3．如圖，一個水平放置的△ABO的斜二測畫法的直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若B′A′＝B′O′＝1，則原三角形ABO的面積為______．
4．當一個球的半徑為_____時，其體積和表面積的數(shù)值相等．
5．已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4和8，高為2，則該正四棱臺的表面積為____________．
1．直觀圖的斜二測畫法(1) 原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為__________ ________，z′軸與x′軸、y′軸所在平面________．(2) 原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳____.
下列說法正確的是(　　)A．棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形B．以直角三角形一邊為旋轉軸，旋轉所得的幾何體是圓錐C．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺D．空間中，到一個定點的距離等于定長的點的集合是球
對于A，根據(jù)棱柱的定義“有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱”，得棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形，故A正確．對于B，以直角三角形的斜邊為旋轉軸，旋轉所得的幾何體不是圓錐，故B不正確．對于C，用垂直于底面的平面去截圓錐，得到的不是一個圓錐和一個圓臺，故C不正確．對于D，空間中，到一個定點的距離等于定長的點的集合是球面，而不是球體，故D不正確．
變式　(多選)下面關于空間幾何體的敘述正確的是(　　)A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C．長方體是直平行六面體D．存在每個面都是直角三角形的四面體
A中，當頂點在底面的投影是正多邊形的中心時才是正棱錐，故A不正確．B中，當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，故B不正確．C正確．
D中，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形，故D正確．
已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為(　　)
變式　如圖，一個水平放置的平面圖形OABC的斜二測直觀圖是平行四邊形O′A′B′C′，且O′C′＝2O′A′＝2，∠A′O′C′＝45°，則平面圖形OABC的周長為(　　)
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知該平面圖形是矩形，如圖，可知AB＝4，OA＝1，故該平面圖形OABC的周長為2(OA＋AB)＝10.
如圖，在正三棱錐S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一質(zhì)點自點B出發(fā)，沿著三棱錐的側面繞行一周回到點B的最短路線的長為(　　)
將三棱錐S-ABC沿側棱BS展開，其側面展開圖如圖所示．
如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為(　　)A．5 cm B．12 cmC．13 cm D．25 cm
變式　如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，B為半圓弧CD的中點，則在此圓柱的側面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為(　　)
如圖，在等腰梯形ABFE中，過點E作EM⊥AB，垂足為M.
如圖，取AB中點E，連接PE，CE.
因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PE⊥AB，CE⊥AB.又PE，CE?平面PEC，PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC.
(1) 如圖所示為某工廠內(nèi)一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱組成的，其中O為圓臺下底面圓心，O2，O1分別為圓柱上、下底面的圓心，經(jīng)實驗測量得到圓柱上、下底面圓的半徑為 2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圓臺下底面圓半徑為5 cm，則該組合體的表面積為(　　)
A．42π cm2 B．84π cm2C．36π cm2 D．64π cm2
(2) 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，現(xiàn)將該三角形沿斜邊AB旋轉一周，則旋轉形成的幾何體的體積為(　　)
將Rt△ABC沿斜邊AB旋轉一周，旋轉形成的幾何體如圖所示．
變式　(1)已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是______，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是_____．
變式　(2) 某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖(1)所示的玻璃杯，該玻璃杯造型可以近似看成是一個圓柱挖去一個圓臺得到，其近似模型的直觀圖如圖(2)所示(圖中數(shù)據(jù)單位為cm)，則該玻璃杯所用玻璃的體積(單位：cm3)為(　　)
有一個球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的碗口直徑為8，高為2，利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為_______．
設瓷碗所在球O1的半徑為R，則有(R－2)2＋42＝R2，得R＝5.
圖(1) 圖(2)
如圖(2)，在以過球心的截面圓為底面圓，以R＝5為高的圓柱中挖去一個等底等高的圓錐，其中，圓O1與圓O4在同一平面上，圓O3所在平面截圓柱所得截面的圓心為O5，易知O5M＝3＋h，故圓環(huán)的面積也為π[52－(3＋h)2]，即在求瓷碗體積時，符合祖暅原理(備注：瓷碗是圖(3)中上方倒扣的部分).
圖(3) 圖(4)
由祖暅原理知，碗的體積等于圖(2)中高為3cm的圓柱的體積減去一個圓臺的體積．
設圓臺上表面半徑為r1cm，則r1＝O1P＝OO1＝1，下表面半徑為r2cm，則r2＝O2Q＝O2O＝4.V圓臺＝πh(r＋r＋r1r2)＝21π(cm3)，V碗＝V圓柱－V圓臺＝πR2h－21π＝54π(cm3).
1．如圖，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，點B′在x′軸上，A′O′和x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB 上的高為(　　)
如圖，作A′C′∥x′軸，交y′軸于C′.
3．龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個圓臺．現(xiàn)有一龍洗盆高15 cm，盆口直徑40 cm，盆底直徑20 cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當水深6 cm時，盆內(nèi)水的體積近似為(　　)
A．1 824 cm3 B．2 739 cm3C．3 618 cm3 D．4 512 cm3
如圖，畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形，延長AC與BD交于點G.根據(jù)題意，AB＝20 cm，CD＝10 cm，AC＝15 cm，EC＝6 cm.
練習1A組　夯基精練一、 單項選擇題1．已知正三角形的邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為(　　)
2．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)(　　)
3．在我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為(　　)A．2丈4尺B．2丈5尺C．2丈6尺D．2丈8尺
6．如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知AB＝9cm，CD＝3cm，則該青銅器的表面積為(假設上、下底面圓是封閉的)(　　)
二、 多項選擇題7．已知一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結論正確的是(　　)A．圓柱的側面積為4πR2B．圓錐的側面積為2πR2C．圓柱的側面積與球的表面積相等D．球的體積是圓錐體積的兩倍
對于A，因為圓柱的底面直徑和高都等于2R，所以圓柱的側面積S1＝2πR·2R＝4πR2，故A正確；
對于C，圓柱的側面積為S1＝4πR2，球的表面積S3＝4πR2，即圓柱的側面積與球的表面積相等，故C正確；
8．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說法正確的有(　　)
對于C，圓臺的側面積為S側＝π(1＋2)×2＝6π(cm2)，故C正確；
三、 填空題9．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．
10．如圖，某學具可看成將一個底面半徑與高都為10cm的圓柱挖去一個圓錐(此圓錐的頂點是圓柱的下底面圓心、底面是圓柱的上底面)所得到的幾何體，則該學具的表面積為_______________cm2.
11．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體，則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．
12．某同學的通用技術作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱組成．已知正四棱柱的底面邊長為3cm，則這兩個正四棱柱的公共部分構成的多面體的面數(shù)為____，體積為______cm3.
易知兩個正四棱柱的公共部分為兩個正四棱錐拼接而成，且兩個正四棱錐的底面重合，所以公共部分構成的多面體的面數(shù)為8.
15．(選做)同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設a，b∈Z，m∈N*且m＞1.若m|(a－b)，則稱a與b關于模m同余，記作a≡b(mdm)(“|”為整除符號).(1) 解同余方程x2－x≡0(md3).
由題意知x(x－1)≡0(md3)，所以x＝3k或x－1＝3k(k∈Z)，即x＝3k或x＝3k＋1(k∈Z).
15．(選做)同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設a，b∈Z，m∈N*且m＞1.若m|(a－b)，則稱a與b關于模m同余，記作a≡b(mdm)(“|”為整除符號).(2) 設(1)中方程的所有正根構成數(shù)列{an}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an.①若bn＝an＋1－an(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求S2 024；②若cn ＝tan a2n＋1·tan a2n－1(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中A1D1平行于y1軸，A1D1＝1，可知原圖中AD∥Oy，從而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2，
如圖，甲、乙兩個圓錐的側面展開圖剛好拼成一個圓，設圓的半徑(即圓錐母線)為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，
依題意可知棱臺的高MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V.
6．中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖(1)(2)，劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”．約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.
如圖(3)(4)，祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的剩余幾何體與底面邊長、高皆為八分之一正方體的棱長的倒四棱錐“等冪等積”，計算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為(　　)
二、 多項選擇題7．折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖(1))．圖(2)是一個圓臺的側面展開圖(扇形的一部分)，若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且∠ABC＝120°，則該圓臺(　　)
圖(1) 圖(2)
8．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則(　　)A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2D．2V3＝3V1
如圖，連接BD交AC于O，連接OE，OF.設AB＝ED＝2FB＝2，則AB＝BC＝CD＝AD＝2，F(xiàn)B＝1.
因為ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以ED⊥AC，又AC⊥BD，且ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.因為OE，OF?平面BDEF，所以AC⊥OE，AC⊥OF.
如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高．
DP，PC1分別在平面A1B1CD與平面CB1C1內(nèi)移動，如圖，將平面CB1C1以CB1為軸旋轉至平面A1B1CD所在平面，得到B1CC1′，則DC1′即為DP＋PC1的最小值．
如圖，構造一個底面半徑為2，高為3的圓柱，挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，
14．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ln x.(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
①當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；

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