時對應(yīng)方程的兩個正根為、，則，
則，所以當(dāng)，符合題意.
故答案為：
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為，則實數(shù)__________．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極小值，再求出區(qū)間端點處的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最值，即可得解.
【詳解】因為，所以，所以當(dāng)時，時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值，
又，，，
因為，
所以，，
所以，，
則.
故答案為：
14．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)和的表達(dá)式分別為，，若對任意，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得在上的最大值為，分別在、和的情況下，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，從而得到，由可構(gòu)造不等式求得的范圍.
【詳解】對任意，若存在，使得，；
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
當(dāng)時，，
①當(dāng)時，，，
則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，，解得：，
；
②當(dāng)時，，，
令，解得：，
（i）當(dāng)，即時，在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，
，解得：，；
（ii）當(dāng)，即時，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
，解得：（舍）；
（iii）當(dāng)，即時，
若，則；若，則；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，解得：（舍）；
③當(dāng)時，，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，，
當(dāng)，即時，，
，解得：，；
當(dāng)，即時，，
，解得：，；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，
（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求證：，.
(2)若在上恰有一個極值點，求的取值范圍.
【答案】(1)（?。┣芯€方程為；（ⅱ）證明見解析
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切點坐標(biāo)與斜率，即可得切線方程；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)極值點與函數(shù)的關(guān)系，對進(jìn)行討論，確定導(dǎo)函數(shù)是否存在零點進(jìn)行判斷，即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，
（?。?，又，所以切線方程為.
（ⅱ），，因為，所以,
所以，所以
所以在單調(diào)遞增，所以；
（2），
當(dāng)時，所以，
,
由（1）知，，
所以在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，沒有極值點，
當(dāng)時，，
因為與在單調(diào)遞增.
所以在單調(diào)遞增.
所以，.
所以使得.
所以當(dāng)時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故函數(shù)在上恰有一個極小值點，的取值范圍是.
16．（2023春·河南·高三清豐縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)
【分析】（1）對求導(dǎo)，通過研究單調(diào)性，進(jìn)而求出極值；
（2）求出，對的范圍進(jìn)行討論，研究單調(diào)性，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】（1）若，則，
且函數(shù)的定義域為，
所以．
令，解得；令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，無極小值．
（2），
①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上至多有一個零點，不合題意；
②當(dāng)時，令，得，
令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以僅有一個極大值點，
且．
要使在上有兩個零點，必有，
且，
即，且，
解得，
即實數(shù)a的取值范圍為．
17．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知斜率，代入直線的點斜式方程可得切線方程為；（2）由可得，利用函數(shù)單調(diào)性即可知在處取得最小值，即證明即可，令函數(shù)即可得出證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，；
則，
所以在點處的切線斜率，又；
切線方程為，即
所以，在點處的切線方程為.
（2）當(dāng)時，可得 ,
又，令可得；
所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；
即在處取得極小值，也是最小值，
所以；
要證明，即證明，也即
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；
所以；即可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
故.
18．（2023·江蘇南通·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，關(guān)于x的不等式恰有兩個整數(shù)解，求m的取值范圍；
(2)若的最小值為1，求a.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可得，并求出，即可確定m的范圍；
（2）根據(jù)的值域及的最小值為1排除、，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)符號，放縮法求最值，即可得參數(shù)值.
【詳解】（1）當(dāng)時，則，令，
當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，，
所以，，
要使恰有兩個整數(shù)解，則.
（2）若，當(dāng)趨向時趨向于0，此時最小值不為1，舍去.
由（1）知：時最小值為0，此時最小值不為1，舍去.
所以，則，
令，則，故時，時恒成立，
所以在上遞減，在上遞增，且，即恒成立，
所以，僅當(dāng)，即時取等號，
令，則，故時，遞減，時，遞增，
所以，且時，時，
綜上，，即時，成立.
此時，要使的最小值為1，即.
19．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，的最小值為，求的取值范圍.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
(2)
【分析】（1）求出，繼而得出的單調(diào)性；
（2）求出，繼而得出的零點，再得出，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，最后得出的取值范圍.
【詳解】（1）若，則，求導(dǎo)得，
令可得，令可得，
故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
（2）由題意可得，
令，
故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，
故使得，此時
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以由的單調(diào)性可知，
函數(shù)也在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，
故的最小值為
易知隨增大而增大，故其取值范圍為：
【C組 在創(chuàng)新中考查思維】
一、單選題
1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，然后構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)果.
【詳解】不等式，即，
所以.設(shè)，則，
可知時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，
則，故滿足條件；
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，則，
設(shè)，則，則在單調(diào)遞減，又，所以，則，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A
【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于，先換元令，然后構(gòu)造函數(shù)，得到其最值，即可得到結(jié)果.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于兩個函數(shù)與，若這兩個函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量分別為，則的最小值為（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可.
【詳解】設(shè)，則，，
由，得，則，，
設(shè)函數(shù)，，
則，
因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減,當(dāng)時，,單調(diào)遞增，
故，
即的最小值為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)，則，，求得是解決本題得關(guān)鍵.
3．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，， 由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】因為，
所以，
令，
因為函數(shù)有兩個極值點，，
所以函數(shù)在上有兩個不等實根，
則，解得，
因為，且，，
所以，且，
所以，．
令函數(shù)，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
則，即的取值范圍為．
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍而得解.
4．（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求導(dǎo)可得，令，其中且，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
，
令，可得或，不滿足等式，
可得，其中且，
令，其中且，則，
當(dāng)時，且，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，且，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，且，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)的極小值為，如下圖所示：
①當(dāng)時，直線與函數(shù)交點的橫坐標(biāo)設(shè)為，則，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞減，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增.
故當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意；
②當(dāng)時，方程在的根為.
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，，此時，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)無極值點；
③當(dāng)時，直線與函數(shù)交點的橫坐標(biāo)設(shè)為，則，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞減，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)有兩個極值點，合乎題意；
④當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象無交點，
若時，，，，此時，單調(diào)遞減，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)只有一個極值點，不合乎題意；
⑤當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象的公共點的橫坐標(biāo)為，
若時，，，，此時，單調(diào)遞減，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)只有一個極值點，不合乎題意；
⑥當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，設(shè)這兩個公共點的橫坐標(biāo)分別為、，設(shè)，則，
若時，，，，此時，單調(diào)遞減，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
若時，，，，此時，單調(diào)遞減，
若時，，，，此時，單調(diào)遞增，
此時函數(shù)有三個極值點，不合乎題意.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù)，注意到，本題在考查方程時，要特別注意到時的取值，再求解時還應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)為零處的點時導(dǎo)數(shù)符號的變化，充分利用極值點的定義來求解.
二、多選題
5．（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，若關(guān)于 的方程存在正零點，則實數(shù)的值可能為（ ）
A．B．C．eD．2
【答案】CD
【分析】將式子變形為，構(gòu)造函數(shù)，和，即可利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求最值.
【詳解】依題意，，令，
故問題轉(zhuǎn)化為有解.
設(shè)，則，
故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故，而，所以存在唯一零點，
即在有解，即，
令，則，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，解得，故實數(shù)的取值范圍為，
故選：CD.
【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.
6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（ ）
A．有極小值B．有極大值
C．若，則D．的零點最多有兩個
【答案】BCD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)有無變號零點可得AB的正誤，通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合切線可得C的正誤，通過對的討論分析可得D的正誤.
【詳解】對于A，∵當(dāng)時，，無極值，故A不正確；
對于B，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴有極大值，故B正確；
對于C，由，得，即，
設(shè)，∴；
設(shè)，則，，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，注意到，時，，不合題意；
當(dāng)時，，時，，為減函數(shù)，
時，，為增函數(shù)；
∴；
設(shè)，則，
當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；
∴，∴只有當(dāng)時，才能成立，∴，故C正確；
對于D，由C知，，，，為增函數(shù)；
當(dāng)時，，當(dāng)無限趨近于0時，無限趨近于，且，即此時有兩個零點，
∵為增函數(shù)，，∴此時有兩個零點.
同理可得，當(dāng)時，有兩個零點.
當(dāng)時，，此時有一個零點1，∴此時有一個零點.
當(dāng)時，為減函數(shù)，，此時有一個零點1，∴此時有一個零點.故D正確.故選:BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有三個：一是極值問題通過導(dǎo)數(shù)有無變號零點來判斷；二是對的轉(zhuǎn)化，通過換元化為簡單的函數(shù)來求解；三是零點個數(shù)通過拆分函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)來判斷.
三、填空題
7．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，不等式對恒成立，則實數(shù)的最小值為__________.
【答案】
【分析】將不等式等價變形為，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性進(jìn)而得最值.
【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，，故在上單調(diào)遞增，故等價于，即任意的實數(shù)恒成立．
令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得．
故答案為：
【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別
8．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┤艉瘮?shù)在和，兩處取得極值，且，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得原題意等價于與有兩個不同的交點，再數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系運算求解.
【詳解】因為，則，
令，且，整理得，
原題意等價于與有兩個不同的交點，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得或；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
由圖可得：若與有兩個不同的交點，可得：，
因為，則，
由圖可知：當(dāng)增大時，則減小，增大，可得減小，
取，令，則，
因為，解得，
所以，則，
即實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)的極值問題，需要根據(jù)題意參變分離，利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點問題，即畫出圖像分析極值點之間的關(guān)系，并找到臨界條件進(jìn)行分析.
四、解答題
9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；
(2)設(shè)，當(dāng)時，
①證明：函數(shù)恰有兩個零點；
②若為函數(shù)的極值點，為函數(shù)的零點，且，證明：.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域；
（2）①由題知，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得存在唯一，使得，進(jìn)而得函數(shù)的單調(diào)性即可證明；②要證，即證，結(jié)合題意得，對求導(dǎo)，再根據(jù)得，故，即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，顯然函數(shù)的定義域為.
令得，
令，解得：；令，解得：，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
.
且當(dāng)趨近于，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮，趨近于負(fù)無窮，
故函數(shù)的值域是.
（2）①顯然，定義域為.
，
令，則由可知，
在單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于，趨近于.
而
存在唯一的使得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)，，
于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而.，
令，
若，可得：；若，可得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，當(dāng)時取等,
由知：
，
，，
（注意：且，則，即遞增，故；
且且，則，即遞減，故；
所以、在上恒成立.）
在都各有一個唯一零點，故恰有兩個零點.
②由題意得，由于，要證，即證.
，由（1）知，
從而，
令，則，且，
令，
令，則；令，則；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，所以，
故.
于是在上單調(diào)遞減，故，即，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)不等式對進(jìn)行放縮得，故，進(jìn)而證明結(jié)論.
10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a為實數(shù).
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且.求證：.
【答案】(1)0
(2)證明見解析
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值.
先根據(jù)，為函數(shù)在上存在兩個極值點，可得，為的兩根，可得，帶入后即證，再根據(jù)，和的關(guān)系，消元后只需要證明即，結(jié)合，即證.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，的最小值為．
（2）依題意，在上存在兩個極值點，，且．
所以在R上有兩個不等的實根，，且．
令，，
所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在處取得最小值，
要使得在R上有兩個不同的零點，必須滿足得，
此時，故．
因為，是的兩個不等的實根，
所以，即
要證：，即證：，只要證：．
下面首先證明：．
要證：，即證：，
因，在上單調(diào)遞增，
只要證：，即證：，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，即．
因為，所以．
所以，故．
要證：，只要證：，即證：，
只要證：，即證：，
事實上，，顯然成立，得證．
【點睛】方法點睛：
雙變量問題常用解題策略：
1.變更主元，對于題目涉及到的兩個變元，已知中一個變元在題設(shè)給定的范圍內(nèi)任意變動，求另一外變元的取值范圍問題，這類問題我們稱之不“偽雙變量”問題.這種“偽雙變量”問題，往往會利用我們將字母x作為自變量的誤區(qū)來進(jìn)行設(shè)計.此時，我們變更一元思路，將另一個變量作為自變量，從而使問題得以解決，我們稱這種方法為變更主元法.
2.指定主變量，有些問題雖然有兩個變量，只要把其中一個當(dāng)作常數(shù)，另一個看成自變量，便可使問題得以解決，我們稱這種思想方法為指定主變量思想.
3.整體代換，變量歸一，通過等價轉(zhuǎn)化，將關(guān)于,x的雙變量問題等價轉(zhuǎn)化為以x,x所表示的運算式作為整體的單變量問題，通過整體代換為只有一個變量的函數(shù)式，從而使問題得到巧妙的解決，我們將這種解決問題的思想稱之為變量歸一思想.
0
1
-
0
+
0
-
遞減
極小值1
遞增
極大值
遞減

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