高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

這是一份高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)，共97頁。

命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為10-12分
【備考策略】1會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題
2會(huì)利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。
知識(shí)講解
解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)
1. 基本不等式
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，
叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：（積定和最?。?，應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”
2. 輔助角公式及三角函數(shù)值域
形如，，其中，
對于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)?，有時(shí)也會(huì)結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍
3. 三角形中的邊角關(guān)系
（1）構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊
（2）在三角形中，大邊對大角，小邊對小角
（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系:
即
注意：在銳角中，任意一個(gè)角的正弦大于另一個(gè)角的余弦，如。
事實(shí)上，由，即得。由此對任意銳角，總有。
考點(diǎn)一、面積類最值及范圍問題
1．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，，，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.

2．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對邊長，，且．
(1)求角的值；
(2)求面積的取值范圍．
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
(1)求的取值范圍；
(2)若是邊上的一點(diǎn)，且，，求面積的最大值．
2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．
(1)求角的大?。?br>(2)若，求面積的取值范圍．
考點(diǎn)二、周長類最值及范圍問題
1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若，求周長的取值范圍.
1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
2．（2023·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若.
(1)求；
(2)若，求周長的取值范圍.
考點(diǎn)三、邊長和差類最值及范圍問題
1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎膬?nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且，求的取值范圍．
2．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范圍．
1．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥?，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．
2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是 ．
考點(diǎn)四、邊長積商類最值及范圍問題
1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點(diǎn)．
(1)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范圍．
1．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
2．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．
考點(diǎn)五、中線及高線類最值及范圍問題
1．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若．
(1)求角；
(2)若，求邊上的高的取值范圍．
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┰阡J角中，設(shè)邊所對的角分別為，且．
(1)求角的取值范圍；
(2)若，求中邊上的高的取值范圍．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，，．
(1)求．
(2)求邊上的高的取值范圍．
3．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大??；
(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．
4．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
考點(diǎn)六、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題
1．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.
(1)求的外接圓半徑；
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．
1．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）如圖，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．
(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．
2．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；
(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．
考點(diǎn)七、角度類最值及范圍問題
1．（2023·海南海口·?？寄M預(yù)測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023春·上海寶山·高一?？计谥校┤绻娜叀?、滿足，則角的取值范圍為 ．
考點(diǎn)八、正余弦類最值及范圍問題
1．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）在中，，則的范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考三模）已知分別為銳角ABC內(nèi)角的對邊，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
3．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？既＃┰谥?，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
(1)求角A的大??；
(2)求的取值范圍.
5．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在中，角的對邊分別為，已知.
(1)求角的大?。?br>(2)求的取值范圍.
2．（2023·廣東廣州·廣州六中?？既＃┯浀膬?nèi)角的對邊分別為，已知為鈍角，.
(1)若，求；
(2)求的取值范圍.
3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的三個(gè)角所對的邊分別為，，.
(1)若，，，求；
(2)若為銳角三角形，且三個(gè)角依次成等差數(shù)列，求的取值范圍.
4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
考點(diǎn)九、向量類最值及范圍問題
1．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．
(1)求；
(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點(diǎn)，求的取值范圍．
A
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為 ．
2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的取值范圍是 .
3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.
(1)求角的大小和邊的取值范圍；
(2)如圖，若是的外心，求的最大值.
考點(diǎn)十、參數(shù)類最值及范圍問題
1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）在銳角中，角所對的邊分別為，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（ ）.
A．B．C．D．
二、填空題
2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為 ．
三、解答題
3．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
4．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范圍.
5．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角C的大??；
(2)若，求c的取值范圍．
6．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求證：；
(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．
7．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周長的取值范圍.
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周長的取值范圍．
9．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中?？级＃┮阎獌?nèi)角所對的邊長分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知為銳角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．
【能力提升】
1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長的取值范圍.
2．（2023·河北·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.
(1)證明：外接圓的半徑為；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列.
(1)若，的面積為2，求的周長；
(2)求的取值范圍.
5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為且，
(1)求；
(2)求邊上中線長的取值范圍．
7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記銳角內(nèi)角的對邊分別為.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考一模）已知在中，角，，的對邊分別是，，，面積為，且_____．
在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．
(1)求；
(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長的取值范圍．
9．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記銳角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．
10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.
11．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大??；
(2)求的取值范圍．
12．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．
(1)求證：；
(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
【真題感知】
一、單選題
1．（四川·高考真題）在ABC中，．則的取值范圍是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
二、雙空題
2．（北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B= ；的取值范圍是 .
三、解答題
3．（全國·高考真題）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范圍.
4．（全國·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
5．（江西·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．
（1）求角的大?。?br>（2）若，求的取值范圍．
6．（浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大??；
（II）求csA+csB+csC的取值范圍．
第09講 解三角形中的最值及范圍問題
（核心考點(diǎn)精講精練）
命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為10-12分
【備考策略】1會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題
2會(huì)利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。
知識(shí)講解
解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)
1. 基本不等式
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，
叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：（積定和最?。?，應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”
2. 輔助角公式及三角函數(shù)值域
形如，，其中，
對于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)椋袝r(shí)也會(huì)結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍
3. 三角形中的邊角關(guān)系
（1）構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊
（2）在三角形中，大邊對大角，小邊對小角
（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系:
即
注意：在銳角中，任意一個(gè)角的正弦大于另一個(gè)角的余弦，如。
事實(shí)上，由，即得。由此對任意銳角，總有。
考點(diǎn)一、面積類最值及范圍問題
1．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，，，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，從而求得.
（2）解法一：由（1）求得，
，從而，再利用，即可求得面積的取值范圍；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分別求出，，利用即可求得范圍.
【詳解】（1）在中，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以.
（2）解法一：由（1）可知，
，
因?yàn)闉殇J角，
所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以
，
，
因?yàn)椋?br>且為銳角三角形，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，
即，
所以的面積的取值范圍為.

解法二：由（1）可知，
，
因?yàn)闉殇J角，所以，，
如圖，作于，作于，交于，

所以，
，
所以，
又，
所以.
由圖可知，
僅當(dāng)在線段上（不含端點(diǎn)）時(shí)，為銳角三角形，
所以，即.
所以面積的取值范圍為.
2．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對邊長，，且．
(1)求角的值；
(2)求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，用正弦定理進(jìn)行化簡，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；
（2）由正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由條件，可得，
由正弦定理，得，所以，
所以，因?yàn)椋裕?br>（2）由正弦定理，可知，
，
∵，∴，∴.
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
(1)求的取值范圍；
(2)若是邊上的一點(diǎn)，且，，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理對已知等式化簡可得，則可求出角，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可得，然后求出角的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意可得，兩邊平方化簡后再利用基本不等式可求出的最大值，從而可求出面積的最大值．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>故，
整理得到：即，
故，而為三角形內(nèi)角，故，
所以，
故，而為銳角三角形內(nèi)角，故.
，
因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，故，
故，故，
故.
（2）由題設(shè)可得，故，
整理得到：，
故，即，
整理得到：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故.
故三角形面積的最大值為.
2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡等式，可以得到角.
（2）根據(jù)勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.
【詳解】（1）由正弦定理知，，
∵，∴，
∴，
化簡得，
，（其中舍去），即．
（2）由（1）知，則，
那么的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），
則面積的取值范圍為．
考點(diǎn)二、周長類最值及范圍問題
1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將表示為角的形式，結(jié)合三角恒等變換以及三角函數(shù)的值域等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】，
由正弦定理得，
，
由于，
所以，
所以，
由于，所以，所以，
所以，則，
函數(shù)的開口向上，對稱軸為，
所以.
故選：A
2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦定理得，再根據(jù)的范圍即可得到答案；
（2）利用正弦定理得，再利用三角恒等變換得，再根據(jù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可得到范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，可得?br>所以由正弦定理可得，
又為三角形內(nèi)角，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
則，
，
1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先應(yīng)用正弦定理用角表示邊長，再根據(jù)銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數(shù)的值域即得.
【詳解】（1）在中，由射影定理得，
則題述條件化簡為，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
則周長，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)闉殇J角三角形，，
則得，
故．
2．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若.
(1)求；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及正弦定理角化邊，再利用余弦定理，可求出，由已知條件得出角的范圍，
進(jìn)而求出角即可以求出的值.
（2）由，的值，利用正弦定理求出，進(jìn)而表示出三角函數(shù)的周長，利用三角形的內(nèi)角和
定理及兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出周長的取值范圍.
【詳解】（1）由及正弦定理，
得即.
所以，由為銳角， 得，
所以.
（2）由得.
∴得周長.
，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
即.
所以周長的取值范圍為.
考點(diǎn)三、邊長和差類最值及范圍問題
1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎膬?nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角C；
（2）設(shè)，由正弦定理，把表示成的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍.
【詳解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；
又，則，所以，
則有，又因?yàn)?，則，即；
（2）設(shè)，則中，由可知，
由正弦定理及可得，
所以，，
所以，
由可知，，，
所以．
即的取值范圍.
2．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先利用余弦定理得到，根據(jù)邊的關(guān)系得到AB⊥DB，進(jìn)而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；
(2) 設(shè)∠ADB=θ，利用余弦定理分別求出,相加后整理變形得到關(guān)于角的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）在△ABD中，因?yàn)椋珼A=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此時(shí)Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．
在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．
（2）設(shè)∠ADB=θ，由題意可知，
在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?，?br>所以的取值范圍是．
1．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥?，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由立方差公式及余弦定理求出，由將弦化切，利用兩角和的正弦公式求出，從而求出，最后根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得；
（2）由正弦定理得到，再轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻茫?br>即，因?yàn)椋裕?br>所以，因?yàn)椋裕?br>由，所以，
所以，所以，
即，所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以
.
（2）因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，
所以，解得，
又，由正弦定理，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>即邊長的取值范圍為.
2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意利用可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律整理得，設(shè)，代入結(jié)合一元二次方程求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，則，
可得，
即，整理得，
設(shè)，則，
可得，整理得，
關(guān)于的方程有正根，則有：
①當(dāng)，即時(shí)，則，解得；
②當(dāng)，即時(shí)，則，解得或（舍去），符合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，則，解得；
綜上所述：，即的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)三角形中線長度問題的求解，可考慮利用向量運(yùn)算來建立關(guān)系式.有關(guān)三角形邊長的和、差的取值范圍，可考慮余弦定理（或正弦定理），結(jié)合基本不等式（或三角函數(shù)的取值范圍）等知識(shí)來求解.
考點(diǎn)四、邊長積商類最值及范圍問題
1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】ACD
【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：
，
即有，而，則，
又，
由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，
由正弦定理有：，即，，
又是銳角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以，
結(jié)合選項(xiàng)，的可能取值為，，.
故選：ACD
2．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點(diǎn)．
(1)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)三個(gè)條件任選其一都有
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再對等式進(jìn)行化簡，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求出其大?。?br>（2）運(yùn)用角平分線的條件求出，然后利用面積公式求出的取值范圍．
【詳解】（1）選①，
因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得．
即，
故 ，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以．
選②，
由及正弦定理，得
，
即，
，
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以，即．
又，所以，所以．
選③，
由及正弦定理，得
，
即．
因?yàn)?，所以，所以?br>又，所以．
（2）因?yàn)锽D平分，所以，
在中，，即，
在中，，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，故．
因?yàn)?，，?br>所以，
又，
所以．
又，所以，
所以，
所以，，
即的取值范圍為．
1．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知，由最小正周期為可得，即可知，再利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
（2）根據(jù)三角形形狀可得，再由正弦定理得，又，所以.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>則，
，
故，
因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，所以，故?br>由，，解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又為銳角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，則，
所以.
2．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再應(yīng)用兩角和差公式計(jì)算求解即可；
（2）先應(yīng)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合二倍角公式及輔助角公式化簡，最后根據(jù)余弦型函數(shù)求值域可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以或（舍去）．
所以，結(jié)合，得．
（2）由（1）得:
．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以B，C均為銳角，
即，，所以，
所以，，
所以的取值范圍是．
考點(diǎn)五、中線及高線類最值及范圍問題
1．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合已知求出邊b長的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長，求出函數(shù)值域作答.
【詳解】令的內(nèi)角所對邊分別為，由正弦定理及得，即，
銳角中，，即，同理，
于是，解得，又線段為邊上的中線，
則，又，于是，
因此，當(dāng)時(shí)，，，
所以中線的取值范圍是.
故選：D
2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若．
(1)求角；
(2)若，求邊上的高的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.
（2）由（1）可得，再利用三角形面積公式計(jì)算作答.
【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，
即有，而，，即，，
因此，，
所以．
（2）令邊上的高為，
由，得，
由（1）知，，即，則，
所以邊上的高的取值范圍是.
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┰阡J角中，設(shè)邊所對的角分別為，且．
(1)求角的取值范圍；
(2)若，求中邊上的高的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)正余弦定理及三角恒等變換結(jié)合條件可得，然后根據(jù)三角形為銳角三角形進(jìn)而即得；
（2）根據(jù)三角形面積公式及正弦定理可得，然后根據(jù)三角恒等變換及正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，，又，
所以，整理可得，
所以或(舍去)，
所以，又為銳角三角形，
所以，
所以；
（2）由題可知，即，
又，
所以，
所以，
由，可得，
所以，
所以，
即中邊上的高的取值范圍是.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，，．
(1)求．
(2)求邊上的高的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）設(shè)邊上的高為，則，再利用正弦定理及三角函數(shù)求出的范圍，即可得解，注意三角形為銳角三角形.
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，
因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）設(shè)邊上的高為，則，
由正弦定理，得，
由為銳角三角形，
得，得，則，
所以，從而，
故邊上的高的取值范圍是．
3．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大??；
(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結(jié)果；
（2）由余弦定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得，由正弦定理可得，，所以，結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因?yàn)椋裕?br>（2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長的取值范圍為．
4．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可得角；
（2）根據(jù)中線性質(zhì)可得，在左右兩側(cè)平方，應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求值即可.
【詳解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，
則，
即．
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以．
考點(diǎn)六、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題
1．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.
(1)求的外接圓半徑；
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.
【詳解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因?yàn)椋?
（2）由（1）可知：，則.
則.
在中，由正弦定理，
，所以，
則
，
又，所以，
所以，
，所以.
2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)求角B的大?。?br>(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合條件，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；
（2）利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因?yàn)闉殁g角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的圖像與性質(zhì)知，所以
1．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．
(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．
【答案】(1)有，
(2)
【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結(jié)合條件得，所以，，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；
(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡得，因?yàn)?，所以，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍?br>【詳解】（1）在中，，
所以，
由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以．
因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共圓，
則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．
又，所以．
（2）由（1）可知：，則，
，
則．
在中，由正弦定理，，
所以，，
則
，
又，所以，
所以，，即，
因?yàn)椋裕?br>2．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；
(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理即可求，進(jìn)而確定其大??；
（2）由正弦定理有，，根據(jù)余弦定理有，結(jié)合（1）及，應(yīng)用三角恒等變換有，由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧疫吔顷P(guān)系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，則.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面積法可得，
則
，
∵，∴，故，則，
所以，故.
考點(diǎn)七、角度類最值及范圍問題
1．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由成等比數(shù)列，可得，然后利用余弦定理表示出，進(jìn)行化簡后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，可得，
則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，
所以角的取值范圍是：.
故選：B.
1．（2023春·上海寶山·高一?？计谥校┤绻娜?、、滿足，則角的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范圍，進(jìn)而可求角的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，
所以.
故答案為：
考點(diǎn)八、正余弦類最值及范圍問題
1．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）在中，，則的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得表達(dá)式，結(jié)合可得答案.
【詳解】，因?yàn)椋?
又，所以的范圍是.
故選：B
2．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┮阎謩e為銳角ABC內(nèi)角的對邊，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角恒等變換解決即可；
（2）由條件求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求的范圍，利用三角恒等變換得，由此可求其范圍.
【詳解】（1）∵．
∴，
∴，
因?yàn)闉殇J角三角形內(nèi)角，所以，，
所以，
所以，即；
（2）由題意得，解得，
所以，
由正弦定理得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
∴的取值范圍為．
3．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？既＃┰谥?，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)證得.
（2）轉(zhuǎn)化為只含的三角函數(shù)的形式，利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍
【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，
，由正弦定理得，
，，
，由于，所以，則
由于，所以，則，
所以或（舍去），
所以.
（2）由于，所以為銳角，即，
而，即.
，
令，，
，
所以在區(qū)間上，遞增；
在區(qū)間上遞減.
，
所以，
所以的取值范圍是.
4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
(1)求角A的大?。?br>(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知，，則，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得，即，
由余弦定理的變形得，
又，所以.
（2）由得，且，
所以，
所以，
因?yàn)椋瑥亩?br>所以，從而.
即的取值范圍為.
5．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.
【詳解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因?yàn)椋?br>所以．
（2）由（1）知，
所以.
所以
，
因?yàn)?
所以，
所以，
所以，
故的取值范圍是.
1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在中，角的對邊分別為，已知.
(1)求角的大??；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換和正弦定理的得到，進(jìn)而由余弦定理得到，求出；
（2）由三角函數(shù)和差公式求出，由求出取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因?yàn)?，所?
（2）
在中，因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以，
所以的取值范圍為.
2．（2023·廣東廣州·廣州六中?？既＃┯浀膬?nèi)角的對邊分別為，已知為鈍角，.
(1)若，求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意及正弦定理得到，即，結(jié)合角的范圍可得，又，即可求得；
（2），令，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得：，
由于，可知，即，
因?yàn)闉殁g角，則為銳角，即，
則，則.
由，得.
（2）
.
因?yàn)闉殇J角，所以，即，則，
設(shè)，則，
.
因?yàn)?，則，從而.
由此可知，的取值范圍是.
3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的三個(gè)角所對的邊分別為，，.
(1)若，，，求；
(2)若為銳角三角形，且三個(gè)角依次成等差數(shù)列，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求，進(jìn)而可求及三角形面積.
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合銳角三角形可得角的取值范圍，利用正弦定理和三角恒等變換整理得，結(jié)合正切函數(shù)運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）由余弦定理可得：，
可知角為銳角，則,
所以的面積.
（2）因?yàn)榻且来纬傻炔顢?shù)列，則，
則，可得，
又因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，
則
，
因?yàn)?，則，可得，
所以，
故的取值范圍為.
4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由和差角公式化簡得，由正弦定理邊角化即可求解，
（2）由銳角三角形滿足，根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】（1），
，
，由正弦定理得：.
（2）銳角，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以.
考點(diǎn)九、向量類最值及范圍問題
1．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，利用余弦定理可求得，根據(jù)向量數(shù)量積定義可得，利用三角形三邊關(guān)系可求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范圍為.
故選：D.
2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算公式化簡可得，根據(jù)正弦定理可求，再求出的范圍，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可求的范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
所以，
設(shè)的外接圓的半徑為，則
所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，所以，故，
所以，所以，
又在上都為增函數(shù)，
所以，故，
又，，，
，故，
所以，
其中當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)左側(cè)等號成立，
所以的取值范圍為.
故選：B.
3．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．
(1)求；
(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由三角形面積公式求得，已知等式由正弦定理邊化角，化簡得，可解得；
（2）由（1）得，則，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，由三角函數(shù)的值域求取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
，
由正弦定理，，
則，
由，
得，
化簡得，由，，
解得，因此.
（2）由（1）得，若A為鈍角，則，則，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)．
則，，，
有，，，
則．
由，則，
所以的取值范圍為.
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊結(jié)合基本不等式求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)橹荛L為4的，分別是的對邊，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上遞減，
∴，
故答案為：.
2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得，再根據(jù)的范圍和正切函數(shù)的值域即可求出其范圍.
【詳解】根據(jù)正弦定理得，即，
，
，
，
即的取值范圍.
故答案為：.
3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.
(1)求角的大小和邊的取值范圍；
(2)如圖，若是的外心，求的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)正弦定理求邊的取值范圍；
（2）解法一：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合圓的性質(zhì)整理可得，進(jìn)而可求取值范圍；解法二：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合余弦定理整理可得，進(jìn)而可求取值范圍.
【詳解】（1）在中，由結(jié)合正弦定理可得：
，
因?yàn)?，則，
化簡得，即，
又因?yàn)?，則，
所以，解得，
由正弦定理，化簡得，
因?yàn)?，所以，所?
（2）解法1：由正弦定理得，且，
因?yàn)?br>，
當(dāng)點(diǎn)O不在外部時(shí)（如圖），
；
當(dāng)點(diǎn)O在外部時(shí)（如圖），，
；
由（1）可知，
即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.
解法2：由題可知：，
如圖，分別取線段的中點(diǎn)，
由于O是的外心，則，
則
，
所以，
由余弦定理得，即，
整理得，
所以，
由（1）可知，
即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.
考點(diǎn)十、參數(shù)類最值及范圍問題
1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結(jié)合即可求解.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理?又，
所以.因?yàn)椋?br>所以，故.
故選：A.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化簡題給條件，再利用正弦定理即可求得的值；
（2）先化簡題給條件求得，代入題干條件進(jìn)而求得，從而得到的最小值，再結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）依題意，，
因?yàn)?，所?
由正弦定理，得，
故上式可化為.
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理，得.
（2）因?yàn)椋?br>由正弦定理，，
因?yàn)?，故?br>則，
故，
因?yàn)?，故，又，故?br>代入中，得，即.
由余弦定理，，故，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故，又，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）在銳角中，角所對的邊分別為，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，化簡整理可得，可得，進(jìn)而即得；
（2）由余弦定理可推得，變形即可得出，根據(jù)已知條件，得出的范圍，即可得出，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)得出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
整理可得.
又，所以.
因?yàn)?，所?
（2）由余弦定理可得，于是，，
所以，則，
由正弦定理得.
在銳角中，，則.
又，故，
所以，所以，
所以，，
因此，.
由題意可得恒成立，
于是，.
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換，將已知條件化為，根據(jù)正余弦邊角關(guān)系證明結(jié)論；
（2）設(shè)，，則，根據(jù)（1）結(jié)論有，利用余弦定理及銳角三角形的性質(zhì)求范圍，進(jìn)而求范圍.
【詳解】（1）由題意得
，
即，
由正弦定理得.
（2）設(shè)，，則，
由（1）知：，
∴，
由，又，
對于函數(shù)且，有，則在上，遞減；在上，遞增，
所以，故，
則.
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.
【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，設(shè)邊上的高為，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，，因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以高的取值范圍為.
故選：C.
二、填空題
2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理得到關(guān)于的等式，根據(jù)銳角，求得角的范圍，進(jìn)而求得的取值范圍即可.
【詳解】解：在中，由正弦定理得，
所以，即，
因?yàn)殇J角，所以，
即，解得，
所以，所以，
故，即.
故答案為：
三、解答題
3．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
即，
即，
因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)椋裕?br>所以，因?yàn)椋?
（2）解：由正弦定理得，
所以
，
所以.
因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
4．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及正弦的兩角和公式將，變形為
，再化簡可求解；
（2）由，即可求解.
【詳解】（1）由及正弦定理得，
所以，
因?yàn)?，所以，所以，從?
因?yàn)?，所以，所?
（2）由正弦定理得，
所以.
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，
解得.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.
從而，所以，即c的取值范圍是.
5．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角C的大?。?br>(2)若，求c的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再用余弦定理可求出角；
（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式及正弦三角函數(shù)的性質(zhì)可解．
【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，
即，
∴．
又∵，
∴；
（2）由（1）及正弦定理得，
∵，
∴，
∴．
∵，∴，，
∴，
∴．
6．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求證：；
(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?br>又，所以
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
又在上單調(diào)遞增，所以，即；
（2）由（1）可知，，所以在中，，
由正弦定理得：，所以，
所以．
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，解得，
所以，即面積的取值范圍為．
7．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，
（2）根據(jù)正弦定理得，由內(nèi)角和關(guān)系以及和差角公式可得，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，，
（2）因?yàn)?，，所以，?br>由正弦定理得：
所以，
所以周長
因?yàn)?，則，所以
故
求周長的取值范圍為.
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大?。?br>(2)若，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式、三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)橐驗(yàn)?，所以?br>所以
因此有．
又因?yàn)椋裕?br>（2）由，及余弦定理，得
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
又因?yàn)?，所以，故的周長的取值范圍為．
9．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中?？级＃┮阎獌?nèi)角所對的邊長分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大??；
（2）法一：由已知可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應(yīng)用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.
【詳解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，則.
（2）法一：為銳角三角形，，則，
所以，可得，
又，則，故
由，即而，
所以，故面積的取值范圍為.
法二：由，畫出如圖所示三角形，
為銳角三角形，
點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知為銳角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；
（2）利用正弦定理結(jié)合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，即，
又，，
所以，
所以，即，又，，
所以，即；
（2）因?yàn)?，所以，又?br>可得，
在中，，
所以，
在中，，
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，得，
所以，
所以，即的取值范圍為.
【能力提升】
1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由，結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應(yīng)用三角函數(shù)值域求出范圍
【詳解】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，則.
由正弦定理得
所以，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，
則.
中線長的取值范圍是.
2．（2023·河北·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意利用利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算化簡得，分類討論的符號，結(jié)合輔助角公式分析運(yùn)算.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
因?yàn)?，則，可得，
則
，
又因?yàn)?，則，整理得，
且，所以.
（2）由正弦定理，可得，
因?yàn)?，則，
則
，
①若，即時(shí)，則，
其中，
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，符合題意；
②若，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，無最值，不符合題意；
③若，即時(shí)，則，
其中，
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值
注意到，則，
可得，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.
(1)證明：外接圓的半徑為；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理結(jié)合角的范圍求出角，再應(yīng)用正弦定理求出外接圓半徑即可；
（2）把已知恒成立，參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為恒成立，再求出的最大值可得范圍.
【詳解】（1）由，得，
由正弦定理得:
，
化簡得.
因?yàn)椋?
又，所以，
所以外接圓的半徑為.
（2）要使恒成立，
即恒成立，
即求的最大值.
由余弦定理得，
所以
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列.
(1)若，的面積為2，求的周長；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比中項(xiàng)公式與三角形面積公式求得，再利用余弦定理與完全平方公式求得，從而得解；
（2）結(jié)合題意，先化簡所求得求公式q的取值范圍即可，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到關(guān)于q的不等式組，從而得解.
【詳解】（1）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，則，
又，，所以，
所以的面積為，故，則，
由余弦定理，
即，則，
所以，故的周長為.
（2）設(shè)a，b，c的公比為q，則，，
而，
因此，只需求的取值范圍即可.
因a，b，c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且.
故有不等式組，即，解得，
從而，因此所求范圍為.
5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用兩角和與差的余弦公式化簡得，再根據(jù)范圍即可證明；
（2）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合（1）中的結(jié)論化簡得，再求出的范圍，從而得到的范圍，最后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是銳角,則
,
（2）令
，
由（1）得.
在銳角三角形中,
，即，,
令,
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
,即的取值范圍是.
6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為且，
(1)求；
(2)求邊上中線長的取值范圍．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，分析運(yùn)算即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根據(jù)，結(jié)合向量的相關(guān)運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
整理得，
且，則，可得，即，
且，則，
由正弦定理，其中為的外接圓半徑，
可得，
又因?yàn)椋?br>所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
可得，即
設(shè)邊上的中點(diǎn)為D，
因?yàn)?，則
，
即，所以邊上中線長的取值范圍為.
7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記銳角內(nèi)角的對邊分別為.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦公式的得到，進(jìn)而求解；
（2）利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由，故，
故，
，
故，因是銳角三角形，故，.
故，故，所以.
（2）由正弦定理可知，
故，
.
.
由是銳角三角形，可知，
故，
故.
8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？家荒＃┮阎谥?，角，，的對邊分別是，，，面積為，且_____．
在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．
(1)求；
(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，根據(jù)三角形面積公式和數(shù)量積公式，化簡求角；若選②，根據(jù)二倍角公式，以及，化簡求角；若選③利用正弦定理，將邊化角，再結(jié)合輔助就公式，即可求解；
（2）利用向量公式，兩邊平方后，結(jié)合條件，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.
【詳解】（1）若選，因?yàn)椋?br>所以，可得，
又因?yàn)椋?br>所以．
若選，因?yàn)椋?br>所以，
整理可得，
解得或，
又因?yàn)?，可得?br>所以,
所以．
若選，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，
又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，
所以，可得，
又因?yàn)?，?br>所以，可得．
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
平方得，
所以
因?yàn)?，所以時(shí)，，可得，
所以，可得，
故線段長的取值范田為
9．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記銳角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；
（2）由面積公式可得，再由正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，再結(jié)合的范圍計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
所以，又，所以.
（2）因?yàn)?br>，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，
所以，即的取值范圍為.

10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由結(jié)合正弦定理，可得，由，可得，從而證明△ABC是等邊三角形；
（2）由正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)的范圍，即可得的取值范圍.
【詳解】（1）證明：∵，
∴由正弦定理，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴．
由，得，
∴，∴△ABC為等邊三角形．
（2）由（1）知，∴．
由△ABC為銳角三角形，可得，
解得，∴．
由正弦定理，得，
由，可得，∴，
即，∴的取值范圍為.
11．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角的內(nèi)角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結(jié)合銳角三角形求出角的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由及余弦定理，得，
由銳角，知，
所以．
（2）由（1）知，得，故，
由正弦定理，得，
由為銳角三角形得解得，
∴，
∴．
故的取值范圍為.
12．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．
(1)求證：；
(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化化簡，再由余弦定理即可得到，再由正弦定理的邊角互化即可證明；
（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由的范圍，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又為銳角三角形，則，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此線段長度的取值范圍.
【真題感知】
一、單選題
1．（四川·高考真題）在ABC中，．則的取值范圍是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
【答案】C
【詳解】試題分析：
由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.
考點(diǎn)：三角形中正余弦定理的運(yùn)用.
二、雙空題
2．（北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B= ；的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題干結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍問題.
【詳解】，
，即，
，
則，
為鈍角，，
，故.
故答案為，.
【點(diǎn)睛】此題考查解三角形的綜合應(yīng)用，能夠根據(jù)題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個(gè)關(guān)鍵；根據(jù)三角形內(nèi)角的隱含條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式及正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為求解含的表達(dá)式的最值問題是解題的第二個(gè)關(guān)鍵.
三、解答題
3．（全國·高考真題）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為
（1）求B的大??；
（2）求 的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得
，
所以，
由△ABC為銳角的三角形得
（2）
由△ABC為銳角的三角形知，
所以，，
，
由此有，
所以，的取值范圍為
4．（全國·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.
(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來計(jì)算的定義域，最后求解的值域.
【詳解】(1)
[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】
由三角形的內(nèi)角和定理得，
此時(shí)就變?yōu)椋?br>由誘導(dǎo)公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此時(shí)就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
兩邊平方得，即．
又，即，所以，
進(jìn)一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】
根據(jù)題意，由正弦定理得，
因?yàn)?，故?br>消去得．
，，因?yàn)楣驶蛘撸?br>而根據(jù)題意，故不成立，所以，
又因?yàn)椋氲?，所?
(2)
[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】
因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，
則．
因?yàn)?，所以，則，
從而，故面積的取值范圍是．
[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】
由題設(shè)及（1）知的面積．
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面積的取值范圍是．
[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】
如圖1，在中，過點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．
由題設(shè)及（1）知的面積，因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以點(diǎn)C位于在線段上且不含端點(diǎn)，從而，
即，即，所以，
故面積的取值范圍是．
【整體點(diǎn)評】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；
方法二：方程思想是解題的關(guān)鍵，解三角形的問題可以利用余弦值確定角度值；
方法三：由正弦定理結(jié)合角度關(guān)系可得內(nèi)角的比例關(guān)系，從而確定角的大小.
(2)方法一：由題意結(jié)合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；
方法二：將面積問題轉(zhuǎn)化為邊長的問題，然后求解邊長的范圍可得面積的范圍；
方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維的靈活性，要求學(xué)生對幾何有深刻的認(rèn)識(shí)和靈活的應(yīng)用.
5．（江西·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．
（1）求角的大??；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)三角形角的關(guān)系，代入化簡三角函數(shù)式，即可求得，進(jìn)而得角的大??；
（2）根據(jù)余弦定理，由基本不等式即可求得，再結(jié)合三角形邊關(guān)系求得的取值范圍.
【詳解】（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴，又，
∴的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變形的應(yīng)用，由余弦定理及基本不等式求邊的范圍，屬于中檔題.
6．（浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大?。?br>（II）求csA+csB+csC的取值范圍．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大?。?br>（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因?yàn)?，并利用余弦定理整理得?br>即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合(1)的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
【整體點(diǎn)評】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.基本不等式的推論
重要不等式
（和定積最大）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號
基本不等式的推論
重要不等式
（和定積最大）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號