1．古典概型
一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有eq \x(\s\up1(01))有限個；
(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性eq \x(\s\up1(02))相等．
稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
2．古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq \x(\s\up1(03))eq \f(k,n)．
一個試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特征的概率模型才是古典概型．正確的判斷試驗(yàn)的類型是解決概率問題的關(guān)鍵．
1．(人教A必修第二冊10.1.1例3改編)一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,4) D．0
答案 A
解析 一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲2次，樣本點(diǎn)有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4個，而恰有1次出現(xiàn)正面包括(正，反)，(反，正)，2個，故其概率為eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).故選A.
2．(多選)下列是古典概型的是( )
A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小
B．同時擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率
答案 ABD
解析 A，B，D是古典概型，因?yàn)槎季邆涔诺涓判偷膬蓚€特征：有限性和等可能性，而C不具備等可能性，故不是古典概型．故選ABD.
3．(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 所有取法一共有Ceq \\al(2,7)＝21種，不互質(zhì)的有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種．故這2個數(shù)互質(zhì)的概率為eq \f(21－7,21)＝eq \f(2,3).
4．中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一，古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形中較短的直角邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦，其三邊長組成的一組數(shù)據(jù)稱為勾股數(shù)，現(xiàn)從1～15這15個數(shù)中隨機(jī)抽取3個整數(shù)，則這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為( )
A.eq \f(1,910) B.eq \f(3,910)
C.eq \f(3,455) D.eq \f(4,455)
答案 D
解析 從這15個數(shù)中隨機(jī)抽取3個整數(shù)，所有樣本點(diǎn)的個數(shù)為Ceq \\al(3,15)，其中勾股數(shù)為(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共4個，所以這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為P＝eq \f(4,Ceq \\al(3,15))＝eq \f(4,455).故選D.
5．(人教A必修第二冊10.1.3例8改編)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是________．
答案 eq \f(1,9)
解析 根據(jù)題意可得樣本點(diǎn)共有6×6＝36個，點(diǎn)數(shù)和為5的樣本點(diǎn)有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4個，所以向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
例1 (2023·濰坊一中期末)袋子里有6個大小、質(zhì)地完全相同且?guī)в胁煌幪柕男∏?，其中?個紅球，2個白球，3個黑球，從中任取2個球．
(1)寫出樣本空間；
(2)求取出的兩球顏色不同的概率；
(3)求取出的兩球中至多有一個黑球的概率．
解 (1)將1個紅球記為a，2個白球記為b1，b2，3個黑球記為c1，c2，c3，則樣本空間Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，共15個樣本點(diǎn)．
(2)記事件A為“取出的兩球顏色不同”，則兩球的顏色可能是1紅1白，1紅1黑，1白1黑，則
A＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)}，共11個樣本點(diǎn)，所以P(A)＝eq \f(11,15).
(3)記事件B為“取出的兩球中至多有一個黑球”，則兩球的顏色可能是1紅1白，1紅1黑，1白1黑，2白，則
B＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)}，共12個樣本點(diǎn)，所以P(B)＝eq \f(12,15)＝eq \f(4,5).
1．古典概型的概率求解步驟
(1)求出樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)n；
(2)求出事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)m；
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
2．樣本點(diǎn)個數(shù)的確定方法
(1)列舉法；
(2)樹狀圖法；
(3)運(yùn)用排列組合的知識．
提醒：在確定樣本點(diǎn)時，(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同．
1.(2023·全國乙卷)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故共有6×6＝36種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有Aeq \\al(2,6)＝30種，則其概率為eq \f(30,36)＝eq \f(5,6).故選A.
2．一個信箱里裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后隨機(jī)地選取2封信，根據(jù)下列條件，分別求2封信上的數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率．
(1)信的選取是無放回的；
(2)信的選取是有放回的．
解 (1)記事件A為“選取的2封信上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”．
從4封信中無放回地隨機(jī)選取2封，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共12個樣本點(diǎn)，這12個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的，
A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}，共6個樣本點(diǎn)．
由古典概型的概率計算公式知P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，
故無放回地選取2封信，這2封信上數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率為1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
(2)從4封信中有放回地隨機(jī)選取2封，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16個樣本點(diǎn)，這16個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的．
A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}，共6個樣本點(diǎn)，且這6個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的．
由古典概型的概率計算公式知P(A)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，
故有放回地選取2封信，這2封信上數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率為1－eq \f(3,8)＝eq \f(5,8).
多角度探究突破
角度古典概型與平面向量的交匯
例2 已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)，若x，y分別表示一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求：
(1)a·b＝－1的概率；
(2)a·b

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