高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題(高階拓展)（核心考點精講精練）(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)的理解。
奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的lg相似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學(xué)習(xí)。
知識講解
奔馳定理
如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.
由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內(nèi)的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.
已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.
④若為的垂心，則，或
研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
考點一、奔馳定理與四心問題綜合
1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心
2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
1．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谀┤羰莾?nèi)一點，，則是的（）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，若，則點H是的（）
A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心
3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
4．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點，且點滿足則點一定的（）
A．外心B．重心C．內(nèi)心D．垂心
考點二、奔馳定理與其他問題綜合
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內(nèi)心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，分別是的三個內(nèi)角，以下命題不正確的有（）
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若，，則
D．若O為的垂心，則
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，、、分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則
B．，，，則
C．若為的內(nèi)心，，則
D．若為的重心，則
【能力提升】
一、單選題
1．（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
2．（2022·高三課時練習(xí)）已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
3．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考期末）點為所在平面內(nèi)的點，且有，，，則點分別為的（）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，內(nèi)心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
4．（2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┮阎c，，在所在平面內(nèi)，且，，，則點，，依次是的（）
A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心
C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心
5．（2023春·天津·高三天津市第四十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知三個不共線的向量滿足，則為的（）
A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的（）
A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心
二、多選題
7．（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，在所在的平面內(nèi)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．為的外心
B．為的垂心
C．為的內(nèi)心
D．為的重心
8．（2023春·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為所在平面上一點，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，則正確的是（）
A．為的外心
B．為的重心
C．為的垂心
D．為的內(nèi)心
9．（2023春·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若，，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
10．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點，∠，∠，∠分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則
B．若，，且，則
C．若，則為的垂心
D．若為的內(nèi)心，且，則
11．（2023春·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（）
A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點，且點到三邊的距離分別是，則有
B．若為內(nèi)一點，且，則是的內(nèi)心
C．若為內(nèi)一點，且，則
D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則
12．（2023春·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若，，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
13．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谀┢矫嫦蛄恐杏幸粋€優(yōu)美的結(jié)論，有趣的是，這個結(jié)論對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg非常相似，該結(jié)論如下：如圖，已知是內(nèi)部一點，將，，的面積分別記為，，，則.根據(jù)上述結(jié)論，下列命題中正確的有（）

A．若，則
B．若，則
C．若為的內(nèi)心，且，則
D．若為的垂心，則
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點O滿足.則（）
A．O為的外心B．
C．D．
15．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？计谀氨捡Y定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的是（）．
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則
D．若，，，則
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若，，則
D．若O為的垂心，則
三、填空題
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，，，，則等于_______
A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6
18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點O，N，P依次是的（填三角形的四心）
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機械化，而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標(biāo)之一（圖一）.已知為內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，則有，我們稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，為內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若，則的最大值為 .
第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題
（高階拓展）（核心考點精講精練）
平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)的理解。
奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的lg相似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學(xué)習(xí)。
知識講解
奔馳定理
如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.
由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內(nèi)的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.
已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.
④若為的垂心，則，或
研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
考點一、奔馳定理與四心問題綜合
1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心
【答案】C
【詳解】試題分析：因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

考點：向量在幾何中的應(yīng)用.
2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】，
令，
則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，
即在的平分線上，
，共線，
故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，
故選：B
1．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)校考期末）若是內(nèi)一點，，則是的（）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法則，結(jié)合重心定義判斷作答.
【詳解】取線段的中點，連接，則，而，

因此，即三點共線，線段是的中線，且是靠近中點的三等分點，
所以是的重心.
故選：D
2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，若，則點H是的（）
A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的運算結(jié)合向量垂直分析判斷.
【詳解】因為，則，
所以，即點H在邊的高線所在直線上，
同理可得：，
所以點H為的三條高線的交點，即點H是的垂心.
故選：A.
3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】由題設(shè)條件得到，從而判斷出點P在的平分線上，由此得到點的軌跡一定通過的內(nèi)心.
【詳解】分別表示方向的單位向量，
令，，
則，即，
又，以為一組鄰邊作一個菱形，則點P在該菱形的對角線上，
所以點P在，即的平分線上，故動點P的軌跡一定通過的內(nèi)心.
故選：B.

4．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點，且點滿足則點一定的（）
A．外心B．重心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】C
【分析】表示與的角平分線垂直的向量，因為與垂直，所以平行于的角平分線，即點位于的角平分線上，同理可得，點位于的角平分線上以及的角平分線上，即點是的角平分線的交點，因此點是的內(nèi)心.
【詳解】因為，所以，
即，
即可得，即是的角平分線；
同理可得是的角平分線，是的角平分線,
所以點為三條角平分線的交點，即點是的內(nèi)心.
故選：C
考點二、奔馳定理與其他問題綜合
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，利用同底的兩個三角形面積比推得即可求解作答.
【詳解】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，如圖，
則，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔馳定理”有，
則，而與不共線，有，，即，
所以.
故選：A
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延長交于點P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設(shè)，利用可求出的值，從而可求出的值.
【詳解】延長交于點P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨設(shè)，其中．
，
，解得．
當(dāng)時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．
故，則，故C為銳角，
∴，解得，
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的線性運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件得，設(shè)，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結(jié)果，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內(nèi)心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
【答案】AB
【分析】對于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；
對于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點到的距離相等.
對于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.
對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.
【詳解】對于A：如圖所示：因為分別為的中點，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因為，
所以.正確；
對于B：記點到的距離分別為，，
因為，
則，
即，
又因為，所以，所以點是的內(nèi)心，正確；
對于C：因為，
所以，所以，
所以，
所以，
化簡得：，
又因為不共線，
所以，所以，
所以，錯誤；
對于D：因為是的外心，，所以,，
所以，
因為，則，
化簡得：，由題意知同時為負(fù)，
記，，則，
因為，所以，
所以，
所以，錯誤.
故答案為：AB.
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，分別是的三個內(nèi)角，以下命題不正確的有（）
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若，，則
D．若O為的垂心，則
【答案】C
【分析】對于A，假設(shè)為的中點，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計算出，可得C錯誤；選項D，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角的互補關(guān)系得結(jié)論.
【詳解】對于A：如下圖所示，
假設(shè)為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：
由奔馳定理O是內(nèi)的一點，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：
由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C錯誤；
對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，
同理，，
因為O為的垂心，則，
所以，同理得，，
則，
令，
由，則，
同理：，，
綜上，，
根據(jù)奔馳定理得，即D正確.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得，結(jié)合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.
【詳解】∵是的垂心，延長交與點，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨設(shè)，其中，
∵，
∴，解得或，
當(dāng)時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.
故，則，∴是銳角，，
于是，解得.
故選：A.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，、、分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則
B．，，，則
C．若為的內(nèi)心，，則
D．若為的重心，則
【答案】ACD
【分析】利用“奔馳定理”可判斷A選項；求出，結(jié)合“奔馳定理”可判斷B選項；利用“奔馳定理”可得出的值，結(jié)合勾股定理可判斷C選項；利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合“奔馳定理”可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為，由“奔馳定理”可知，A對；
對于B選項，由，，可知，
又，所以，
由可得，，，
所以，B錯；
對于C選項，若為的內(nèi)心，，則，
又（為內(nèi)切圓半徑），
所以，，故，C對；
對于D選項，如下圖所示，
因為為的重心，延長交于點，則為的中點，
所以，，，且，，
所以，，由“奔馳定理”可得，D對.
故選：ACD.
【能力提升】
一、單選題
1．（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】C
【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，
即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，
故點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.
故選：C.
2．（2022·高三課時練習(xí)）已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】在，上分別取點，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據(jù)平面向量線性運算法則及共線定理得到，，三點共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.
【詳解】在，上分別取點，，使得，，則．
以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．
為的平分線．
，
即，
．
，，三點共線，即在的平分線上．
同理可得在其它兩角的平分線上，
是的內(nèi)心．
故選：B．
3．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考期末）點為所在平面內(nèi)的點，且有，，，則點分別為的（）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，內(nèi)心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】A
【分析】由題中向量的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積轉(zhuǎn)化為位置上的關(guān)系，進而可判斷.
【詳解】由，得，
即，
則，
得
所以，則，同理可得，，
即是三邊上高的交點，則為的垂心；
由，得，
設(shè)的中點為，則，即，，三點共線，
所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，
即是三邊中線的交點，故為的重心；
由，得，即，
又是的中點，所以在的垂直平分線上，
同理可得，在，的垂直平分線上，
即是三邊垂直平分線的交點，故是的外心，
故選：A
4．（2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）已知點，，在所在平面內(nèi)，且，，，則點，，依次是的（）
A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心
C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的運算逐個分析判斷即可
【詳解】由，得，
所以，設(shè)的中點為，連接，則，
所以，所以點在邊上的中線上，同理可得也在的中線上，
所以點是的重心，
由，得，所以到的三個頂點的距離相等，所以為的外心，
由，得，所以，
所以，所以，同理得，所以為的垂心，
故選：A
5．（2023春·天津·高三天津市第四十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知三個不共線的向量滿足，則為的（）
A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】根據(jù)題意和向量加法的平行四邊形法則作出幾何圖形，得到四邊形是菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)可得在的角平分線上，從而可得出為內(nèi)心．
【詳解】如圖所示，在上取點，在延長線上取點，使得，
可得，以為鄰邊作平行四邊形，
則,
因為，所以平行四邊形是菱形，所以，
過點作的平行線交于點，
因為，即，所以，所以點在上，
因為，所以，
由菱形的性質(zhì)可得，所以，
所以為的角平分線，所以在的角平分線上，
同理可得：在的角平分線上，故在的角平分線上，
所以為的內(nèi)心.
故選：A.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的（）
A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形外心、重心和垂心的定義，結(jié)合向量的模、向量的運算、數(shù)量積及運算律判斷即可.
【詳解】因為，所以O(shè)到頂點，，的距離相等，
所以為的外心；
由得，即，所以，
同理可證，所以為的垂心；
若，則，取的中點，
則，所以，所以是的重心.
故選：.
二、多選題
7．（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，在所在的平面內(nèi)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．為的外心
B．為的垂心
C．為的內(nèi)心
D．為的重心
【答案】BD
【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，線性運算及三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．
【詳解】由題意，
所以，
即＝0，所以，
同理可得：，，
所以M為的垂心；A錯誤,B正確；
因為所以，
所以，
設(shè)AB的中點D，則，
所以，
所以C，N，D三點共線，即N為的中線CD上的點，且，
所以N為的重心,C錯誤,D正確.
故選:BD.
8．（2023春·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為所在平面上一點，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，則正確的是（）
A．為的外心
B．為的重心
C．為的垂心
D．為的內(nèi)心
【答案】BCD
【分析】由三角形四心的定義，利用向量共線定理、向量垂直的幾何意義和平面幾何的知識，即可得出結(jié)果.
【詳解】對于A：當(dāng)為三角形的外心，取的中點，，則，，即，
反之，若，取的中點，則，即，
即，只能得到在的垂直平分線上，不能得到為三角形的外心，故A錯誤；
對于B：當(dāng)為三角形的重心，為中線的交點，延長交于點，
可得，所以，.
反之，取的中點，若，則，
則可得，，三點共線且，即為三角形的重心，故B正確；
對于C：當(dāng)為三角形的垂心，，
同理可證，即，反之也成立，故C正確；
對于D：當(dāng)為三角形的內(nèi)心，為三角形的角平分線，則，，
如圖過A作CF的平行線交BE的延長線于點N，過A作BE的平行線交CF于點M，
則四邊形為平行四邊形，
，
所以，反之也成立，故D正確；
故選：BCD
9．（2023春·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若，，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
【答案】ABD
【分析】對A，取BC的中點D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進而即可判斷A；
對B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；
對C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，，，從而可用表示出，，，進而即可判斷C；
對D，延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，，則，，代入即可求解，進而即可判斷D．
【詳解】對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，
由，則，
所以，
所以A，M，D三點共線，且，
設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，
所以為的重心，故A正確；
對于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則有，，，
所以，
即，故B正確；
對于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，
又，，
則有，，，
所以，
，
，
所以，故C錯誤；
對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，
由為的垂心，，則，
又，則，，
設(shè)，，則，，
所以，即，
所以，所以，故D正確；
故選：ABD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答D選項的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，，得到，，進而即可求解．
10．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點，∠，∠，∠分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則
B．若，，且，則
C．若，則為的垂心
D．若為的內(nèi)心，且，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意得到，A錯誤，計算，根據(jù)比例關(guān)系得到B正確，確定得到C正確，根據(jù)面積公式得到，得到D正確，得到答案.
【詳解】對選項A：，則，錯誤；
對選項B：，，
故，，正確；
對選項C：，即，故，
同理可得，，故為的垂心，正確；
對選項D：，故，設(shè)內(nèi)接圓半徑為，
，，，即，
即，，正確.
故選：BCD
11．（2023春·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（）
A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點，且點到三邊的距離分別是，則有
B．若為內(nèi)一點，且，則是的內(nèi)心
C．若為內(nèi)一點，且，則
D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則
【答案】ACD
【分析】若是等邊三角形，設(shè)其高為，用和表示出，代入奔馳定理，化簡即可判斷A；由及奔馳定理，根據(jù)平面向量基本定理即可得出，即可判斷B；由得出，結(jié)合奔馳定理，根據(jù)平面向量基本定理得出，即可判斷C；點是的垂心，得出，，，代入奔馳定理即可判斷D．
【詳解】因為為內(nèi)任意一點，所以兩兩不共線；
對A：是等邊三角形，設(shè)其高為，
則，，，
代入奔馳定理得，，
即，故A正確；
對B：由且，根據(jù)平面向量基本定理得，則是的重心，故B不正確；
對C：，即，
又，
由平面向量基本定理得，故C正確；
對D：由點是的垂心，則，
所以，同理可得，，，
代入，
得，
即，故D正確；
故選：ACD．
12．（2023春·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若，，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
【答案】ABD
【分析】對A，取BC的中點D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進而即可判斷A；
對B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；
對C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，，，從而可用表示出，，，進而即可判斷C；
對D，延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，，則，，代入即可求解，進而即可判斷D．
【詳解】對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，
由，則，
所以，
所以A，M，D三點共線，且，
設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，
所以為的重心，故A正確；
對于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則有，，，
所以，
即，故B正確；
對于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，
又，，
則有，，，
所以，
，
，
所以，故C錯誤；
對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，
由為的垂心，，則，
又，則，，
設(shè)，，則，，
所以，即，
所以，所以，故D正確；
故選：ABD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答D選項的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，，得到，，進而即可求解．
13．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谀┢矫嫦蛄恐杏幸粋€優(yōu)美的結(jié)論，有趣的是，這個結(jié)論對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg非常相似，該結(jié)論如下：如圖，已知是內(nèi)部一點，將，，的面積分別記為，，，則.根據(jù)上述結(jié)論，下列命題中正確的有（）

A．若，則
B．若，則
C．若為的內(nèi)心，且，則
D．若為的垂心，則
【答案】BCD
【分析】對于A，由奔馳定理即可直接判斷；
對于B，結(jié)合平面向量的線性運算可得，進而由奔馳定理即可直接判斷；
對于C，由奔馳定理可得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，結(jié)合面積公式可得，進而結(jié)合勾股定理即可求解；
對于D，結(jié)合為的垂心，可得，，，進而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得，進而求解即可.
【詳解】對于A，由奔馳定理可得，故A錯誤；
對于B，由，即，
整理得，由奔馳定理可得，故B正確；
對于C，由，可得，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，即,
所以，即，故C正確；
對于D，，，，
因為為的垂心，
所以，，，
又，
，
,
所以，即，
同理可得，
所以，
所以，
由奔馳定理可知D正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于理解題意，由得到，進而結(jié)合平面向量的數(shù)量積及線性運算求解即可.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點O滿足.則（）
A．O為的外心B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由確定出點O是三角形的垂心，判斷A；利用直角三角形角的關(guān)系、邊角關(guān)系計算判斷B，C；由直角三角形邊角關(guān)系計算判斷D作答.
【詳解】依題意，，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，則O為的垂心，A錯誤；
如圖，直線分別交AB，AC于P，Q，由選項A知，，
，，則，
又，即有，又，
因此，B正確；
由選項B知，，同理，
，
同理可得，因此，C正確；
，
同理可得，所以，D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及直角三角形銳角的三角函數(shù)，合理利用直角三角形中邊的比表示是解題的關(guān)鍵.
15．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？计谀氨捡Y定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的是（）．
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則
D．若，，，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量的線性運算結(jié)合三角形重心判斷A；結(jié)合“奔馳定理”即可判斷B；根據(jù)三角形垂心性質(zhì)，推出，結(jié)合“奔馳定理”判斷C；求出，結(jié)合“奔馳定理”可得，從而求得，判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)的中點為D，則，

即三點共線，則，
設(shè)為的中點，同理可得，
故O為的重心，A正確；
對于B，若，結(jié)合，
可知，B正確；
對于C，，，
，
又O為（不為直角三角形）的垂心，設(shè)延長后交與G，則,
同理，則，
即，
同理，

故，同理，
又，
，
又O為（不為直角三角形）的垂心，
則，
故，即，
同理，
則
，
同理，
故
，
又，可得，C正確；
對于D，中，，，則，
又，故，
則，
故，D錯誤，
故選：ABC
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題題意比較新穎，綜合考查了向量知識的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是能靈活應(yīng)用向量知識，比如三角形“心”的向量表示，結(jié)合“奔馳定理”進行解答.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若，，則
D．若O為的垂心，則
【答案】ABD
【分析】A若為的中點，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；B、C將三角形補成一個以O(shè)為重心的三角形，根據(jù)向量的線性關(guān)系求出相關(guān)三角形面積的數(shù)量關(guān)系，即可得結(jié)論；D由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角的互補關(guān)系得結(jié)論.
【詳解】A：若為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在其它兩中線上，故O為的重心，正確；
B：若，由題設(shè)知，即O為的重心，
所以，，，，
則，正確；
C：由題設(shè)，若，
所以，即O為的重心，則，
而，則，故，，
所以，錯誤；
D：由，則，
同理，，
因為O為的垂心，則，
所以，
同理得：，，
則，
令，
由，則，
同理：，
，
綜上，，
由已知可得，正確.
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角形重心的性質(zhì)判斷A、B、C，應(yīng)用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式判斷結(jié)論.
三、填空題
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，，，，則等于_______
A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6
【答案】19:4
【分析】先根據(jù)向量的線性運算得到，然后再利用奔馳定理即可求解.
【詳解】由可得：,
整理可得：，
由可得，整理可得：，
所以，整理得：，
由奔馳定理可得：
18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點O，N，P依次是的（填三角形的四心）
【答案】外心、重心、垂心
【分析】由結(jié)合外接圓的性質(zhì)得出O是外接圓的圓心，取中點，利用向量運算確定為三邊中線的交點，從而判斷為重心，由得出，即，再由判斷是三角形的垂心.
【詳解】由題：，所以O(shè)是外接圓的圓心
取中點，，，即所在直線經(jīng)過中點，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點，即重心
，，，
即，同理可得，即P是三角形的垂心.
故答案為：外心、重心、垂心
【點睛】方法點睛：1、是的重心；2、是的外心；3、是的垂心
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）
【答案】外心
【分析】為中點，連接，計算，，得到，得到答案.
【詳解】如圖所示：為中點，連接，
，
，故，
即，故的軌跡一定經(jīng)過的外心.
故答案為：外心
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機械化，而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標(biāo)之一（圖一）.已知為內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，則有，我們稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，為內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若，則的最大值為 .
【答案】/.
【分析】根據(jù)內(nèi)心特點可知，利用向量線性運算進行轉(zhuǎn)化可求得，，則；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【詳解】為的內(nèi)心，，，
，
，，
即，，；
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
的最大值為.
故答案為：.

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