高考數(shù)學科學創(chuàng)新復習方案提升版第53講拋物線（一）學案（Word版附解析）-學案下載-教習網(wǎng)

1．拋物線的概念
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離eq \x(\s\up1(01))相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的eq \x(\s\up1(02))焦點，直線l叫做拋物線的eq \x(\s\up1(03))準線．
2．拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．
1．(人教A選擇性必修第一冊P133練習T2改編)拋物線y＝2x2的準線方程為( )
A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4)
C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1
答案 A
解析由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故拋物線y＝2x2的準線方程為y＝－eq \f(1,8).故選A.
2．(2023·紹興模擬)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，若點P(1，m)在拋物線上，且|PF|＝3，則p＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，準線方程為x＝－eq \f(p,2)，點P(1，m)在拋物線上，且|PF|＝3，由拋物線的定義可知1＋eq \f(p,2)＝3，則p＝4.故選C.
3．(人教B選擇性必修第一冊2.7.1練習B T5改編)若動點M(x，y)到點F(4，0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點M的軌跡方程是( )
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 D
解析 ∵點M到F(4，0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，∴點M到F的距離和它到直線x＝－4的距離相等，故點M的軌跡是以F為焦點，直線x＝－4為準線的拋物線，得點M的軌跡方程為y2＝16x.
4．(人教A選擇性必修第一冊3.3.1練習T3改編)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P在拋物線上，|PF|＝6，則點P的橫坐標為( )
A．6 B．5
C．4 D．2
答案 C
解析設(shè)點P的橫坐標為x0，拋物線y2＝8x的準線方程為x＝－2.∵點P在拋物線上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4.故選C.
5．(人教B選擇性必修第一冊習題2－7C T1(1)改編)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F(xiàn)是拋物線的焦點．若B(3，2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
答案 4
解析如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.
例1 (1)(多選)過點P(－2，3)的拋物線的標準方程可以是( )
A．y2＝－eq \f(9,2)x B．y2＝eq \f(9,2)x
C．x2＝－eq \f(4,3)y D．x2＝eq \f(4,3)y
答案 AD
解析設(shè)拋物線的標準方程為y2＝kx或x2＝my，代入點P(－2，3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.故選AD.
(2)(2021·北京高考)已知拋物線C：y2＝4x，焦點為F，點M為拋物線C上的點，且|FM|＝6，則M的橫坐標是________；作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝________．
答案 5 4eq \r(5)
解析因為拋物線的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因為|FM|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
求拋物線的標準方程的方法
(1)定義法．
(2)待定系數(shù)法：當焦點位置不確定時，常采用以下兩種模式設(shè)拋物線的標準方程：
1.動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是( )
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
答案 D
解析設(shè)動圓的圓心為C，半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓圓心到直線x＝2的距離為r＋1，根據(jù)拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線．故選D.
2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，設(shè)M(x0，y0)，由拋物線的定義，知|MF|＝x0＋eq \f(p,2)＝5，得x0＝5－eq \f(p,2)，則以MF為直徑的圓的圓心橫坐標為eq \f(5,2)，而圓的半徑為eq \f(5,2)，于是得該圓與y軸相切于點(0，2)，得圓心的縱坐標為2，則點M的縱坐標為4，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，從而有42＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.
例2 (1)(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1，0) D．(2，0)
答案 B
解析因為直線x＝2與拋物線y2＝2px(p＞0)交于D，E兩點，且OD⊥OE，不妨設(shè)點D在第一象限，根據(jù)拋物線的對稱性可得∠DOx＝∠EOx＝eq \f(π,4)，所以D(2，2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).故選B.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析
解法一：不妨設(shè)點P在第一象限，如圖，由已知可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq \f(1,2).所以直線PQ的方程為y－p＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq \f(5,2)p.所以|FQ|＝eq \f(5,2)p－eq \f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的準線方程為x＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(3,2).
解法二：由題易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準線方程為x＝－eq \f(3,2).
(1)涉及拋物線上的點到焦點的距離或到準線的距離時，?？上嗷マD(zhuǎn)化．
(2)應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．
1.已知拋物線C：y2＝4x與圓E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B兩點，點M為劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一個動點，平行于x軸的直線MN交拋物線于點N，則△MNE周長的取值范圍為( )
A．(3，5) B．(5，7)
C．(6，8) D．(6，8]
答案 C
解析如圖所示，圓E的圓心為(1，0)，半徑為3，拋物線的焦點為(1，0)，準線為x＝－1.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,（x－1）2＋y2＝9，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2\r(2))) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,y＝－2\r(2)，))不妨令A(2，2eq \r(2))，B(2，－2eq \r(2))，所以20)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值為________．
答案 42或22
解析當點M(20，40)位于拋物線內(nèi)時，如圖1，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當點M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42；當點M(20，40)位于拋物線外時，如圖2，當點P，M，F(xiàn)三點共線時，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(p,2)))\s\up12(2)＋402)＝41，解得p＝22或p＝58.當p＝58時，拋物線C：y2＝116x，點M(20，40)在拋物線內(nèi)，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.
課時作業(yè)
一、單項選擇題
1．(2023·成都模擬)拋物線y＝16x2的焦點坐標為( )
A．(0，4) B．(4，0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,64))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,64)，0))
答案 C
解析拋物線的標準方程為x2＝eq \f(1,16)y，故焦點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,64))).故選C.
2．(2023·濟南期末)已知拋物線的準線方程為x＝1，則該拋物線的標準方程為( )
A．x2＝－4y B．x2＝4y
C．y2＝4x D．y2＝－4x
答案 D
解析由題意知，拋物線的準線方程為x＝1，所以拋物線開口向左，設(shè)拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，則eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以拋物線的標準方程為y2＝－4x.故選D.
3．(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝( )
A．7 B.6
C.5 D.4
答案 D
解析因為拋物線C：y2＝8x的焦點F(2，0)，準線方程為x＝－2，點M在C上，所以M到準線x＝－2的距離為|MF|，又M到直線x＝－3的距離為5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故選D.
4．(2023·邯鄲一模)拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線經(jīng)過該拋物線的焦點．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，一條平行于x軸的光線，經(jīng)過點A(3，1)，射向拋物線C的B處，經(jīng)過拋物線C的反射，經(jīng)過拋物線C的焦點F，若|AB|＋|BF|＝5，則拋物線C的準線方程是( )
A．x＝－4 B．x＝－2
C．x＝－1 D．x＝－eq \f(1,2)
答案 B
解析由拋物線的定義可得|AB|＋|BF|＝3＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝4，則拋物線C的準線方程是x＝－eq \f(p,2)＝－2.故選B.
5．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析由題意可知，點F的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，又F為△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2).又由拋物線的定義可知|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.故選C.
6．(2023·十堰二模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C的準線與坐標軸交于點P，點M(3，2)，且△MFP的面積為2，若Q是拋物線C上一點，則△FMQ周長的最小值為( )
A．4＋eq \r(2) B．4＋2eq \r(2)
C．4＋eq \r(10) D．4＋2eq \r(10)
答案 B
解析由題意可知，△MFP的面積為eq \f(1,2)×p×2＝2，解得p＝2，則F(1，0)，準線方程為x＝－1，|MF|＝eq \r(（3－1）2＋22)＝2eq \r(2)，點Q到準線的距離為|QQ′|，△FMQ的周長最小，需|QF|＋|MQ|最小，即|QQ′|＋|MQ|最小，所以當MQ垂直于拋物線C的準線時，△FMQ的周長最小，且最小值為4＋2eq \r(2).故選B.
7．(2023·咸陽模擬)若F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，P是拋物線C上任意一點，|PF|的最小值為1，且A，B是拋物線C上兩點，線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2，則|AF|＋|BF|＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 D
解析由條件可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則|PF|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＋2px0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(p,2)))eq \s\up12(2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))eq \s\up12(2)，當且僅當x0＝0時取等號，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))eq \s\up12(2)＝1，解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2，所以x1＋x2＝4，所以由拋物線的定義可知|AF|＋|BF|＝p＋x1＋x2＝6.故選D.
8．已知點P為拋物線x2＝4y上任意一點，點A是圓x2＋(y－6)2＝5上任意一點，則|PA|的最小值為( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5)
C．3eq \r(5) D．6－eq \r(5)
答案 A
解析圓x2＋(y－6)2＝5的圓心為C(0，6)，半徑r＝eq \r(5).設(shè)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(xeq \\al(2,0),4)))，則|PC|2＝xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),4)－6))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)xeq \\al(4,0)－2xeq \\al(2,0)＋36＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)xeq \\al(2,0)－4))eq \s\up12(2)＋20，當xeq \\al(2,0)＝16時，|PC|2有最小值20，數(shù)形結(jié)合可知|PA|min＝|PC|min－eq \r(5)＝2eq \r(5)－eq \r(5)＝eq \r(5).
二、多項選擇題
9．(2023·衡水聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，P為拋物線上一點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．焦點F到拋物線準線的距離為2
B．若|PF|＝2，則點P的坐標為(1，2)
C．過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2
D．若點M的坐標為(1，4)，則|PM|＋|PF|的最小值為4
答案 AD
解析由拋物線的解析式知p＝2，所以拋物線的焦點F(1，0)，準線方程為x＝－1，所以焦點F到拋物線準線的距離為2，故A正確；設(shè)拋物線上點P(x，y)，則|PF|＝x＋1＝2，解得x＝1，故y＝±2，則點P的坐標為(1，2)或(1，－2)，故B錯誤；過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2p＝4，故C錯誤；如圖，當M，P，F(xiàn)三點共線且P在線段MF上時，|PM|＋|PF|取得最小值，即|MF|＝eq \r(（1－1）2＋42)＝4，故D正確．故選AD.
10．(2023·大慶模擬)已知拋物線x2＝eq \f(1,2)y的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．點F的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))
B．若直線MN過點F，則x1x2＝－eq \f(1,16)
C．若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，則|MN|的最小值為eq \f(1,2)
D．若|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，則線段MN的中點P到x軸的距離為eq \f(5,8)
答案 BCD
解析易知點F的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，A錯誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點F時，x1x2＝－p2＝－eq \f(1,16)，B正確；若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，則MN過點F，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長，為2p，即eq \f(1,2)，C正確；拋物線x2＝eq \f(1,2)y的焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，準線方程為y＝－eq \f(1,8)，過點M，N，P分別作準線的垂線MM′，NN′，PP′，垂足分別為M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，所以|PP′|＝eq \f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq \f(3,4)，所以線段MN的中點P到x軸的距離為|PP′|－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)＝eq \f(5,8)，D正確．故選BCD.
11．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq \r(3)，則( )
A．|BF|＝3
B．△ABF是等邊三角形
C．點F到準線的距離為3
D．拋物線C的方程為y2＝6x
答案 BCD
解析根據(jù)題意，作出圖形如圖所示．因為以|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，所以|FA|＝|FB|，又|FA|＝|AB|，所以△ABF為等邊三角形，B正確；因為∠ABD＝90°，所以AB∥x軸，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝eq \f(\r(3),4)|BF|2＝eq \f(\r(3),4)·4p2＝9eq \r(3)，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A不正確；焦點到準線的距離為p＝3，所以C正確；拋物線C的方程為y2＝6x，所以D正確．故選BCD.
三、填空題
12．(2023·全國乙卷)已知點A(1，eq \r(5))在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準線的距離為________．
答案 eq \f(9,4)
解析由題意可得(eq \r(5))2＝2p×1，則2p＝5，拋物線C的方程為y2＝5x，準線方程為x＝－eq \f(5,4)，所以A到C的準線的距離為1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝eq \f(9,4).
13.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a＜b)，原點O為AD的中點，拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)
過C，F(xiàn)兩點，則eq \f(b,a)＝________．
答案 1＋eq \r(2)
解析依題意知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，因為點C，F(xiàn)在拋物線上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝pa，,b2＝p（a＋2b），))兩式相除得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)－2·eq \f(b,a)－1＝0，解得eq \f(b,a)＝1＋eq \r(2)或eq \f(b,a)＝1－eq \r(2)(舍去)．
14．(2023·江蘇二模)已知點P在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，過P作C的準線的垂線，垂足為H，點F為C的焦點．若∠HPF＝60°，點P的橫坐標為1，則p＝________．
答案 eq \f(2,3)
解析如圖所示，不妨設(shè)點P在第一象限，聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝1，))
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝±\r(2p)，))即點P(1，eq \r(2p))．易知PH⊥y軸，則PH∥x軸，則∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直線PF的傾斜角為60°，易知點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以kPF＝eq \f(\r(2p),1－\f(p,2))＝eq \r(3)，整理可得2eq \r(2p)＝eq \r(3)(2－p)，且2－p>0，故00)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的離心率；
(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|＝5，求C1與C2的標準方程．
解 (1)∵F(c，0)，AB⊥x軸且與橢圓C1相交于A，B兩點，
則直線AB的方程為x＝c，
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))
則|AB|＝eq \f(2b2,a).
拋物線C2的方程為y2＝4cx，
把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，
∴|CD|＝4c.
∵|CD|＝eq \f(4,3)|AB|，即4c＝eq \f(8b2,3a)，
∴2b2＝3ac.
又b2＝a2－c2，∴2c2＋3ac－2a2＝0，
即2e2＋3e－2＝0，解得e＝eq \f(1,2)或e＝－2，
∵0＜e＜1，∴e＝eq \f(1,2)，
∴橢圓C1的離心率為eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，橢圓C1的方程為eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4cx，,\f(x2,4c2)＋\f(y2,3c2)＝1，))消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝eq \f(2,3)c或x＝－6c(舍去)，
由拋物線的定義可得|MF|＝eq \f(2,3)c＋c＝eq \f(5c,3)＝5，
解得c＝3.
∴曲線C1的標準方程為eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
曲線C2的標準方程為y2＝12x.
16．已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB的中點的軌跡方程．
解 (1)證明：由題意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，Req \b\lc\((\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))).
記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.
記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則
k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝eq \f(－ab,a)＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1，0)，則S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由題設(shè)可得2×eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，
所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)．
當AB與x軸不垂直時，
由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．
而eq \f(a＋b,2)＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．
當AB與x軸垂直時，E與D重合．
所以所求軌跡方程為y2＝x－1.標準方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
O(0，0)
對稱軸
eq \x(\s\up1(04))x軸
eq \x(\s\up1(05))y軸
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(06))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(07))__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \x(\s\up1(08))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝eq \x(\s\up1(09))1
準線方程
eq \x(\s\up1(10))x＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(11))x＝eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(12))y＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(13))y＝eq \f(p,2)
范圍
eq \x(\s\up1(14))x≥0，y∈R
eq \x(\s\up1(15))x≤0，y∈R
eq \x(\s\up1(16))y≥0，x∈R
eq \x(\s\up1(17))y≤0，x∈R
開口方向
向eq \x(\s\up1(18))右
向eq \x(\s\up1(19))左
向eq \x(\s\up1(20))上
向eq \x(\s\up1(21))下
考向一拋物線的定義及標準方程
焦點在x軸上
設(shè)為y2＝ax(a≠0)
焦點在y軸上
設(shè)為x2＝ay(a≠0)
考向二拋物線的幾何性質(zhì)
考向三與拋物線有關(guān)的最值問題

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