高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第11講解三角形中的相關(guān)定理公式綜合(高階拓展)（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為10-12分
【備考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的應(yīng)用、熟練掌握面積公式的應(yīng)用
2能熟練掌握解三角形中的相關(guān)定理公式進(jìn)行綜合應(yīng)用
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是在新高考卷的命題考查為解答題，常考查相關(guān)定理公式綜合，需備考綜合復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
1.海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是a、b、c，
則三角形的面積為
其中，這個(gè)公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
我國(guó)南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
2.三倍角公式
，

3.射影定理
，，
4.角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫(kù)斯頓定理）
（4）
5.張角定理
6.倍角定理
在中,三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為,
(1)如果,則有:
(2)如果,則有:
(3)如果,則有:
倍角定理的逆運(yùn)用
在中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為,
(1)如果,則有:。
(2)如果,則有:。
(3)如果,則有:。
7.中線長(zhǎng)定理
為的中線,則中線定理:
證明:
在和中,用余弦定理有:
8.三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考點(diǎn)一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)，則該三角形的面積，這就是著名的“海倫-秦九韶公式”若的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7，則該三角形的面積為．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）
A．B．C．D．1
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三角形的三邊分別為a，b，c，秦九韶公式和海倫公式，其中，是等價(jià)的，都是用來(lái)求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為a，b，c，d，則，其中，為一組對(duì)角和的一半.已知四邊形四條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，6，則四邊形最大面積為（）
A．21B．C．D．
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為、、，則面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式.在中，設(shè)分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，S表示的面積，其公式為.若，，，則 .
考點(diǎn)二、三倍角公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（）
A．B．C．D．
1. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則的最小值為
A.-1 B. C.3 D.
考點(diǎn)三、射影定理及其應(yīng)用
1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別記為a、b、c，若，則．
1．（2023·河南商丘·商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，，則的面積為 .
考點(diǎn)四、角平分線定理及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)，證明：是的角平分線的充要條件是．
2．（2023春·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）在中，角A的角平分線交于點(diǎn)D，且，則等于（）
A．B．
C．D．
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，，則角A的角平分線 .

4．（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角A的大??；
(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長(zhǎng).
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．
2．（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)為的外心，，，的角平分線交于點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．

3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
(1)求；
(2)若在上，是的角平分線，且，求的最小值.
考點(diǎn)五、張角定理及其應(yīng)用
1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點(diǎn).
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長(zhǎng).
2. 在中,角所對(duì)的邊分別為,已知點(diǎn)在邊上,
,則__________
1. 在中,角所對(duì)的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_______
考點(diǎn)六、倍角定理及其應(yīng)用
1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
1．（2023·四川達(dá)州·四川省開江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的三條邊是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且，則的周長(zhǎng)為 .
考點(diǎn)七、中線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用
1．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考）已知中，，，，則邊上的中線長(zhǎng)為（）
A．B．8C．7D．6

2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）（多選）在中，，，則下列判斷正確的是（）
A．的周長(zhǎng)有最大值為21
B．的平分線長(zhǎng)的最大值為
C．若，則邊上的中線長(zhǎng)為
D．若，則該三角形有兩解
1．（2023春·河南·高三聯(lián)考）已知△ABC中，，且△ABC的面積為，則△ABC的邊AB上的中線長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，也是在勾股定理的基礎(chǔ)上，增加了角度要素而成.而對(duì)三角形的邊賦予方向，這些邊就成了向量，向量與三角形的知識(shí)有著高度的結(jié)合.已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊：
(1)請(qǐng)用向量方法證明余弦定理；
(2)若，其中為邊上的中線，求的長(zhǎng)度.

考點(diǎn)八、三角恒等式及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
1．（2023春·浙江臺(tái)州·高三校考期中）在①，②，③的面積為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、單選題
1．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高三校考期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（）
A．1B．2C．D．
2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（）

A．＋B．＋
C．D．＋
3．（2016春·山東濟(jì)寧·高二階段練習(xí)）在平面幾何里有射影定理：設(shè)的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則．拓展到空間，在四面體中，⊥面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空題
4．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則．
5．（2023春·江蘇鹽城·高三?？计谥校┰谥?，角所對(duì)的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長(zhǎng)的最小值為 .
三、解答題
6．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，的角平分線交于點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若，，求的長(zhǎng).
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圓面積為，求的最大值；
(3)若，且的角平分線，求．
8．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高三邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谥校┰谥?，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
(1)求角A的大??；
(2)若是角平分線，求證：.
【能力提升】
1．（2022秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，的角平分線交邊于點(diǎn).
(1)證明：.
(2)若，且的面積為，求的長(zhǎng).
2．（2015·全國(guó)·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
3．（2023春·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分線交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．
4．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)若，證明：；
(2)若，證明：.
5．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范圍．
6．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？既＃┰谥?，角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求證：；
(2)求的最小值.
7．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中,為的角平分線,且.
(1)若,,求的面積;
(2)若,求邊的取值范圍.
【真題感知】
一、單選題
1．（陜西·高考真題）設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為, 若, 則的形狀為（）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定
二、填空題
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．
三、解答題
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
4．（全國(guó)·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
5．（全國(guó)·高考真題）中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．
第11講解三角形中的相關(guān)定理公式綜合
（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）
命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為10-12分
【備考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的應(yīng)用、熟練掌握面積公式的應(yīng)用
2能熟練掌握解三角形中的相關(guān)定理公式進(jìn)行綜合應(yīng)用
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是在新高考卷的命題考查為解答題，?？疾橄嚓P(guān)定理公式綜合，需備考綜合復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
1.海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是a、b、c，
則三角形的面積為
其中，這個(gè)公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
我國(guó)南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
2.三倍角公式
，

3.射影定理
，，
4.角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫(kù)斯頓定理）
（4）
5.張角定理
6.倍角定理
在中,三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為,
(1)如果,則有:
(2)如果,則有:
(3)如果,則有:
倍角定理的逆運(yùn)用
在中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為,
(1)如果,則有:。
(2)如果,則有:。
(3)如果,則有:。
7.中線長(zhǎng)定理
為的中線,則中線定理:
證明:
在和中,用余弦定理有:
8.三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考點(diǎn)一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)，則該三角形的面積，這就是著名的“海倫-秦九韶公式”若的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7，則該三角形的面積為．
【答案】．
【分析】將三邊長(zhǎng)分別代入公式即可求解.
【詳解】解：由題意得
故答案為：
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】對(duì)于，利用正弦定理角化邊可得，繼而化簡(jiǎn)可得，代入“三斜求積”公式即得答案.
【詳解】由得，
由得，
故，
股癬：A
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三角形的三邊分別為a，b，c，秦九韶公式和海倫公式，其中，是等價(jià)的，都是用來(lái)求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為a，b，c，d，則，其中，為一組對(duì)角和的一半.已知四邊形四條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，6，則四邊形最大面積為（）
A．21B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，由已知可推出，即可得出答案．
【詳解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，
∴，又易知，，
則
，
當(dāng)，即時(shí)，有最大值為.
故選：D．
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)若，，得到ac和，代入求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，即，
又，
所以，
所以，
故選：C
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為、、，則面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由公式列出面積的表達(dá)式，代入，然后利用基本不等式可求得結(jié)果
【詳解】由題意得，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以三角形面積的最大值為.
故選:B
3．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式.在中，設(shè)分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，S表示的面積，其公式為.若，，，則 .
【答案】1或
【分析】由正弦定理結(jié)合題設(shè)推得，利用條件解方程可得答案.
【詳解】在中，由正弦定理得,
而，故，結(jié)合可得,
即有，
由，可得，
整理得，解得或，
故或，符合題意，
故答案為：1或
考點(diǎn)二、三倍角公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
方法一：
【分析】將式子中的邊b、c都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即變?yōu)椋捎?，利用均值不等式便可求得其最小?
【詳解】
，即，．
為銳角，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為．
故選：A
方法二：三倍角公式
為銳角，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為．
故選：A
1. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則的最小值為
A.-1 B. C.3 D.
解析:
因?yàn)?所以由正弦定理,得
因?yàn)?所以,
所以,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立,
所以的最小值為3.
故選:C.
考點(diǎn)三、射影定理及其應(yīng)用
1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別記為a、b、c，若，則．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【詳解】，由正弦定理得，
因?yàn)椋?，故?br>由于，故，
則.
故答案為：
1．（2023·河南商丘·商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，，則的面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理以及同角關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可得的值，由面積公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，得?br>又，所以.
因?yàn)?，所以由余弦定理可得，即，所?br>故的面積為.
故答案為：
考點(diǎn)四、角平分線定理及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)，證明：是的角平分線的充要條件是．
【答案】證明見解析
【分析】證明兩個(gè)命題為真：一個(gè)是由是的角平分線證明，一個(gè)是由證明是的角平分線．
【詳解】證明：設(shè)：是的角平分線，：．
如圖，過(guò)點(diǎn)作//交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，
（1）充分性（）：若，則，所以，所以，又△∽△，所以，所以．
（2）必要性（）：反之，若，則∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．
由（1）（2）可得，是的角平分線的充要條件是．
【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明是的充要條件，必須證明兩個(gè)命題為真：即充分性：，必要性：．
2．（2023春·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）在中，角A的角平分線交于點(diǎn)D，且，則等于（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用角平分線定理以及平面向量的線性運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，
所以由正弦定理得，，
又因?yàn)?，?br>所以，即，所以
，即.
故選：D
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，，則角A的角平分線 .

【答案】
【分析】運(yùn)用正弦定理和兩角和差公式求解.
【詳解】
由正弦定理得，都是銳角，
，，
，
在中，由正弦定理得：；
故答案為：.
4．（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）根據(jù)，再利用三角形面積公式得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】（1）由正弦定理可知.
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）由題意知，
所以，
所以，
解得.
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因?yàn)?，解得：?br>由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫海?br>由正弦定理可得，，解得：，，
因?yàn)?，所以，?br>又，所以，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．
2．（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)為的外心，，，的角平分線交于點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算求；對(duì)于C、D：根據(jù)外心的性質(zhì)結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.
【詳解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因?yàn)椋?，為的角平分線，
可知，
則，
可得，
所以，即，
可得，
故A正確，B錯(cuò)誤；
分別取的中點(diǎn)，連接，可知，
因?yàn)闉榈耐庑模瑒t，
，
所以，
故C正確；D錯(cuò)誤.
故選：AC.

3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
(1)求；
(2)若在上，是的角平分線，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)三角形的面積公式以及基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>即，
所以，
而，故，因?yàn)椋?
（2）由題意可知，，
由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
化簡(jiǎn)得，又，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，因此的最小值為.
考點(diǎn)五、張角定理及其應(yīng)用
1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點(diǎn).
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析；(2).
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)是的角平分線,利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，即可證明結(jié)論成立；(2)根據(jù)余弦定理，先求出的值，再利用角平分線和余弦定理，即可求出的長(zhǎng).
試題解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD
根據(jù)正弦定理，在△ABD中，=
在△ADC中，=
∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC
∴=，=
∴=
（2）根據(jù)余弦定理，cs∠BAC=
即cs120°=
解得BC=
又=
∴=，
解得CD=，BD=；
設(shè)AD=x，則在△ABD與△ADC中，
根據(jù)余弦定理得，
cs60°=
且cs60°=
解得x=，即AD的長(zhǎng)為．
2. 在中,角所對(duì)的邊分別為,已知點(diǎn)在邊上,
,則__________
解：如圖
由張角定理得:
即
1. 在中,角所對(duì)的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_______
【解析】如圖:
是的角平分線
由張角定理得:
（當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”）
考點(diǎn)六、倍角定理及其應(yīng)用
1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)范圍即可證明；
（2）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合（1）中的結(jié)論化簡(jiǎn)得，再求出的范圍，從而得到的范圍，最后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是銳角,則
,
（2）令
，
由（1）得.
在銳角三角形中,
，即，,
令,
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
,即的取值范圍是.
1．（2023·四川達(dá)州·四川省開江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知的三條邊是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且，則的周長(zhǎng)為 .
【答案】
【分析】不妨設(shè)，，，由題得，再利用正弦定理余弦定理化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】不妨設(shè)，，
由，即，
所以，
解得，
所以的周長(zhǎng)為.
故答案為：15
考點(diǎn)七、中線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用
1．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考）已知中，，，，則邊上的中線長(zhǎng)為（）
A．B．8C．7D．6

【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】如圖，邊的中點(diǎn)為，
，，，
中，根據(jù)余弦定理，
，
則

故選：C
2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）（多選）在中，，，則下列判斷正確的是（）
A．的周長(zhǎng)有最大值為21
B．的平分線長(zhǎng)的最大值為
C．若，則邊上的中線長(zhǎng)為
D．若，則該三角形有兩解
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，由余弦定理和基本不等式求出，從而得到周長(zhǎng)的最大值；B選項(xiàng)，作出輔助線，表達(dá)出，由基本不等式求出的最值；C選項(xiàng)，由三角恒等變換求出，由正弦定理求出，再在中，由余弦定理求出答案；D選項(xiàng)，判斷出，得到三角形解的個(gè)數(shù).
【詳解】A選項(xiàng)，，故，
變形得到，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的周長(zhǎng)有最大值為，A正確；
B選項(xiàng)，如圖，為三角形的角平分線，故，
過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，
則，設(shè)，則，
，
又，
所以，解得，
由A選項(xiàng)可知，又，故，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，則，
故的平分線長(zhǎng)的最大值為，B正確；
C選項(xiàng)，若，則，
故，
在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
解得，故邊上的中線長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，若，則，
而，則該三角形有兩解，D正確.
故選：ABD
1．（2023春·河南·高三聯(lián)考）已知△ABC中，，且△ABC的面積為，則△ABC的邊AB上的中線長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，結(jié)合面積公式可得，再根據(jù)向量可知，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng).
【詳解】由正弦定理可得：，設(shè)，
由面積公式，即，解得，
則，
設(shè)邊AB上的中線為，則，
可得，
即.
故選：B.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，也是在勾股定理的基礎(chǔ)上，增加了角度要素而成.而對(duì)三角形的邊賦予方向，這些邊就成了向量，向量與三角形的知識(shí)有著高度的結(jié)合.已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊：
(1)請(qǐng)用向量方法證明余弦定理；
(2)若，其中為邊上的中線，求的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）如圖，設(shè)，由三角形法則有，利用數(shù)量積的性質(zhì)展開可得，即可得出結(jié)論.
（2）如圖，由（1）求出的值，兩次在不同三角形中利用即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，設(shè)，

則有，可得，
，
.
（2）由（1）知，
，

如圖，則，，
，
在中，
，
解得.
考點(diǎn)八、三角恒等式及其應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)整理可得，可得，進(jìn)而即得；
（2）由余弦定理可推得，變形即可得出，根據(jù)已知條件，得出的范圍，即可得出，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)得出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
整理可得.
又，所以.
因?yàn)?，所?
（2）由余弦定理可得，于是，，
所以，則，
由正弦定理得.
在銳角中，，則.
又，故，
所以，所以，
所以，，
因此，.
由題意可得恒成立，
于是，.
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
1．（2023春·浙江臺(tái)州·高三?？计谥校┰冖伲?，③的面積為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①，根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；
選②，根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，再利用兩角和的正切公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；
選③，根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，再利用余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】（1）若選①，由及正弦定理，得，
即，
即，
所以，
因?yàn)?所以，
所以，又,
所以．
若選②，由，得
，
∴，
因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，不存在，
所以，又,
所以．
若選③，因?yàn)榈拿娣e為，
所以，
即，
所以，又,
所以．
（2）由（1）知，，
∵內(nèi)切圓半徑為，
∴，即
，
由余弦定理，得，即，
所以，
聯(lián)立，得，解得，
所以．
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、單選題
1．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高三校考期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量平行列方程，利用平方的方法求得.
【詳解】由于向量與平行，
所以，由正弦定理得，
由于所以，
由于，所以.
，兩邊平方得
，
所以.
故選：D
2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（）

A．＋B．＋
C．D．＋
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.
【詳解】分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
3．（2016春·山東濟(jì)寧·高二階段練習(xí)）在平面幾何里有射影定理：設(shè)的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則．拓展到空間，在四面體中，⊥面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用類比推理結(jié)合空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可得正確的結(jié)論.
【詳解】在直角三角形中的射影定理為；（即直角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的積），
所以四面體中可類比得；．（側(cè)面面積的平方等于它在地面上的射影與底面的積），證明如下：
過(guò)作，連接，
因?yàn)槠矫?，而平面，故?br>而，平面，故平面，
而平面，故，
又點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，故平面，
而平面，故，而平面，
故平面，而平面，故，
在平面中，因?yàn)椋?，故共線，
因?yàn)槠矫?，平面，故?br>故在中，有，
而，，，
故，
故選：A.
二、填空題
4．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則．
【答案】
【分析】由題可得，計(jì)算即可.
【詳解】由題得，，
由第一余弦定理知，
所以，
所以，又C為三角形的內(nèi)角
解得，
故答案為：
5．（2023春·江蘇鹽城·高三?？计谥校┰谥?，角所對(duì)的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長(zhǎng)的最小值為 .
【答案】
【分析】先由等式得，再由的面積為得到，
結(jié)合圖象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理得，整理得，即，
因，所以，得，
則，
因?yàn)?，所?

如圖，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，在中，由余弦定理，得，又，
所以
由得代入上式，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以AC邊上中線長(zhǎng)的最小值為.
故答案為：.
三、解答題
6．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，的角平分線交于點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若，，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面積公式求得正確答案.
（2）先求得，然后利用余弦定理列方程來(lái)求得.
【詳解】（1）依題意，的角平分線交于點(diǎn)，
所以.
（2）設(shè)到的距離為，
由（1）得，所以，.
依題意，
由余弦定理得，
整理得，所以.
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圓面積為，求的最大值；
(3)若，且的角平分線，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得，由余弦邊角關(guān)系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圓半徑，由（1）得，進(jìn)而求得，應(yīng)用余弦定理、基本不等式求最值，注意等號(hào)成立條件.
（3）利用等面積法得，由二倍角余弦公式求，即可求結(jié)果.
【詳解】（1）由題知，即，
由，解得．
（2）由外接圓面積為得外接圓半徑，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立．
所以ac的最大值為．
（3）因?yàn)锽D是的角平分線，則，
所以的面積，
所以，則，
由，所以，解得（負(fù)值舍去），
綜上，．
8．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高三邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谥校┰谥校瑑?nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分線，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案；
（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，利用展開化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由，由正弦定理可得，
因?yàn)?，可得，所以，即?br>又因?yàn)椋傻?
（2）因?yàn)槭墙瞧椒志€，且，所以，
所以，
可得，
可得，
所以，所以，
即.
【能力提升】
1．（2022秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，的角平分線交邊于點(diǎn).
(1)證明：.
(2)若，且的面積為，求的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）首先設(shè)，，得到，，再利用正弦定理證明即可.
（2）設(shè)，所以，設(shè)，根據(jù)的面積為，得到，，再利用余弦定理求解即可.
（1）
如圖所示：
設(shè)，，則，.
在和中分別運(yùn)用正弦定理，得，，
所以，即，
又因?yàn)?，故，?
（2）
設(shè)，所以，設(shè).
由，可得.
所以.
因?yàn)椋?，所以?br>又，所以.
又，所以，
所以，
所以.
2．（2015·全國(guó)·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：（Ⅱ）由誘導(dǎo)公式可得由（Ⅰ）知,
所以
試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得因?yàn)锳D平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因?yàn)?br>所以由（I）知,
所以
考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,意在考查考生的三角變換能力及運(yùn)算能力.
3．（2023春·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分線交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)將化成，然后結(jié)合正弦定理求解；
(2)運(yùn)用等面積法先表示出，然后結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解線段長(zhǎng)度的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
由正弦定理得，即 ,
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由余弦定理得，即
所以，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）
因?yàn)椋?br>所以，
解得,
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
所以長(zhǎng)度的最大值為．
4．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)若，證明：；
(2)若，證明：.
【答案】(1)見詳解；
(2)見詳解.
【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊，整理即可；
（2）根據(jù)正弦定理推得，即可得到.通過(guò)分析，可得以及，代入，整理可得到，令，構(gòu)造，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減.進(jìn)而得到.
【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，，所以，
由余弦定理及其推論可得，，，
所以，由已知可得，，
即，
因?yàn)?，所?
（2）證明：由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因?yàn)?，所?
由（1）知，，則，
又由正弦定理可得，
，
又，則，
將以及代入可得，
，
整理可得，，
因?yàn)?，，，所以，則.
令，則，，
則，
所以，當(dāng)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.
所以，，即.
綜上所述，.
5．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)和差化積公式與倍角公式推得，從而得到，由此得解；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用余弦定理與基本不等式即可得解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?，故?br>又，所以，
因?yàn)椋裕?br>（2）由（1）得，
所以由余弦定理得，
記，則，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，
故，則，
所以，即．
6．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？既＃┰谥校撬鶎?duì)的邊分別為，且.
(1)求證：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值為
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和兩角和差正弦化簡(jiǎn)即可證明.
（2）將問題轉(zhuǎn)化，根據(jù)第一問解得，然后結(jié)合不等式求解.
【詳解】（1）在中，，
由正弦定理得，
又，
因?yàn)?
所以,
所以,又,
所以，且,
所以，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即，且，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
7．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中,為的角平分線,且.
(1)若,,求的面積;
(2)若,求邊的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到的長(zhǎng),再利用三角形的面積公式求解即可;
（2）設(shè),,根據(jù)得到,在中,利用余弦定理得到,由兩者相等結(jié)合的取值范圍即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）設(shè),,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因?yàn)榍?
得,
則,
所以,
即邊的取值范圍為.
【真題感知】
一、單選題
1．（陜西·高考真題）設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為, 若, 則的形狀為（）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
二、填空題
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因?yàn)?，解得：?br>由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：?br>由正弦定理可得，，解得：，，
因?yàn)椋?，?br>又，所以，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．
三、解答題
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【答案】(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡(jiǎn)得：
，故原等式成立．
4．（全國(guó)·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：（Ⅱ）由誘導(dǎo)公式可得由（Ⅰ）知,
所以
試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得因?yàn)锳D平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因?yàn)?br>所以由（I）知,
所以
考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,意在考查考生的三角變換能力及運(yùn)算能力.
5．（全國(guó)·高考真題）中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）1
【詳解】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用三角形的面積公式求解；（2）借助題設(shè)余弦定理立方程組求解.
試題解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
設(shè)，則，
在△與△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考點(diǎn)：三角形的面積公式正弦定理余弦定理等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．

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