1．（3分）以下四個(gè)城市中某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是（ ）
A．北京B．濟(jì)南C．太原D．鄭州
2．（3分）5個(gè)相同正方體搭成的幾何體主視圖為（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2024年浙江經(jīng)濟(jì)一季度GDP為201370000萬元，其中201370000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．20.137×109B．0.20137×108
C．2.0137×109D．2.0137×108
4．（3分）下列式子運(yùn)算正確的是（ ）
A．x3+x2＝x5B．x3?x2＝x6C．（x3）2＝x9D．x6÷x2＝x4
5．（3分）某班有5位學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)為：7，7，8，10，13．則這5位學(xué)生志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O．若點(diǎn)A（﹣3，1）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（﹣6，2），則點(diǎn)B（﹣2，4）的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣4，8）B．（8，﹣4）C．（﹣8，4）D．（4，﹣8）
7．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE．若AE＝4，BE＝3，則DE＝（ ）
A．5B．C．D．4
9．（3分）反比例函數(shù)的圖象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）兩點(diǎn)．下列正確的選項(xiàng)是（ ）
A．當(dāng)t＜﹣4時(shí)，y2＜y1＜0B．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，y2＜y1＜0
C．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，0＜y1＜y2D．當(dāng)t＞0時(shí)，0＜y1＜y2
10．（3分）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝2，．過點(diǎn)A作AE⊥BC的垂線交BC于點(diǎn)E，記BE長為x，BC長為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（ ）
A．x+yB．x﹣yC．xyD．x2+y2
二、填空題（每題3分）
11．（3分）因式分解：a2﹣7a＝ ．
12．（3分）若，則x＝ ．
13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點(diǎn)，連接BC．已知∠ACB＝50°，則∠B的度數(shù)為 ．
14．（3分）有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是 ．
15．（3分）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長為 ．
16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．線段AB與A′B′關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′在線段OC上，A′B′交CD于點(diǎn)E，則△B′CE與四邊形OB′ED的面積比為 ．
三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）
17．（8分）計(jì)算：．
18．（8分）解方程組：．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的長；
（2）求sin∠DAE的值．
20．（8分）某校開展科學(xué)活動．為了解學(xué)生對活動項(xiàng)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查問卷和統(tǒng)計(jì)結(jié)果描述如下：
根據(jù)以上信息．解答下列問題：
（1）本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生中更關(guān)注“輔助學(xué)習(xí)”有多少人？
（2）菜雞學(xué)校共有1200名學(xué)生，根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)該校最喜愛“科普講座”的學(xué)生人數(shù)．
21．（8分）尺規(guī)作圖問題：
如圖1，點(diǎn)E是?ABCD邊AD上一點(diǎn)（不包含A，D），連接CE．用尺規(guī)作AF∥CE，F(xiàn)是邊BC上一點(diǎn)．
小明：如圖2．以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．
小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．
小明：小麗，你的作法有問題．
小麗：哦…我明白了！
（1）證明AF∥CE；
（2）指出小麗作法中存在的問題．
22．（10分）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
（2）求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；
（3）小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．
23．（10分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），對稱軸為直線．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；
（3）當(dāng)﹣2≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
24．（12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點(diǎn)E，使AE＝AC，延長BA至點(diǎn)F，連結(jié)EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．
（2）求證：①EF∥BC；
②EF＝BD．
2024年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分）
1．（3分）以下四個(gè)城市中某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是（ ）
A．北京B．濟(jì)南C．太原D．鄭州
【分析】有理數(shù)大小比較的法則：（1）正數(shù)都大于0；（2）負(fù)數(shù)都小于0；（3）正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；（4）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，
∵1＜2，
∴﹣1＞﹣2；
∵3℃＞0℃＞﹣1℃＞﹣2℃，
∴所給的四個(gè)城市中某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是太原．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）正數(shù)都大于0；（2）負(fù)數(shù)都小于0；（3）正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；（4）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。?br>2．（3分）5個(gè)相同正方體搭成的幾何體主視圖為（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：從正面看，共有三列，從左到右小正方形的個(gè)數(shù)分別為2、2、1．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
3．（3分）2024年浙江經(jīng)濟(jì)一季度GDP為201370000萬元，其中201370000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．20.137×109B．0.20137×108
C．2.0137×109D．2.0137×108
【分析】將一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：201370000＝2.0137×108，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）下列式子運(yùn)算正確的是（ ）
A．x3+x2＝x5B．x3?x2＝x6C．（x3）2＝x9D．x6÷x2＝x4
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可．
【解答】解：A．x3+x2不能合并同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．x3?x2＝x5，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．（x3）2＝x6，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．x6÷x2＝x4，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）某班有5位學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)為：7，7，8，10，13．則這5位學(xué)生志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
【解答】解：菜雞班有5位學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)為：7，7，8，10，13，從小到大排列排在中間的數(shù)是8，
所以這5位學(xué)生志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為8．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義．
6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O．若點(diǎn)A（﹣3，1）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（﹣6，2），則點(diǎn)B（﹣2，4）的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣4，8）B．（8，﹣4）C．（﹣8，4）D．（4，﹣8）
【分析】根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)A′的坐標(biāo)求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，點(diǎn)A（﹣3，1）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（﹣6，2），
∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1：2，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，4），
∴點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是位似變換，正確求出相似比是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
∴原不等式組的解集為：1≤x＜4，
∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE．若AE＝4，BE＝3，則DE＝（ ）
A．5B．C．D．4
【分析】由全等三角形的性質(zhì)得DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，則EH＝AE﹣AH＝1，而∠DHE＝90°，所以DE＝＝，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，
∵四邊形形EFGH是正方形，
∴∠DHE＝90°，
∴DE＝＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，求得DH＝4，EH＝1，并且證明∠DHE＝90°是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）反比例函數(shù)的圖象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）兩點(diǎn)．下列正確的選項(xiàng)是（ ）
A．當(dāng)t＜﹣4時(shí)，y2＜y1＜0B．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，y2＜y1＜0
C．當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，0＜y1＜y2D．當(dāng)t＞0時(shí)，0＜y1＜y2
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：∵反比例函數(shù)中，k＝4＞0，
∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
A、當(dāng)t＜﹣4時(shí)，t+4＜0，
∵t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，正確，符合題意；
B、當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，點(diǎn)P（t，y1）在第三象限，點(diǎn)Q（t+4，y2）在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜0＜y2，原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
C、由B知，當(dāng)﹣4＜t＜0時(shí)，y1＜0＜y2，原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
D、當(dāng)t＞0時(shí)，t+4＞0，
∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，
∵t＜t+4，
∴y1＞y2＞0，原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝2，．過點(diǎn)A作AE⊥BC的垂線交BC于點(diǎn)E，記BE長為x，BC長為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（ ）
A．x+yB．x﹣yC．xyD．x2+y2
【分析】過D作DH⊥BC，交BC延長線于H，由平行四邊形當(dāng)性質(zhì)推出AB＝DC，AD∥BC，得到AE＝DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE＝x，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2，得到xy＝2．
【解答】解：過D作DH⊥BC，交BC延長線于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），
∴CH＝BE＝x，
∵BC＝y(tǒng)，
∴EC＝BC﹣BE＝y(tǒng)﹣x，BH＝BC+CH＝y(tǒng)+x，
∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2，
∴22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2，
∴xy＝2．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2．
二、填空題（每題3分）
11．（3分）因式分解：a2﹣7a＝ a（a﹣7） ．
【分析】用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：a2﹣7a＝a（a﹣7）．
故答案為：a（a﹣7）．
【點(diǎn)評】本題考查了分解因式，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴绞墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
12．（3分）若，則x＝ 3 ．
【分析】先去分母將分式方程化為整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【解答】解：兩邊都乘以（x﹣1），得
2＝x﹣1，
解得x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，
所以原方程的解為x＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正確解答的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點(diǎn)，連接BC．已知∠ACB＝50°，則∠B的度數(shù)為 40° ．
【分析】由切線的性質(zhì)得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)求出∠B＝90°﹣50°＝40．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點(diǎn)，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°．
故答案為：40°．
【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)得到∠BAC＝90°．
14．（3分）有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，其中該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的數(shù)是4，8，
∴該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長為 4 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AED＝∠C，根據(jù)題意得到∠BEC＝∠C，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BE．
【解答】解：∵D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．線段AB與A′B′關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′在線段OC上，A′B′交CD于點(diǎn)E，則△B′CE與四邊形OB′ED的面積比為 ．
【分析】根據(jù)軸對稱可得到等線段等角，再結(jié)合菱形的性質(zhì)可得到△A'ED≌△CEB'（AAS），再證△DOE≌△B'OE（SSS），由B'C：B'O＝2：3即可求出答案．
【解答】解：如圖連接OE、A'D，
∵AB關(guān)于過O的直線對稱，
∴A'在BD延長線上，
∵，
∴設(shè)AC＝10k，BD＝6k，
在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，CB＝OD＝3k，
∵AB與A'B'關(guān)于過O的直線對稱，
∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA，
∴A'D＝B'C＝2k，
∵∠A'ED＝∠B'CE，
∴△A'ED≌△CEB'（AAS），
∴DE＝B'E，
∵OE＝OE，OD＝OB'，
∴△DOE≌△B'OE（SSS），
∴S△DOE＝S△B′OE，
∵＝＝，
∴＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識和線段之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．
三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）
17．（8分）計(jì)算：．
【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根的定義，絕對值的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2+5
＝7．
【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根，絕對值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（8分）解方程組：．
【分析】先有①×3+②得出10x＝5，求出x＝，再把x＝代入①求出y即可．
【解答】解：，
①×3+②得：10x＝5，
解得：x＝，
把x＝代入①得：2×﹣y＝5，
解得：y＝﹣4，
所以方程組的解是．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的長；
（2）求sin∠DAE的值．
【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根據(jù)勾股定理可得BD的長，進(jìn)而底層BC的長；
（2）根據(jù)AE是BC邊上的中線可得CE的長，由DE＝CE﹣CD可得DE的長，根據(jù)勾股定理可得AE的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8；
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝8+6＝14；
（2）∵AE是BC邊上的中線，
∴CE＝＝7，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1，
∵AD⊥BC，
∴＝＝，
∴sin∠DAE＝＝＝．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
20．（8分）某校開展科學(xué)活動．為了解學(xué)生對活動項(xiàng)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查問卷和統(tǒng)計(jì)結(jié)果描述如下：
根據(jù)以上信息．解答下列問題：
（1）本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生中更關(guān)注“輔助學(xué)習(xí)”有多少人？
（2）菜雞學(xué)校共有1200名學(xué)生，根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)該校最喜愛“科普講座”的學(xué)生人數(shù)．
【分析】（1）用本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生人數(shù)乘E所占百分比即可；
（2）用1200乘該校最喜愛“科普講座”項(xiàng)目的百分比即可．
【解答】解：（1）80×40%＝32（人），
答：本次調(diào)查中最喜愛“AI應(yīng)用”的學(xué)生中更關(guān)注“輔助學(xué)習(xí)”有32人；
（2）1200×＝324（人），
答：估計(jì)該校最喜愛“科普講座”的學(xué)生人數(shù)大約有324人．
【點(diǎn)評】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21．（8分）尺規(guī)作圖問題：
如圖1，點(diǎn)E是?ABCD邊AD上一點(diǎn)（不包含A，D），連接CE．用尺規(guī)作AF∥CE，F(xiàn)是邊BC上一點(diǎn)．
小明：如圖2．以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．
小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF∥CE．
小明：小麗，你的作法有問題．
小麗：哦…我明白了！
（1）證明AF∥CE；
（2）指出小麗作法中存在的問題．
【分析】（1）根據(jù)小明的作法知，CF＝AE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AD∥BC，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”求出四邊形AFCE是平行四邊形，根據(jù)“平行四邊形的對邊互相平行”即可得證；
（2）以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，此時(shí)可能會有兩個(gè)交點(diǎn)，只有其中之一符合題意．
【解答】（1）證明：根據(jù)小明的作法知，CF＝AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
又∵CF＝AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF∥CE；
（2）解：以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，此時(shí)可能會有兩個(gè)交點(diǎn)，只有其中之一符合題意．
故小麗的作法有問題．
【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
（2）求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；
（3）小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．
【分析】（1）由小明的跑步里程及時(shí)間可得A檔速度，再根據(jù)B檔比A檔快40米/分、C檔比B檔快40米/分，即可得出答案；
（2）結(jié)合圖象求出小麗每段跑步所用時(shí)間，再根據(jù)總時(shí)間即可求解；
（3）由題意可得，此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），可得方程80a＝3000+160（a﹣40），求解即可．
【解答】解：（1）由題意可知，A檔速度為4000÷50＝80（米/分），
則B檔速度為80+40＝120（米/分），
C檔速度為120+40＝160（米/分），
答：A，B，C各檔速度80米/分、120米/分、160米/分．
（2）小麗第一段跑步時(shí)間為1800÷120＝15（分），
小麗第二段跑步時(shí)間為（3000﹣1800）÷120＝10（分），
小麗第三段跑步時(shí)間為（4600﹣3000）÷160＝10（分），
則小麗兩次休息時(shí)間的總和為50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分），
答：小麗兩次休息時(shí)間的總和為5分鐘．
（3）∵小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，
∴此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），
∴80a＝3000+160（a﹣40），
∴a＝42.5．
【點(diǎn)評】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），對稱軸為直線．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；
（3）當(dāng)﹣2≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
【分析】（1）依據(jù)題意，由二次函數(shù)為y＝x2+bx+c，可得拋物線為直線x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），求出c的值，進(jìn)而可以得解；
（2）依據(jù)題意，由點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m個(gè)單位長度（m＞0），進(jìn)而可得平移后的點(diǎn)為（1﹣m，9），結(jié)合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3圖象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，進(jìn)而計(jì)算可以得解；
（3）依據(jù)題意，由y＝x2+x+3＝（x+）2+，可得當(dāng)x＝﹣時(shí)，y取最小值，最小值為，再根據(jù)n＜﹣、﹣2＜﹣≤n≤1和n＞1進(jìn)行分類討論，即可計(jì)算得解．
【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)為y＝x2+bx+c，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣．
∴b＝1．
∴拋物線為y＝x2+x+c．
又圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．
∴c＝3．
∴拋物線為y＝x2+x+3．
（2）由題意，∵點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m個(gè)單位長度（m＞0），
∴平移后的點(diǎn)為（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
（3）由題意，當(dāng) 時(shí)，
∴最大值與最小值的差為．
∴，不符合題意，舍去．
當(dāng)﹣≤n≤1 時(shí)，
∴最大值與最小值的差為，符合題意．
當(dāng)n＞1時(shí)，最大值與最小值的差為 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合題意．
綜上所述，n的取值范圍為﹣≤n≤1．
【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值、坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點(diǎn)E，使AE＝AC，延長BA至點(diǎn)F，連結(jié)EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．
（2）求證：①EF∥BC；
②EF＝BD．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）①利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角以及平行線的判定方法即可得出結(jié)論；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，圓周角定理進(jìn)行解答即可．
【解答】（1）解：∵CD為直徑，
∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°；
（2）證明：①如圖，延長AB，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②過點(diǎn)D作DG∥BC交⊙O于點(diǎn)G，連接AG，CG，
∵DG∥BC，
∴＝，
∴BD＝CG，
∵四邊形ACGD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵EF∥DG
∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/13 14:27:59；用戶：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學(xué)號：39221433北京
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