八年級數(shù)學
注意事項：
1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試卷上直接作答；
3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成.
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑.
1．下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．直角三角形B．正方形C．長方形D．平行四邊形
2．分式約分結果正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，，平分．證明的依據(jù)是( )
A．B．C．D．
5．甲、乙兩人分別從距目的地和的兩地同時出發(fā)，甲、乙的速度比是，結果甲比乙提前到達目的地，設甲的速度為，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，，點C在線段的垂直平分線上且點B，C，E三點共線，連接，若，，則線段的長度為（ ）

A．4B．5C．6D．7
7．將因式分解，應提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在中，D為上一點，且，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在中，，將沿折疊，使點A落在邊上處，下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．無法判斷與的大小關系
10．如圖，在五邊形中，，點P，Q分別在邊，上，連接，， ，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上.
11．計算： ．
12．一個正六邊形的內角和的度數(shù)為 ．
13．方程的解為 ．
14．如圖，在中，，則邊的長度為 ．
15．如圖，D為平分線上一點，E，F(xiàn)分別在，上，，且，若，則的度數(shù)為 ．
16．因式分解： ．
17．如圖，在與中，，若，則的長為 ．
18．對于一個三位數(shù)N，若其百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字，則稱數(shù)N為“優(yōu)選數(shù)”．例如：數(shù)132，，∴132是“優(yōu)選數(shù)”，數(shù)246，，∴246不是“優(yōu)選數(shù)”，則最大的“優(yōu)選數(shù)”為 ；若“優(yōu)選數(shù)”N的個位數(shù)字不為零，將其百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字對調，組成一個新的三位數(shù)記為，若為完全平方數(shù)，則滿足條件的N的最小值為 ．
三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，其余每題均為10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上.
19．解下列方程：
(1)
(2)
20．在網(wǎng)格坐標系中的位置如圖所示，請完成下列問題：
(1)畫出關于y軸對稱的并寫出點的坐標；
(2)將向下平移3個單位，得到，寫出頂點的坐標．
21．如圖，在中，是高，是角平分線，與交于點G．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)．
22．計算：
(1)計算：；
(2)分解因式：．
23．某大型包裹分揀中心采用人工分揀和機器自動化分揀對包裹進行分揀．
(1)已知一條人工分揀流水線5分鐘分揀的包裹與一條自動分揀流水線3分鐘分揀的包裹總量為210件，一條人工分揀流水線3分鐘分揀的包裹與一條自動分揀流水線6分鐘分揀的包裹總量為315件．求一條人工分揀流水線與一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹各多少件？
(2)隨著智能化發(fā)展，該包裹分揀中心將人工分揀流水線更換為智能分揀流水線，其每分鐘平均分揀的包裹數(shù)量是自動分揀流水線的4倍，分揀完1500件包裹，一條智能分揀流水線比一條自動分揀流水線少用25分鐘，求一條機器自動分揀流水線與一條智能分揀流水線每分鐘平均分揀包裹各多少件？
24．命題：如果兩個三角形有兩條邊和其中一條邊上的高分別相等，那么這兩個三角形全等，上述命題是一個幾何真命題．將其改寫成己知、求證的形式，畫出圖形(如圖)，請根據(jù)該真命題的內容完成下述填空并給出完整的證明過程．
已知：如圖，在與中，，，分別為邊、邊上的高，_________．
求證：__________________．
25．解決下列問題：
(1)已知，分別求和的值；
(2)若，，求的值．
26．如圖，在中，，D為邊的中點，E為邊上任意一點（不與點A，B重合）
(1)如圖1，若，試猜想線段與的數(shù)量關系并說明理由；
(2)如圖2，F(xiàn)為邊上一點（不與點A，C重合），且滿足，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，作與關于直線對稱的，點E的對應點為，過點C作交BA的延長線于點M，連接，，求證：是等邊三角形．
參考答案與解析
1．A
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可直接得出答案．
【詳解】解：直角三角形具有穩(wěn)定性，正方形、長方形、平行四邊形不具有穩(wěn)定性，
故選A．
【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性、四邊形的不穩(wěn)定性，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．
2．C
【分析】本題考查了分式的約分，根據(jù)分式的基本性質進行約分即可求解．
【詳解】解：．
故選：C
3．D
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，分別根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對各選項計算后利用排除法求解．
【詳解】解：A、，故本選項錯誤；
B、，故本選項錯誤；
C、應為，故本選項錯誤；
D、，故本選項正確．
故選：D．
4．D
【分析】本題考查了全等三角形的判定；根據(jù)角平分線的定義得出，進而根據(jù)證明兩三角形全等，即可求解．
【詳解】解：平分，
，
在與中，
，
，
故選：D．
5．D
【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．求的是速度，路程明顯，一定是根據(jù)時間來列等量關系，本題的關鍵描述語是：甲比乙提前20分鐘到達目的地．等量關系為：甲走6千米用的時間分鐘=乙走10千米用的時間．
【詳解】解：設甲的速度為，則乙的速度為．
根據(jù)題意，得．
故選：D．
6．B
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質．熟練掌握垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
由垂直平分線的性質可得，由，可得，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：∵點C在線段的垂直平分線上，
∴，
∵，
∴，
∵點B，C，E三點共線，
∴，
故選：B．
7．A
【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．
【詳解】解：∵
，
∴應提取的公因式是．
故選A．
8．B
【分析】本題考查了等邊對等角以及三角形的內角和定理，先求出，根據(jù)可得，再由即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
∵，
∴
∴
故選：B
9．A
【分析】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，熟練掌握折疊的性質是解答本題的關鍵．由折疊的性質得由折疊的性質得，，從而求出，由三角形內角和可求出，從而可得．
【詳解】解：如圖，
由折疊的性質得，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：A．
10．B
【分析】本題考查軸對稱圖形的性質．延長到點G使得，延長到點F使得，連接交、于點、，則這時的周長最小，根據(jù)無變形的內角和求出的度數(shù)，根據(jù)軸對稱的性質得到，，然后計算解題即可．
【詳解】解：延長到點G使得，延長到點F使得，

∵，
∴、垂直平分、，
連接交、于點、，
則，，
∴，這時的周長最小，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
故選：B．
11．
【分析】本題考查了積的乘方運算，掌握運算法則是解題關鍵．
【詳解】解：原式，
故答案為：
12．720
【分析】利用多邊形的內角和公式計算即可．
【詳解】解：一個正六邊形的內角和的度數(shù)為：，
故答案為：720．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，掌握多邊形的內角和公式是解題的關鍵．
13．
【分析】本題考查了解分式方程，注意不要漏掉檢驗這一關鍵步驟．
【詳解】解：將分式方程化為整式方程得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴分式方程的解為：
故答案為：
14．6
【分析】本題考查了三角形的內角和定理、含30度角的直角三角形的特征：30度角所對的直角邊是斜邊的一半，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
故答案為：
15．##65度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質等知識．在上截取，連接，證明，得到，，進而得到，再證明，即可得到．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接．
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：
16．
【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式．
【詳解】解：
．
17．4
【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質．熟練掌握平行線的性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
由，可得，證明，則，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
故答案為：4．
18． 990 198
【分析】此題考查了“優(yōu)選數(shù)”的定義，根據(jù)定義即可確定最大的“優(yōu)選數(shù)”的個位和百位，從而確定十位；先設出N，然后表示出，根據(jù)為完全平方數(shù)，確定滿足條件的N的最小值為當時，即可解答.
【詳解】解：∵一個三位數(shù)N，若其百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字，則稱數(shù)N為“優(yōu)選數(shù)”，
∴最大的“優(yōu)選數(shù)”百位上是9，個位上是0，
∴十位上是9，
∴最大的“優(yōu)選數(shù)”為990；
若，則，
∴
若為完全平方數(shù)，則滿足條件的N的最小值為當時，
∴N的最小值為198.
19．(1)
(2)
【分析】（1）方程的兩邊都乘以，得出，求出這個整式方程的解，再代入進行檢驗即可；
（2）方程的兩邊都乘以，得出，求出這個整式方程的解，再代入進行檢驗即可．
【詳解】（1）解：
方程兩邊乘，得
，
解得
檢驗：當時，
∴原分式方程的解為．
（2）解：
方程兩邊乘，得
解得
檢驗：當時，
∴原分式方程的解為．
【點睛】本題考查了分式方程的解法．掌握把分式方程轉化為整式方程求解是解題的關鍵．
20．(1)圖見解析，
(2)
【分析】本題考查直角坐標系中的圖形變換，掌握關于y軸對稱的點的坐標特點和平移變換的坐標特點是解題的關鍵．
（1）根據(jù)橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等找出對應點，再連線即可；
（2）根據(jù)平移方式可知，只需將的頂點坐標的縱坐標依次減去3即可．
【詳解】（1）解：平移后的如圖；
由圖可知：頂點的坐標分別為；
（2）∵點的坐標分別是，向下平移3個單位得到，
∴頂點的坐標分別為：，即．
21．(1)
(2)
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，三角形的高和角平分線的定義，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
（1）先根據(jù)三角形內角和求出，由角平分線的定義求出，由直角三角形兩銳角互余得，然后根據(jù)求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義得，結合三角形內角和可得，然后根據(jù)對頂角相等即可求解．
【詳解】（1）在中，，
．
平分，
．
是邊上的高，
．
∴在中，，
．
（2）是的角平分線，
，
，
∴在中，．
．
22．(1)
(2)
【分析】本題考查了整式的混合運算和分解因式．
（1）先進行括號內運算，最后進行除法運算即可求解；
（2）先添括號化為，再分別根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．(1)一條人工分揀流水線與一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為15件，45件
(2)一條機器自動分揀流水線與一條智能分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為45件，180件
【分析】本題考查了二元一次方程以及分式方程的實際應用：
（1）先設一條人工分揀流水線與一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為x件，y件，再依題意，列式計算，即可作答．
（2）設一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為a件，則一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為件，再依題意，列式計算，即可作答．
注意分式方程要驗根
【詳解】（1）解：解：設一條人工分揀流水線與一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為x件，y件，
由題意得
解方程組，得
答：一條人工分揀流水線與一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為15件，45件．
（2）解：設一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為a件，則一條機器自動分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為件，由題意得
解方程，得．
經(jīng)檢驗，當時，．
所以，原分式方程的解為，且．
答：一條機器自動分揀流水線與一條智能分揀流水線每分鐘平均分揀包裹分別為45件，180件．
24．；；證明詳見解析
【分析】本題考查全等三角形的性質和判定，根據(jù)命題找出已知和結論，并填空，先證明，從而得到，最后利用證明即可，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
【詳解】①；②；
證明：分別為邊、邊上的高，
．
在與中，
．
．
在與中，
，
．
故答案為：；．
25．(1)；
(2)
【分析】本題考查了完全平方公式的應用．
（1）根據(jù)得到①，根據(jù)得到②，兩式進行加減即可求解；
（2）根據(jù)得到，根據(jù)，得到，即可求出
．
【詳解】（1）解：，
①，
又，
②，
①+②得，，
∴；
①②得，，
∴；
（2）解：，
∴，
，
∴，
．
26．(1)
(2)詳見解析
(3)詳見解析
【分析】（1）由題意得可推出，根據(jù)含的直角三角形的特征即可求解；
（2）取中點G，連接，證即可求解；
（3）證得，再證即可求解．
【詳解】（1）解：猜想．證明過程如下：
，
．
為的中點，
．
．
又，
．
在中，．
．
（2）證明：取中點G，連接，如圖，
由（1）可知，．
又，
又為的中點，
．
為等邊三角形．
．
，
．
在與中，
．
（3）證明：與關于直線AC軸對稱，，
．
．
又，
．
為平角．
由題意可知，又，
．
平分．
，
．
在與中，
．
．
由（2）可得，．
又，
為等邊三角形
．
在直角中，，
．
在與中，
．
．
是等邊三角形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、含的直角三角形、等邊三角形的判定與性質、“三線合一”等知識點，掌握相關幾何結論進行幾何推理論證是解題關鍵．

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