河北省武邑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期三調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀答題卡（紙）上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題．
3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上答題無(wú)效．
第Ⅰ卷:選擇題（60分）
一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應(yīng)位置．
1. 已知全集，集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 已知a實(shí)數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則（）
A. 1B. C. D.
3. 已知銳角滿足，則（）
A. B. C. 2D. 3
4. 已知向量滿足，且，則等于（）
A. B. C. D. 7
5. 已知正三棱柱的高與底面邊長(zhǎng)均為2，則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）
A. B. C. D.
6. 如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sin θ的值為( )
A. B. C. D.
7. 設(shè)，，，則（）
A. B. C. D.
8. 拋物線：與雙曲線：有一個(gè)公共焦點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)向作兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則（）
A. 49B. 68C. 32D. 52
二、多選題：本小題共4小題，全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，多選或錯(cuò)選均不得分，共計(jì)20分，將答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置．
9. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(其中a為常數(shù))，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 數(shù)列一定是等比數(shù)列B. 數(shù)列可能是等差數(shù)列
C. 數(shù)列可能是等比數(shù)列D. 數(shù)列可能是等差數(shù)列
10. 以下四個(gè)命題表述正確是（）
A. 直線恒過(guò)定點(diǎn)；
B. 圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1
C. 曲線與曲線恰有三條公切線，則
D. 若雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為．
11. 如圖，棱長(zhǎng)為1正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線與所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱錐的體積為定值
D. 平面截正方體所得的截面可能是等腰梯形
12. 已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 函數(shù)的極值點(diǎn)為1
B.
C. 若分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為
D. 若對(duì)任意的恒成立，則的最小值為
第Ⅱ卷:非選擇題（90分）
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為，則a＝______．
14. 某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為，深度為.如果池底每的造價(jià)為150元，池壁每的造價(jià)為120元，要使水池總造價(jià)最低，那么水池底部的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.
15. 已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______．
16. 已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，平面上一點(diǎn)滿足，則直線斜率的最大值為_(kāi)______.
四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫(xiě)出詳細(xì)的解答過(guò)程，否則扣分）
17. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求acsB﹣bcsC的取值范圍.
19. 已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點(diǎn)M（﹣1，﹣1），從圓C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線，記切點(diǎn)T．
（1）若過(guò)點(diǎn)M的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)且|AB|＝2，求直線l的方程；
（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
20. 如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為棱上的一點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若二面角余弦值為，求的值．
21. 已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）若曲線C在A，B處的切線交于點(diǎn)M，求面積的最小值．
22. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；
（2）若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)試題
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
2．答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀答題卡（紙）上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題．
3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上答題無(wú)效．
第Ⅰ卷:選擇題（60分）
一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應(yīng)位置．
1. 已知全集，集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分別求出集合，，從而求出，由此能求出．
【詳解】解：全集，集合或，
，
，
．
故選：．
2. 已知a為實(shí)數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則（）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把分子分母同時(shí)乘以，整理為復(fù)數(shù)的一般形式，根據(jù)題中條件計(jì)算即可得出結(jié)論.
【詳解】解：，
.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)除法的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知銳角滿足，則（）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)的方程，化簡(jiǎn)，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得的值.
【詳解】∵，∴，
即，
又∵為銳角，∴，
∴，
即，∴.
故選：A
4. 已知向量滿足，且，則等于（）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程組求出，，再分別求它們的模，相加即可.
【詳解】由得：，
又，，
∴，
.
所以.
故選：B
5. 已知正三棱柱的高與底面邊長(zhǎng)均為2，則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)柱體外接球的特點(diǎn)可知，該正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，再根據(jù)勾股定理即可求出外接球的半徑；由正三棱柱的性質(zhì)可知，當(dāng)球半徑是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時(shí)，該內(nèi)切球的半徑最大，由此即可求出該內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)正三棱柱，取三棱柱的兩底面中心，，

連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則為正三棱柱外接球的半徑．
∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中心，
∴．
又∵，
∴．
∴正三棱柱外接球的表面積．
根據(jù)題意可知，當(dāng)球半徑是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時(shí)，此時(shí)正三棱柱內(nèi)的球半徑最大，即，
所以正三棱柱內(nèi) 半徑最大的球表面積為，
所以該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
①一般地，柱體的外接球的球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)處；
②柱體的內(nèi)切球的半徑為其中截面內(nèi)切圓的半徑.
6. 如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sin θ的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)題中所給的條件，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，在中，利用余弦定理求得BC，然后根據(jù)正弦定理求得，則可得，進(jìn)而利用，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式解決.
【詳解】本題考查正余弦定理的應(yīng)用及兩角和與差的正弦公式．在三角形ABC中，由AC＝10，AB＝20，∠CAB＝120°.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得＝?＝?sin ∠ACB＝.故sin θ＝sin＝×＋×＝.
【點(diǎn)睛】該題考查的是利用正余弦定理解決海上救援的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意正確分析題中的條件，熟練掌握正余弦定理，將所涉及到的量代入對(duì)應(yīng)的式子正確求解即可.
7. 設(shè)，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判斷這三個(gè)數(shù)與1的大小，確定最?。粚?duì)、先開(kāi)方，再利用函數(shù)，的單調(diào)性判斷他們的大小.
【詳解】∵，，，∴最小.
設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以在上為增函?shù).
又，所以，即即，
所以.
綜上可得：.
故選：D
【點(diǎn)睛】（1）先把，開(kāi)方，利用函數(shù)的單調(diào)性比較是難點(diǎn).
（2）也可以先把，取自然對(duì)數(shù)：，，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較它們的大小.
8. 拋物線：與雙曲線：有一個(gè)公共焦點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)向作兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則（）
A. 49B. 68C. 32D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】將P坐標(biāo)代入雙曲線方程求得雙曲線的方程，進(jìn)一步求得拋物線的方程中的參數(shù)p,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得兩切線的方程，利用韋達(dá)定理求得兩根之和，兩根之積，利用拋物線的定義，將A,B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，表示為A,B的縱坐標(biāo)的關(guān)系式，求得|AF||BF|關(guān)于A,B縱坐標(biāo)的表達(dá)式.
【詳解】由P在雙曲線上，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，，
∴雙曲線的方程為，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴,
∴,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)重合，∴，∴拋物線的準(zhǔn)線為，，
拋物線的方程為,即,
,設(shè),切線PA,PB的斜率分別為,切線方程分別為
將P的坐標(biāo)及,代入，并整理得,,
可得為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得
,
=,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線與拋物線的方程和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題，關(guān)鍵是設(shè)而不求思想和韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用.
二、多選題：本小題共4小題，全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，多選或錯(cuò)選均不得分，共計(jì)20分，將答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置．
9. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(其中a為常數(shù))，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 數(shù)列一定是等比數(shù)列B. 數(shù)列可能是等差數(shù)列
C. 數(shù)列可能是等比數(shù)列D. 數(shù)列可能是等差數(shù)列
【答案】BD
【解析】
【分析】由和的關(guān)系求得，，分類(lèi)討論a是否為0，判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，得，
將代入，得，，
即，
當(dāng)時(shí)，，不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，，也是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，不是等比數(shù)列；
故答案為：BD.
10. 以下四個(gè)命題表述正確的是（）
A. 直線恒過(guò)定點(diǎn)；
B. 圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1
C. 曲線與曲線恰有三條公切線，則
D. 若雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為．
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用直線系方程求解直線所過(guò)定點(diǎn)判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑判斷B；由圓心距等于半徑和列式求得判斷C；求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，結(jié)合弦心距和勾股定理，即可求出雙曲線的離心率，即可判斷選項(xiàng)D是否正確．
【詳解】由，得，聯(lián)立，解得，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
∵圓心到直線的距離等于，
∴直線與圓相交，而圓的半徑為，故到直線距離為的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故B正確；
兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心距為，解得，故C正確；
雙曲線的一條漸近線方程為，
圓的圓心到雙曲線的漸近線的距離為：，
又圓的半徑為，所以，解得，所以，即，所以離心率為，故D正確．
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的線段長(zhǎng)問(wèn)題，一般不是直接求出線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解，而是應(yīng)用幾何方法去求解．
方法是：直線與圓相交時(shí)，若為弦長(zhǎng)，為弦心距，為半徑，則有，即，求弦長(zhǎng)或已知弦長(zhǎng)求其他量的值，一般用此公式．
11. 如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線與所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱錐的體積為定值
D. 平面截正方體所得的截面可能是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線D1P與AC所成的角為；對(duì)于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，從而平面D1A1P平面A1AP；對(duì)于C，三棱錐D1﹣CDP的體積為定值；對(duì)于D，當(dāng)AP延長(zhǎng)線交BB1的中點(diǎn)時(shí)，可以得到等腰梯形的截面．
【詳解】對(duì)于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，設(shè)
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
,∴,
,
∴直線D1P與AC所成的角為，
故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，
∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，
∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正確；
對(duì)于C，，P到平面CDD1的距離BC＝1，
∴三棱錐D1﹣CDP體積：
為定值，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)AP延長(zhǎng)線交BB1的中點(diǎn)E時(shí)，設(shè)平面與直線B1C1交于點(diǎn)F,
因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1, 平面∩平面ADD1A1=AD1, 平面∩平面BCC1B1=EF,所以EF∥AD1,∴F為B1C1的中點(diǎn)，∴截面AD1FE為等腰梯形的截面，故D正確；
故選：BCD．
12. 已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 函數(shù)極值點(diǎn)為1
B.
C. 若分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為
D. 若對(duì)任意的恒成立，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn)；對(duì)于B，設(shè)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對(duì)于C，利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點(diǎn)到的最小距離，然后再求的最小值；對(duì)于D，利用同構(gòu)把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.
【詳解】．所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極值點(diǎn)為1，故A正確；
設(shè)，則，
由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．
又，則存在．使得，
即，，所以當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)．．
所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.
所以，又，則，
所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
設(shè)點(diǎn)到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為，
，由得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)，即，所以，
所以的最小值為，故C正確；
若對(duì)任意的恒成立，
則對(duì)任意的恒成立，
令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，
即，令，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，所以，即的最小值為，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.
第Ⅱ卷:非選擇題（90分）
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為，則a＝______．
【答案】1或
【解析】
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】
過(guò)作，
在Rt△中，∠＝90°，，
故，
因?yàn)椋?br>即，解得a＝1或．
故答案為：1或.
14. 某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為，深度為.如果池底每的造價(jià)為150元，池壁每的造價(jià)為120元，要使水池總造價(jià)最低，那么水池底部的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.
【答案】160
【解析】
【分析】設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為，則另一邊的長(zhǎng)度為，由題意可得水池總造價(jià)，然后利用基本不等式求最值，可得水池總造價(jià)最低時(shí)的水池底部的周長(zhǎng)．
【詳解】設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為，則另一邊的長(zhǎng)度為，
由題意可得水池總造價(jià)
，
則
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值297600，
此時(shí)另一邊的長(zhǎng)度為，
因此，當(dāng)水池的底面周長(zhǎng)為時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是元，
故答案為160．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．
15. 已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.
【詳解】由點(diǎn)在圓C：內(nèi)，且
所以，又，解得
過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為
又，
所以，解得
故答案為：
16. 已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，平面上一點(diǎn)滿足，則直線斜率的最大值為_(kāi)______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線方程中的幾何意義，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示公式、直線斜率的公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以，因此該拋物線的方程為，，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以有，
設(shè)直線斜率為，
則，要想直線斜率有最大值，一定有，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，舍去，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)直線斜率的表達(dá)式進(jìn)行變形，利用基本不等式是解題的關(guān)鍵.
四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫(xiě)出詳細(xì)的解答過(guò)程，否則扣分）
17. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）利用分組求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也符合.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則．
記，
則，
．
故數(shù)列的前項(xiàng)和．
18. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求acsB﹣bcsC的取值范圍.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用整體代換解不等式的方法求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可；
（2）先根據(jù)求得，再利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及三角恒等變換等知識(shí)將化簡(jiǎn)為，最后結(jié)合角的范圍求解即可.
【詳解】解：（1）由題意
．
令，，
解得，，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（2）由（1）知，解得，
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理可知，
則，，
所以

在銳角中，易知，得，
因此，則．
故的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，在第（2）題中關(guān)鍵是利用正弦定理將所求式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合題中條件求出的范圍，從而得解.
19. 已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點(diǎn)M（﹣1，﹣1），從圓C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線，記切點(diǎn)為T(mén)．
（1）若過(guò)點(diǎn)M的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)且|AB|＝2，求直線l的方程；
（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）（，）
【解析】
【分析】（1）首先判斷斜率不存在時(shí)，符合題意.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)列方程，解方程求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線方程.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)切線長(zhǎng)以及列方程，化簡(jiǎn)后求得的軌跡方程，將最小轉(zhuǎn)化為到直線的距離，求得垂直直線時(shí)直線的方程，和聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣2）2＝3．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝﹣1，
此時(shí)|AB|＝2，滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．
∵|AB|＝2，
∴圓心C到直線l的距離d1．
∴d1．
解得k，
則直線l的方程為4x﹣3y+1＝0．
∴所求直線l的方程為x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；
（2）設(shè)P（x0，y0），|PT|，
∵|PT|＝|PM|，∴，
化簡(jiǎn)得2x0+6y0+1＝0，
∴點(diǎn)P（x0，y0）在直線2x+6y+1＝0．
當(dāng)|PT|取得最小值時(shí)，即|PM|取得最小值，
即為點(diǎn)M（﹣1，﹣1）到直線2x+6y+1＝0的距離，
此時(shí)直線PM垂直于直線2x+6y+1＝0，
∴直線PM的方程為6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．
由，解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查最值問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
20. 如圖，四棱錐底面是等腰梯形，，，，，為棱上的一點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若二面角的余弦值為，求的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的關(guān)系及余弦定理求得線與線垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即證；
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，利用空間向量的性質(zhì)表示出二面角的余弦值，求得即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為N，
在等腰梯形中，因?yàn)?，所以?br>在中，，則，則．
因?yàn)榈酌妫酌?，所以?br>因?yàn)椋云矫妫?br>又平面，以．
【小問(wèn)2詳解】
解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，，則，
則．
設(shè)平面的法向量為，則令，得．
由圖可知，是平面的一個(gè)法向量．
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，解得?br>故當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，．
21. 已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）若曲線C在A，B處的切線交于點(diǎn)M，求面積的最小值．
【答案】（1）或
（2）16
【解析】
【分析】（1）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P坐標(biāo)為，根據(jù)題意得到，然后分類(lèi)化簡(jiǎn)；
（2）由題意設(shè)l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式求得
，設(shè)切線MA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于零求得，得到切線MA的方程為，同理寫(xiě)出切線MB的方程，解方程組求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)M到直線l的距離，得到，求得其最小值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則有：，
當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，
所以曲線的方程為或．
【小問(wèn)2詳解】
由題意設(shè)l的方程為，，，
由，，，，
，
設(shè)切線MA的方程為，
由，，
?切線MA的方程為，化簡(jiǎn)得：，①
同理可得切線MB的方程為，②
（注意：直接寫(xiě)出切線MA的方程扣2分！）
由①②得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
?點(diǎn)M到直線l的距離，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故面積的最小值為16．
22. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；
（2）若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)在上的值域；
（2）由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以，
令，則，
所以，又，
所以在上的值域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
令，則問(wèn)題等價(jià)于在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
易求，因?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以，所以.
因?yàn)椋?br>令，
所以在上，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在上僅有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論要做到不重不漏.
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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