1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章至第九章，選擇性必修第一冊(cè)第一章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知空間向量，且，則（ ）
A. 10B. 6C. 4D.
2. 若，則（ ）
A. B.
C D.
3. 若向量，且，則（ ）
A. ?8B. 8C. ?2D. 2
4. 某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測(cè)試，統(tǒng)計(jì)得到所有學(xué)生的體能測(cè)試成績均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測(cè)試成績按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測(cè)試成績采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者，則體能測(cè)試成績?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
5. 已知是兩個(gè)不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
6. 已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積（ ）
A. B. C. D.
7. 圖，在九面體中，平面平面，平面平面，底面為正六邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. 平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 平面平面
8. 如圖，在棱長為12的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，平面與直線交于點(diǎn)，則（ ）

A. 10B. 15C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，將甲?乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（ ）
A. 丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5
B. 甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是2
C. 甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差
D. 甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)
10. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，的面積為，則的周長可能為（ ）
A. 8B. C. 9D.
11. 已知邊長為的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為球表面上一動(dòng)點(diǎn)，且不在平面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正切值為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 球的表面積為
B. 的最大值為10
C. 三棱錐體積的最大值為
D. 當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則三棱錐的體積為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12. 已知空間向量，若共面，則__________.
13. 已知數(shù)據(jù)的極差為6，且分位數(shù)為，則__________.
14. 如圖，平行六面體的所有棱長均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則__________；直線與所成角的余弦值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 7月23日，第8屆中國一南亞博覽會(huì)暨第28屆中國昆明進(jìn)出口商品交易會(huì)在昆明滇池國際會(huì)展中心隆重開幕.本屆南博會(huì)以“團(tuán)結(jié)協(xié)作?共謀發(fā)展”為主題，會(huì)期從23日至28日，共設(shè)15個(gè)展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個(gè)國家?地區(qū)和國際組織參會(huì)，2000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對(duì)此次展覽進(jìn)行評(píng)分，分值均在內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表：
（1）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)與方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.
16. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.
（1）求；
（2）若，在邊上存在一點(diǎn)，使得，求長.
17. 如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.
（1）證明：；
（2）求二面角的正弦值.
18. 如圖，甲船在點(diǎn)處通過雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在其南偏東方向相距20海里的處有一艘貨船發(fā)出供油補(bǔ)給需求，該貨船正以15海里/時(shí)的速度從處向南偏西的方向行駛．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的處的補(bǔ)給船，補(bǔ)給船立刻以25海里/時(shí)的速度與貨船在處會(huì)合．
（1）求的長；
（2）試問補(bǔ)給船至少應(yīng)行駛幾小時(shí)，才能與貨船會(huì)合？
19. 將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到位置，使得二面角的大小為，連接，得到幾何體.已知分別為上的動(dòng)點(diǎn)且.
（1）證明：平面；
（2）求長；
（3）當(dāng)長度最小時(shí)，求直線到平面的距離.分?jǐn)?shù)
頻數(shù)
10
10
20
20
2023級(jí)高二上學(xué)年入學(xué)考試數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章至第九章，選擇性必修第一冊(cè)第一章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知空間向量，且，則（ ）
A. 10B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用空間向量平行的坐標(biāo)結(jié)論計(jì)算.
【詳解】因?yàn)?，所?
即，則.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘除，結(jié)合乘方計(jì)算即可.
【詳解】由題意得.
故選：A.
3. 若向量，且，則（ ）
A. ?8B. 8C. ?2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合垂直的坐標(biāo)結(jié)論計(jì)算即可.
【詳解】由題意得.
因?yàn)?，所以，?
故選：B.
4. 某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測(cè)試，統(tǒng)計(jì)得到所有學(xué)生的體能測(cè)試成績均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測(cè)試成績按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測(cè)試成績采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者，則體能測(cè)試成績?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合給定的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意得，體能測(cè)試成績?cè)趦?nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為.
故選：A.
5. 已知是兩個(gè)不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由面面平行的判定與性質(zhì)即可判斷．
【詳解】若，，則不一定平行（缺少條件相交）；
若，，則，且，
故“，且”是“”的必要不充分條件，
故選：C．
6. 已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出母線，根據(jù)側(cè)面積列出方程，求出母線，進(jìn)而得到圓臺(tái)的高，得到圓臺(tái)的體積.
【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的母線長為，根據(jù)題意可得，解得，
由題意得，，
所以該圓臺(tái)的高為，則．
故選：B
7. 圖，在九面體中，平面平面，平面平面，底面為正六邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. 平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 平面平面
【答案】D
【解析】
【分析】運(yùn)用面面垂直，結(jié)合面面平行得到面面垂直，判定C；證明平面.同理可得平面，則，運(yùn)用線面平行判定判斷A； 證明平面，結(jié)合，得到平面，判斷B；利用反證法，得到平面，不成立，判斷D.
【詳解】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，所以平面平面，C正確.
因?yàn)椋?，面?br>平面平面，又平面平面，所以平面.
同理可得平面，則，因?yàn)?br>所以四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嬲_.
連接，易得，則平面，面，則.
因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面.
因?yàn)?，所以平面，B正確.
連接，則，若平面平面成立，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)易得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有.
因?yàn)椋鶕?jù)線面垂直的判定得平面，這顯然不成立，
所以平面平面不成立，D錯(cuò)誤.
故選：D.

8. 如圖，在棱長為12的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，平面與直線交于點(diǎn)，則（ ）

A. 10B. 15C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別在棱上取點(diǎn)，使得，易證，，則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.再計(jì)算即可．
【詳解】分別在棱上取點(diǎn)，使得，
連接，根據(jù)正方體特征及平行公理，易證，，
則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.
由題中數(shù)據(jù)，知道，，可得.
故選：A.

二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，將甲?乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（ ）
A. 丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5
B. 甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是2
C. 甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差
D. 甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)，百分位數(shù)，方差，平均數(shù)的公式求解即可.
【詳解】將丙組數(shù)據(jù)從小到大排列為，可得丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確．
將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是B錯(cuò)誤．
易得甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，C正確．甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確．
故選：ACD
10. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，的面積為，則的周長可能為（ ）
A. 8B. C. 9D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由正弦定理得，由三角形面積公式得，進(jìn)而得出，再根據(jù)余弦定理求得或，即可求解．
【詳解】由正弦定理得，得，則，
由，得，所以，
由余弦定理，得或17，
所以或，
所以的周長為8或，
故選：AB．
11. 已知邊長為的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為球表面上一動(dòng)點(diǎn)，且不在平面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正切值為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 球的表面積為
B. 的最大值為10
C. 三棱錐體積的最大值為
D. 當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則三棱錐的體積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】畫出草圖，設(shè)正三角形的外心為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三點(diǎn)共線.找出直線與平面所成的角，求出.進(jìn)而分別運(yùn)用球的表面積公式計(jì)算表面積，的最大值為，運(yùn)用棱錐體積公式計(jì)算三棱錐，的體積即可.
【詳解】如圖，設(shè)正三角形的外心為，
當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三點(diǎn)共線.
設(shè)球的半徑為，易得.
直線與平面所成的角為，得.
由，得
球的表面積為，A錯(cuò)誤，的最大值為，B正確.
三棱錐體積的最大值為，C正確.
三棱錐的體積為，D正確.
故選：BCD.

三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12. 已知空間向量，若共面，則__________.
【答案】0
【解析】
【分析】由已知可得，代入坐標(biāo)計(jì)算可求的值.
【詳解】因?yàn)楣裁?，所以，即?br>則.
故答案為：0.
13. 已知數(shù)據(jù)的極差為6，且分位數(shù)為，則__________.
【答案】5
【解析】
【分析】運(yùn)用數(shù)據(jù)極差和百分位數(shù)概念和計(jì)算方法分類討論即可.
【詳解】因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4，由，得，不符合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由，得（負(fù)根舍去），符合題意.故.
故答案為：5.
14. 如圖，平行六面體的所有棱長均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則__________；直線與所成角的余弦值為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】表達(dá)出，平方后求出，求出；求出，利用向量夾角余弦公式求出異面直線距離的余弦值.
【詳解】連接，
，
故；
，
故
，
故，
則
，
故直線與所成角的余弦值為.
故答案為：；
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 7月23日，第8屆中國一南亞博覽會(huì)暨第28屆中國昆明進(jìn)出口商品交易會(huì)在昆明滇池國際會(huì)展中心隆重開幕.本屆南博會(huì)以“團(tuán)結(jié)協(xié)作?共謀發(fā)展”為主題，會(huì)期從23日至28日，共設(shè)15個(gè)展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個(gè)國家?地區(qū)和國際組織參會(huì)，2000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對(duì)此次展覽進(jìn)行評(píng)分，分值均在內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表：
（1）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）估計(jì)這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)與方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.
【答案】（1）
（2）96，5.8
【解析】
【分析】（1）由中位數(shù)的佑計(jì)值的定義求解即可；
（2）由平均數(shù)的估計(jì)值與方差的計(jì)算公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意得這100家企業(yè)評(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)為
設(shè)這100家企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為，
因?yàn)樵u(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，
評(píng)分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，
所以，由，得.
【小問2詳解】
這100家企業(yè)評(píng)分的平均數(shù)的估計(jì)值為
這100家企業(yè)評(píng)分的方差的估計(jì)值為：
.
16. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.
（1）求；
（2）若，在邊上存在一點(diǎn)，使得，求的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再用余弦定理可解; （2）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合勾股定理可解.
【小問1詳解】
由余弦定理得，
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，解得?br>因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
因?yàn)?，所?
設(shè)，在中，由正弦定理得，則，
，由
解得或（舍去），
故的長為.
17. 如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.
（1）證明：；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可得.
（2）作，垂足為，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由三角形全等，得出，從而建立空間坐標(biāo)系利用空間向量解決問題.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)槭堑妊苯侨切危瑸橹悬c(diǎn)，
所以， 平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面
因?yàn)槠矫妫?，又為的中點(diǎn)，
所以是等腰三角形，故.
【小問2詳解】
在平面上，作，垂足為，連接.
平面平面，平面平面，
又平面，所以平面.
由（1），又，則為等邊三角形.
所以，，
所以，所以，
，
所以,在等腰直角三角形中，，
所以與全等，故，即，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
.
設(shè)平面的法向量為，
則即取，可得.
設(shè)平面的法向量為，
則即取，可得
設(shè)二面角的大小為，
則.
故二面角的正弦值為.
18. 如圖，甲船在點(diǎn)處通過雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在其南偏東方向相距20海里的處有一艘貨船發(fā)出供油補(bǔ)給需求，該貨船正以15海里/時(shí)的速度從處向南偏西的方向行駛．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的處的補(bǔ)給船，補(bǔ)給船立刻以25海里/時(shí)的速度與貨船在處會(huì)合．
（1）求的長；
（2）試問補(bǔ)給船至少應(yīng)行駛幾小時(shí)，才能與貨船會(huì)合？
【答案】（1）70海里
（2）2小時(shí)
【解析】
【分析】（1）由題可得，利用余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合兩角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出時(shí)間.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得．
因?yàn)楹＠?，海里?br>所以根據(jù)余弦定理可得海里．
【小問2詳解】
由余弦定理可得，則，
所以．
設(shè)當(dāng)補(bǔ)給船與貨船會(huì)合時(shí)，補(bǔ)給船行駛的最少時(shí)間為小時(shí)，則海里，海里．
在中，解得或（舍去），
故當(dāng)補(bǔ)給船與貨船會(huì)合時(shí)，補(bǔ)給船行駛的時(shí)間至少為2小時(shí)．
19. 將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，得到幾何體.已知分別為上的動(dòng)點(diǎn)且.
（1）證明：平面；
（2）求的長；
（3）當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求直線到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，進(jìn)而線面平行，求出平面平面，得到線面平行；
（2）作出輔助線，得到為二面角的平面角，并求出各邊長，得到答案；
（3）作出輔助線，證明線面垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出，表達(dá)出，求出，，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離公式求出答案.
【小問1詳解】
證明：在上取點(diǎn)，使得，連接，
如圖1.
因?yàn)?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?
因?yàn)?，所以，又，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面平面.
因?yàn)槠矫?，所以平?
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，如圖2.
由題意可得是邊長為4的正三角形，則，
且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，
所以.
【小問3詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，且.
由（2）得，，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫妫?
又因，，平面，
所以平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
又，所以.
連接，則，
，
所以.
當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為3，則的最小值為
此時(shí)，則.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則即取，得.
因?yàn)槠矫妫灾本€到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，
則點(diǎn)到平面的距離.
故直線到平面的距離為.
分?jǐn)?shù)
頻數(shù)
10
10
20
20

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