河北省唐山市第一中學2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網

考試范圍：高考范圍；考試時間：120分鐘；命題人：高三數(shù)學組
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題∶本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則（）
A. 1B. C. 2D.
2. 已知，則“”是“”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 已知向量，滿足，，且，則（）
A. B. C. 2D. 1
4. 已知是定義在R上奇函數(shù)，且當時，，則此函數(shù)的值域為（）
A. B.
C. D.
5. 設甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A=“從甲袋中任取1球是紅球”，事件B=“從乙袋中任取2球全是白球”，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D. 事件A與事件B相互獨立
6. 已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是上一點，點滿足，，則的離心率為（）
A. B. C. D.
7. 正四面體棱長為，點，是它內切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當線段最長時，的最大值為（）
A. B. C. D.
8. 已知直線是曲線與曲線的公切線，則（）
A. 2B. C. D.
二、多選題（本大題共3小題）
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關于直線對稱
C. 的圖象關于點中心對稱
D. 的最大值為1
10. 已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，，則（）
A. 的圖像關于點成中心對稱
B.
C.
D.
11. 已知橢圓：的左右焦點分別為、，點在橢圓內部，點在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）
A. 離心率的取值范圍為B. 當時，的最大值為
C. 存在點，使得D. 的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12. 在二項式的展開式中的系數(shù)為______．
13. 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為________.
14. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點P是的重心，且，則___________.
四、解答題（本大題共5小題）
15. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項和.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，數(shù)列的前項和，求證：.
16. 某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下:得分在[70，80）內的學生獲三等獎，得分在[80，90）內的學生獲二等獎，得分在[90，100]內的學生獲一等獎，其他學生不得獎.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.
若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:
（1）若該市共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）;
（2）若從所有參賽學生中（參賽學生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學生進行訪談，設其中競賽成績在64分以上的學生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值.
附:若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，.
17. 如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上最大值．
19. 已知橢圓C：（）的離心率為，短軸長為，，分別為C的上、下頂點，直線：與C相交于M，N兩點，直線與相交于點P.
（1）求C方程；
（2）證明點P在定直線上，并求直線，，圍成的三角形面積的最小值.保密★啟用前
唐山一中2024-2025學年第一學期高三年級開學收心考試
數(shù) 學試題
考試范圍：高考范圍；考試時間：120分鐘；命題人：高三數(shù)學組
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題∶本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的模計算公式計算可得.
【詳解】因為，所以.
故選：D
2. 已知，則“”是“”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要條件的判定,即可得解.
【詳解】解不等式,可得或
則由充分必要條件的判定可知“”是“”的充分不必要條件
故選:A
【點睛】本題考查了充分必要條件的判斷,屬于基礎題.
3. 已知向量，滿足，，且，則（）
A. B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，再將兩邊平方，結合數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】因為，，所以，
又，所以，即，
所以，
則，解得（負值已舍去）.
故選：B
4. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則此函數(shù)的值域為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】當時，，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得當時，，再結合奇函數(shù)的性質即可得答案.
【詳解】解：因為當時，
因為，所以，所以，
所以當時，，
又因為是定義在R上奇函數(shù)，
故當時，函數(shù)的值域為，
故此函數(shù)的值域為.
故選：A.
【點睛】本題考查指數(shù)冪的二次函數(shù)型的值域求解問題，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于配方得，進而利用二次函數(shù)性質與奇偶性性質求解.
5. 設甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A=“從甲袋中任取1球是紅球”，事件B=“從乙袋中任取2球全是白球”，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D. 事件A與事件B相互獨立
【答案】C
【解析】
【分析】由古典概型概率計算公式，以及條件概率公式分項求解判斷即可.
【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知，從甲袋中任取1球對乙袋中任取2球有影響，事件A與事件B不是相互獨立關系，故D錯誤；
從甲袋中任取1球是紅球的概率為：，
從甲袋中任取1球是白球的概率為：，
所以乙袋中任取2球全是白球的概率為：
，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
故選：C
6. 已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是上一點，點滿足，，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】根據(jù)題意，過點作，交的延長線于點，由雙曲線的定義結合余弦定理代入計算，再由離心率的計算公式，即可得到結果.
【分析】

由，得，．
因為，所以點在線段上，且．
如圖，過點作，交的延長線于點，則，
所以，所以．
設，則，所以．
由雙曲線的定義可知，所以，
則．設，則．
在中，由余弦定理，得，
即，所以，
則（負值已舍去）．
故選：B．
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于結合雙曲線的定義以及余弦定理代入計算.
7. 正四面體的棱長為，點，是它內切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當線段最長時，的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設四面體的內切球球心為，為的中心，為的中點，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內切球的半徑，當為內切球的直徑時，最長，再化簡可求得其最大值.
【詳解】設正四面體的內切球球心為，為的中心，為的中點，連接，則在上，連接，則.
因為正四面體的棱長為3，所以，
所以，設內切球的半徑為，
則，，解得，
當為內切球的直徑時最長，此時，，
，
因為為正四面體表面上的動點，所以當為正四體的頂點時，最長，的最大值為，所以的最大值為.

故選：C
8. 已知直線是曲線與曲線公切線，則（）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設是圖象上的切點，利用導數(shù)的幾何意義求出曲線上的切點，繼而求出t的值，結合切線方程，即可求得答案.
【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，
設是圖象上的切點，，
所以在點處的切線方程為，即①
令，解得，
即直線與曲線的切點為，
所以，即，解得或，
當時，①為，不符合題意，舍去，
所以，此時①可化為，所以，
故選：A
二、多選題（本大題共3小題）
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關于直線對稱
C. 的圖象關于點中心對稱
D. 的最大值為1
【答案】ABC
【解析】
【分析】求得最小正周期判斷A；求得最大值判斷B；求得對稱中心判斷C；求得對稱軸判斷D.
【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；
由，可得，
所以圖象的對稱軸為，
當時，圖象的關于對稱，故B正確；
由，可得，
所以圖象的對稱中心為，當時，
圖象的關于點對稱，故C正確；
當時，的最大值為2，故D不正確.
故選：ABC.
10. 已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，，則（）
A. 的圖像關于點成中心對稱
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A、B，利用賦值法進行計算即可得；對C、D，利用賦值法后結合數(shù)列的性質進行相應的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得.
【詳解】對A：令，則有，即，
令，則有，又f1=0，故，不關于1,0對稱，故A錯誤；
對于B，令，則有，
兩邊同時求導，得，
令，則有，故B正確；
對C：令，則有，即，
則
，故C正確；
對D：令，則有，即，
則，即，
又，故，
則，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題C、D選項關鍵在于利用賦值法，結合數(shù)列的性質進行相應的累加及等差數(shù)列公式法求和.
11. 已知橢圓：的左右焦點分別為、，點在橢圓內部，點在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）
A. 離心率的取值范圍為B. 當時，的最大值為
C. 存在點，使得D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A項中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進行判斷；B項中根據(jù)橢圓定義轉化為求的最大值，從而進而判斷；C項中先求出點的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點，從而進行判斷；D項中根據(jù)橢圓定義得，并結合基本不等式判斷.
【詳解】對于A項：因為點在橢圓內部，所以，得，
，故A項正確；
對于B項：，
當在軸下方時，且，，三點共線時，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B項正確；

對于C項：設，若，即：，
則得，即點在以原點為圓心，半徑為的圓上，
又由A項知，得，又因為，得，
所以得，所以該圓與橢圓無交點，故C項錯誤；
對于D項：，
，
當且僅當時取等號，故D項正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共3小題）
12. 在二項式的展開式中的系數(shù)為______．
【答案】
【解析】
【分析】結合二項式定理展開式的通項公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式為
令，解得，則的系數(shù)為
故答案為：
13. 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為________.
【答案】
【解析】
【分析】設公共點為，由，可得，進而利用導數(shù)可得，求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，可得，由，
設曲線與曲線的公共點為，
由于在公共點處有共同的切線，所以，所以，
由，可得，聯(lián)立可得，
解得，所以，所以公共點坐標為.
故答案為：.
14. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點P是的重心，且，則___________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換可得或，利用重心的性質、模的性質及數(shù)量積得運算，可建立關于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.
【詳解】，
整理得，
解得或（舍去），
或.
又∵點P是的重心，
，
整理得.
當時，，得，
此時，
解得；
當時，，得，
此時，
解得.
故答案為：或
【點睛】本題主要考查了三角恒等變換，向量的數(shù)量積運算法則、性質，余弦定理，屬于難題.
四、解答題（本大題共5小題）
15. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項和.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，數(shù)列前項和，求證：.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）運用等差數(shù)列的公式和性質求解即可；
（2）先求出，再求出，后裂項相消，求出，結合不等式性質證明即可.
【小問1詳解】
由于則，
則，因此，
故數(shù)列的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）知，，則，
則，即.
，
由于，則，故成立.
16. 某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下:得分在[70，80）內的學生獲三等獎，得分在[80，90）內的學生獲二等獎，得分在[90，100]內的學生獲一等獎，其他學生不得獎.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.
若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:
（1）若該市共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）;
（2）若從所有參賽學生中（參賽學生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學生進行訪談，設其中競賽成績在64分以上的學生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值.
附:若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】（1）1587；
（2）分布列見解析，數(shù)學期望為.
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出，再由正態(tài)分布的對稱性求出，進而求出學生數(shù).
（2）由（1）求出，再利用二項分布求出分布列及期望.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為，
樣本平均數(shù)的估計值，
則所有參賽學生的成績X近似服從正態(tài)分布，而，
因此
所以參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)約為.
【小問2詳解】
由（1）知，，，
即從所有參賽學生中隨機抽取1名學生，該學生競賽成績在64分以上的概率為，
因此隨機變量服從二項分布，的可能值為0，1，2，3，
則，，，，
所以隨機變量的分布列為：
數(shù)學期望.
17. 如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由分別為，的中點，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；
（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.
【詳解】（1）分別為，的中點，
，
又，
，
在中，為中點，則，
又側面為矩形，
，
，
，
由，平面，
平面，
又，且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面
，
，
又平面，
平面，
平面，
平面平面.
(2)[方法一]：幾何法
如圖，過O作的平行線分別交于點，聯(lián)結，
由于平面，平面，，
平面，平面，所以平面平面．
又因平面平面，平面平面，所以．
因為，，，所以面．
又因，所以面，
所以與平面所成的角為．
令，則，由于O為的中心，故．
在中，，
由勾股定理得．
所以．
由于，直線與平面所成角的正弦值也為．
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法
因為平面，平面平面，所以．
因為，所以四邊形為平行四邊形．
由（Ⅰ）知平面，則為平面的垂線．
所以在平面的射影為．
從而與所成角的正弦值即為所求．
在梯形中，設，過E作，垂足為G，則．
在直角三角形中，．
[方法三]：向量法
由（Ⅰ）知，平面，則為平面的法向量．
因為平面，平面，且平面平面，
所以．
由（Ⅰ）知，即四邊形為平行四邊形，則．
因為O為正的中心，故．
由面面平行的性質得，所以四邊形為等腰梯形．
由P，N為等腰梯形兩底的中點，得，則．
設直線與平面所成角為，，則．
所以直線與平面所成角的正弦值．
[方法四]：基底法
不妨設，
以向量為基底，
從而，．
，，
則，．
所以．
由（Ⅰ）知平面，所以向量為平面的法向量．
設直線與平面所成角，則．
故直線與平面所成角的正弦值為．
[方法五]：坐標法
過O過底面ABC的垂線，垂足為Q，以Q為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
設，AO=AB=2，
則，
所以，
所以
易得為平面A1AMN的一個法向量，
則直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為
【整體點評】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關系進行等價轉化是解決問題的關鍵；
方法二：等價轉化是解決問題的關鍵，構造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；
方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；
方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關鍵之處在于找到平面的法向量和直線的方向向量.
方法五：空間坐標系法是立體幾何的重要方法，它是平面向量的延伸，其關鍵之處在于利用空間坐標系確定位置，找到平面的法向量和直線的方向向量.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）答案見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)，分類討論求區(qū)間；
（2）結合（1）得到的函數(shù)單調性，分類討論函數(shù)最大值.
【小問1詳解】
的定義域為0,+∞ ，
求導數(shù)，得，
若，則f′x>0，此時在0,+∞上單調遞增，
若，則由得，當時，f′x0 ，在上單調遞增，
綜上，當，的增區(qū)間為0,+∞，無減區(qū)間，
若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1）知，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
由，得，
若時，函數(shù)的最大值為，
若時，函數(shù)的最大值為，
綜上，當時，函數(shù)的最大值為，
當時，函數(shù)的最大值為.
19. 已知橢圓C：（）的離心率為，短軸長為，，分別為C的上、下頂點，直線：與C相交于M，N兩點，直線與相交于點P.
（1）求C的方程；
（2）證明點P在定直線上，并求直線，，圍成的三角形面積的最小值.
【答案】（1）
（2）證明見解析，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意建立a，b，c的方程，解出a，b，c的值，即可得出橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立方程組得出一元二次方程，再采用設而不求整體代換的方式找到點Mx1,y1，Nx2,y2的坐標關系，從而推出直線的方程，再聯(lián)立直線、、的方程，解出交點坐標，從而求出三角形的面積.
【小問1詳解】
由題可知，解得，
則C的方程為.
【小問2詳解】
設Mx1,y1，Nx2,y2，聯(lián)立方程組，
整理得，則，，
得.
由，，可得直線的方程為，
直線的方程為，
則，
解得，故點P在定直線：上.
設直線與直線，的交點分別為，，
易得，，
，
當且僅當時，等號成立，
故直線，，圍成的三角形面積的最小值為.
0
1
2
3
P

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