1．（2分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣xy＝2C．D．2（x﹣1）＝x
2．（2分）隨著國民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國家核電、華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個企業(yè)的標(biāo)志是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣6）2+3的頂點(diǎn)為（ ）
A．（﹣6，3）B．（6，3）C．（﹣6，﹣3）D．（6，﹣3）
4．（2分）在拋物線y＝x2﹣4x﹣4上的一個點(diǎn)是（ ）
A．（4，4）B．（，）C．（3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）
5．（2分）拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的對稱軸是（ ）
A．直線x＝aB．直線x＝2aC．直線x＝1D．直線x＝﹣1
6．（2分）已知二次函數(shù)y＝kx2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0
7．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
8．（2分）小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計出一個外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）請寫出拋物線y＝﹣4x2+3x的頂點(diǎn)坐標(biāo) ．
10．（2分）根據(jù)下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式．問題：參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人參加聚會？設(shè)有x人參加聚會，所列方程為： ．
11．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣1）與點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)O對稱．
12．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點(diǎn)（0，2），這個二次函數(shù)的解析式可以是 ．
13．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，將點(diǎn)D繞著點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 ，CE的長為 ．
15．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的取值范圍是 ．
16．（2分）拋物線y＝﹣x2+2x+m交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個結(jié)論：
①拋物線過點(diǎn)（2，m）；
②當(dāng)m＝0時，△ABD是等腰直角三角形；
③a+b＝4；
④拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．
其中結(jié)論正確的序號是 ．
三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分，第22-23題，每題6分，第24題5分，第25題6分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（5分）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
18．（5分）求證：關(guān)于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，無論m取何值，該方程都是一元二次方程．
19．（5分）如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC上，且AF＝CE，求證：FD＝BE．
20．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的根．
21．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，將格點(diǎn)△ABC繞某點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到格點(diǎn)△A1B1C1，點(diǎn)A與點(diǎn)A1，點(diǎn)B與點(diǎn)B1，點(diǎn)C與點(diǎn)C1是對應(yīng)點(diǎn)．
（1）請通過畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其標(biāo)記為點(diǎn)O；
（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝x2+2x﹣3的圖象；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＞0時x的取值范圍．
23．（6分）拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：
（1）根據(jù)上表填空：
①拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 和 ；
②拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3， ）；
③在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而 ；
（2）試確定拋物線y＝ax2+bx+c的解析式．
24．（5分）在剛剛結(jié)束的校運(yùn)動會的實(shí)心球比賽中，小宇在決賽中，實(shí)心球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知實(shí)心球出手處A距離地面的高度是米，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)行的水平距離為4米時，達(dá)到最大高度5米的B處．小宇此次投擲的成績是多少米？
25．（6分）某文具店銷售一種進(jìn)價為每本10元的筆記本，為獲得高利潤，以不低于進(jìn)價進(jìn)行銷售，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y與銷售單價x之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)：y＝﹣5x+150，物價部門規(guī)定這種筆記本每本的銷售單價不得高于18元．
（1）當(dāng)每月銷售量為70本時，獲得的利潤為多少元；
（2）該文具店這種筆記本每月獲得利潤為w元，求每月獲得的利潤w元與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤為多少元？
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，其中x1＜x2．設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．若對于x1+x2＞3．都有y1＜y2，求t的取值范圍．
27．（7分）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)2α（45°＜α＜90°），得到線段CE，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE交DE于F，連接BE．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；
（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P，若點(diǎn)Q滿足條件：以線段PQ為對角線的正方形，邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“正軌點(diǎn)”，該正方形為點(diǎn)P的“正軌正方形”，如圖所示．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，點(diǎn)A的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)是 ；
②若點(diǎn)A的“正軌正方形”的面積是4，寫出一個點(diǎn)A的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)是 ；
（2）若點(diǎn)B（1，0）的“正軌點(diǎn)”在直線y＝2x+2上，求點(diǎn)B的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)C（m，0），若直線y＝2x+m上存在點(diǎn)C的“正軌點(diǎn)”，使得點(diǎn)C的“正軌正方形”面積小于4，直接寫出m的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)和平街一中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個．
1．（2分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣xy＝2C．D．2（x﹣1）＝x
【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點(diǎn)：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程．據(jù)此解答即可．
【解答】解：A．x2﹣2x﹣3＝0只含有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；
B．x2﹣xy＝2，含有兩個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；
C．為分式方程，故該選項(xiàng)不符合題意；
D．2（x﹣1）＝x是一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理．如果能整理為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元二次方程．
2．（2分）隨著國民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國家核電、華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個企業(yè)的標(biāo)志是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；
B、是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
C、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；
D、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做對稱中心．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
3．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣6）2+3的頂點(diǎn)為（ ）
A．（﹣6，3）B．（6，3）C．（﹣6，﹣3）D．（6，﹣3）
【分析】因?yàn)轫旤c(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對照求二次函數(shù)y＝（x﹣6）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣6）2+3是頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3）．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟記形式，解決問題．
4．（2分）在拋物線y＝x2﹣4x﹣4上的一個點(diǎn)是（ ）
A．（4，4）B．（，）C．（3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）
【分析】把x＝4、﹣、3、﹣2分別代入y＝x2﹣4x﹣4，計算出對應(yīng)的函數(shù)值后進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵當(dāng)x＝4時，y＝x2﹣4x﹣4＝42﹣4×4﹣4＝﹣4；
當(dāng)x＝﹣時，y＝x2﹣4x﹣4＝（﹣）2﹣4×（﹣）﹣4＝﹣；
當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣4x﹣4＝32﹣4×3﹣4＝﹣7；
當(dāng)x＝﹣2時，y＝x2﹣4x﹣4＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣4＝8；
∴點(diǎn)（﹣，﹣）在拋物線y＝x2﹣4x﹣4上．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，其圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．
5．（2分）拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的對稱軸是（ ）
A．直線x＝aB．直線x＝2aC．直線x＝1D．直線x＝﹣1
【分析】利用對稱軸方程x＝﹣解答．
【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣＝1，即x＝1．
故選：C．
【點(diǎn)評】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答此題時，利用對稱軸方程x＝﹣即可求得答案．
6．（2分）已知二次函數(shù)y＝kx2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0
【分析】根據(jù)Δ＝4﹣4k≥0，且k≠0解出k的范圍即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：Δ＝4﹣4k≥0且k≠0，
4﹣4k≥0，
k≤1且k≠0，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確列出Δ＝4﹣4k≥0，本題屬于基礎(chǔ)題型．
7．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用拋物線的對稱性確定（0，2）的對稱點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y＝2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1.5，
∴點(diǎn)（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1.5的對稱點(diǎn)為（﹣3，2），
當(dāng)﹣3＜x＜0時，y＞2，
即當(dāng)函數(shù)值y＞2時，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜0．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計出一個外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義確定兩個對應(yīng)點(diǎn)的位置，求得其與O點(diǎn)連線的夾角即可求得旋轉(zhuǎn)角．
【解答】解：如圖，當(dāng)經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B的位置上，
此時∠COB＝360°÷6＝60°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是能夠找到一對對應(yīng)點(diǎn)確定旋轉(zhuǎn)角，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，難度不大．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）請寫出拋物線y＝﹣4x2+3x的頂點(diǎn)坐標(biāo) （，） ．
【分析】先把一般式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
【解答】解：由y＝﹣4x2+3x＝﹣4（x﹣）2+知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
故答案為：（，）．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為直線x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
10．（2分）根據(jù)下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式．問題：參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人參加聚會？設(shè)有x人參加聚會，所列方程為： x（x﹣1）＝10 ．
【分析】設(shè)有x人參加聚會，根據(jù)每兩人都握手一次手，所有人共握手10次，列出方程即可．
【解答】解：設(shè)有x人參加聚會，
根據(jù)題意得x（x﹣1）＝10，
故答案為：x（x﹣1）＝10．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出問題之間的等量關(guān)系．
11．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣1）與點(diǎn) （﹣2，1） 關(guān)于原點(diǎn)O對稱．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．
【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是（﹣2，1）．
故答案為：（﹣2，1）．
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都換成它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點(diǎn)（0，2），這個二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2+2（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出a＜0，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出c＝2，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0．
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴c＝2．
取a＝﹣1，b＝0時，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2．
故答案為：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出a＜0，c＝是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 k≤且k≠1 ．
【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤且k≠1．
故答案為k≤且k≠1．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．
14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，將點(diǎn)D繞著點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 45° ，CE的長為 ．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)角為∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，連接CE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵將點(diǎn)D繞著點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，
∴BE＝1，
∴CE＝＝＝，
故答案為：45°，．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
15．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的取值范圍是 0≤y≤4 ．
【分析】由二次函數(shù)的增減性即可得出答案．
【解答】解：∵拋物線的解析式為y＝x2，
∴該拋物線的對稱軸為y軸，
當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x＝﹣1時，y＝（﹣1）2＝1，當(dāng)x＝2時，y＝22＝4，
∴0≤y≤4，
故答案為：0≤y≤4．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是要確定出拋物線頂點(diǎn)的位置．
16．（2分）拋物線y＝﹣x2+2x+m交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個結(jié)論：
①拋物線過點(diǎn)（2，m）；
②當(dāng)m＝0時，△ABD是等腰直角三角形；
③a+b＝4；
④拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．
其中結(jié)論正確的序號是 ①②④ ．
【分析】①把x＝2代入解析式，求得函數(shù)值即可判斷；
②當(dāng)m＝0時，根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可判斷；
③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷；
④根據(jù)二次函數(shù)圖象即可判斷．
【解答】解：①∵把x＝2代入y＝﹣x2+2x+m得，y＝m，
∴拋物線過點(diǎn)（2，m），
故①正確；
②當(dāng)m＝0時，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（2，0），
對稱軸為x＝1，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②正確；
③∵拋物線y＝﹣x2+2x+m交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），
∴a、b是方程＝﹣x2+2x+m＝0的兩個根，
∴a+b＝﹣＝2，
故③錯誤；
④觀察二次函數(shù)圖象可知：
當(dāng)x1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．
故④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸的交點(diǎn)、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識．
三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分，第22-23題，每題6分，第24題5分，第25題6分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．（5分）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
【分析】整理后求出b2﹣4ac，再代入公式求出即可．
【解答】解：5x2﹣3x＝x+1，
5x2﹣4x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴x＝，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵．
18．（5分）求證：關(guān)于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，無論m取何值，該方程都是一元二次方程．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義只要說明二次項(xiàng)系數(shù)不為零即可證明結(jié)論成立，根據(jù)配方法可以說明二次項(xiàng)系數(shù)不為零．
【解答】證明：（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，
∵m2﹣8m+17＝（m﹣4）2+1≥1，
∴無論m取何值，該方程都是一元二次方程．
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的定義．
19．（5分）如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC上，且AF＝CE，求證：FD＝BE．
【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性質(zhì)可得FO＝EO，然后再證明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性質(zhì)可得DF＝BE．
【解答】證明：∵△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對稱，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴AO﹣AF＝CO﹣CE，
∴FO＝EO，
在△FOD和△EOB中
，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE．
【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分．
20．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的根．
【分析】（1）由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根即可得出Δ＞0，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）結(jié)論，令m＝1，將m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞﹣．
（2）m＝1，此時原方程為x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出關(guān)于m的一元一次不等式；（2）選取m的值．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，將格點(diǎn)△ABC繞某點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到格點(diǎn)△A1B1C1，點(diǎn)A與點(diǎn)A1，點(diǎn)B與點(diǎn)B1，點(diǎn)C與點(diǎn)C1是對應(yīng)點(diǎn)．
（1）請通過畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其標(biāo)記為點(diǎn)O；
（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
【分析】（1）連接CC1、AA1，再分別作兩線段的中垂線，兩中垂線的交點(diǎn)即為所求；
（2）連接CO、C1O，結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)可得旋轉(zhuǎn)角∠COC1＝α＝90°．
【解答】解：（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求；
（2）如圖所示，∠COC1＝α＝90°．
【點(diǎn)評】本題主要考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)．
22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝x2+2x﹣3的圖象；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＞0時x的取值范圍．
【分析】（1）用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，從而可得出答案；
（2）根據(jù)題意畫出圖象即可；
（3）由圖象可得出答案．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4．
（2）圖象如圖所示：
（3）由圖象可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0）和（﹣3，0），
∴y＞0時x的取值范圍是x＞1或x＜﹣3．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：
（1）根據(jù)上表填空：
①拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 （﹣2，0） 和 （1，0） ；
②拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3， 8 ）；
③在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而 增大 ；
（2）試確定拋物線y＝ax2+bx+c的解析式．
【分析】（1）①在表中找出函數(shù)值為0對應(yīng)的自變量的值可確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
②利用表中函數(shù)值的變化，可知拋物線的對稱軸是直線x＝﹣，由拋物線的對稱性可得出答案；
③由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；
（2）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+2）（x﹣1），然后把（0，﹣4）代入求出a即可．
【解答】解：（1）①拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，0）和（1，0）；
故答案為：（﹣2，0）和（1，0）；
②由表中數(shù)據(jù)可知拋物線的對稱軸是直線x＝﹣，
∴x＝2和x＝﹣3的函數(shù)值相同，
∴x＝﹣3時，y＝8，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，8）；
故答案為：8；
③∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣，
∴由表中數(shù)據(jù)可知在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；
故答案為：增大；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣1），
把（0，﹣4）代入得﹣4＝a×2×（﹣1），解得a＝2，
所以拋物線解析式為y＝2（x+2）（x﹣1），
即y＝2x2+2x﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
24．（5分）在剛剛結(jié)束的校運(yùn)動會的實(shí)心球比賽中，小宇在決賽中，實(shí)心球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知實(shí)心球出手處A距離地面的高度是米，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)行的水平距離為4米時，達(dá)到最大高度5米的B處．小宇此次投擲的成績是多少米？
【分析】根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式，再令y＝0求出x即可．
【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），頂點(diǎn)為B（4，5），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）2+5，
∵點(diǎn)A（0，）在拋物線上，
∴a（0﹣4）2+5＝，
解得a＝﹣，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣4）2+5，
令y＝0，則﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x＝9或x＝﹣1（不合實(shí)際，舍去），
答：小宇此次投擲的成績是9米．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設(shè)函數(shù)解析式，確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
25．（6分）某文具店銷售一種進(jìn)價為每本10元的筆記本，為獲得高利潤，以不低于進(jìn)價進(jìn)行銷售，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y與銷售單價x之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)：y＝﹣5x+150，物價部門規(guī)定這種筆記本每本的銷售單價不得高于18元．
（1）當(dāng)每月銷售量為70本時，獲得的利潤為多少元；
（2）該文具店這種筆記本每月獲得利潤為w元，求每月獲得的利潤w元與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤為多少元？
【分析】（1）把y＝70代入y＝﹣5x+150，求出x即可；
（2）每月銷售量y＝﹣5x+150，乘以每件利潤（x﹣10）即可得到每月獲得的利潤w元的表達(dá)式；
（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求出最大值即可．
【解答】解：（1）當(dāng)y＝70時，70＝﹣5x+150，
解得x＝16，
則（16﹣10）×70＝420元；
（2）w＝（x﹣10）（﹣5x+150）
＝﹣5x2+200x﹣1500，
∵，
∴自變量的取值范圍為10≤x≤18；
（3）w＝﹣5x2+200x﹣1500
＝﹣5（x﹣20）2+500
∵a＝﹣5＜0，
∴當(dāng)10≤x≤18時，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝18時，w有最大值，為480元．
答：當(dāng)銷售單價定為18元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤為480元．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，其中x1＜x2．設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．若對于x1+x2＞3．都有y1＜y2，求t的取值范圍．
【分析】由題意點(diǎn)（x1，0），（x2，0）連線的中垂線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)大于，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
當(dāng)x1+x2＞3時，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤，
∴滿足條件的值為：t≤．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
27．（7分）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)2α（45°＜α＜90°），得到線段CE，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE交DE于F，連接BE．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；
（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）利用圓周角定理解決問題即可．
（3）結(jié)論；DE＝AF．作AH⊥AF，交FB的延長線于點(diǎn)H，證明△HAB≌△FAD（ASA），推出HB＝FD，AH＝AF，推出HF＝DE，∠H＝45°，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）結(jié)論：∠FBE＝45°．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠DCB＝90°，
∵CB＝CD＝CE，
∴∠BED＝∠BCD＝45°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FBE＝90°﹣45°＝45°．
（3）結(jié)論；DE＝AF．
證明：作AH⊥AF，交FB的延長線于點(diǎn)H，
由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴∠ABH+∠ABF＝180°，∠ABF+∠ADF＝180°，
∴∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝AF．
∴DE＝AF．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P，若點(diǎn)Q滿足條件：以線段PQ為對角線的正方形，邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“正軌點(diǎn)”，該正方形為點(diǎn)P的“正軌正方形”，如圖所示．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，點(diǎn)A的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)是 （﹣3，﹣1），（2，2） ；
②若點(diǎn)A的“正軌正方形”的面積是4，寫出一個點(diǎn)A的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)是 （3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1） ；
（2）若點(diǎn)B（1，0）的“正軌點(diǎn)”在直線y＝2x+2上，求點(diǎn)B的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)C（m，0），若直線y＝2x+m上存在點(diǎn)C的“正軌點(diǎn)”，使得點(diǎn)C的“正軌正方形”面積小于4，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，對照（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）即可得出結(jié)論；②根據(jù)“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)特征即可求得；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于x的絕對值方程，解方程即可；
（3）根據(jù)題意表示出“正軌點(diǎn)”，由“正軌正方形”面積小于4即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵點(diǎn)P（x1，y1）、點(diǎn)Q（x2，y2）是正軌正方形的點(diǎn)，
∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．
∵|1﹣（﹣3）|＝|3﹣（﹣1）|，|1﹣2|＝|3﹣2|，|1﹣3|≠|(zhì)3﹣3|，
∴點(diǎn)A的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1），（2，2），
故答案為（﹣3，﹣1），（2，2）；
②∵點(diǎn)A的“正軌正方形”的面積是4，
∴邊長為2，
∴點(diǎn)A的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)是（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1），
故答案為（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1）；
（2）∵點(diǎn)B（1，0）的“正軌點(diǎn)”在直線y＝2x+2上，
∴設(shè)點(diǎn)B（1，0）的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x，2x+2），
根據(jù)題意得|x﹣1|＝|2x+2﹣0|，
解得x＝﹣3或x＝﹣，
∴點(diǎn)B（1，0）的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4）或（﹣，）；
（3）∵直線y＝2x+m上存在點(diǎn)C（m，0）的“正軌點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0，m）或（﹣2m，﹣3m），
∵正軌正方形”面積小于4，
∴﹣2＜m＜2且m≠0或﹣2＜﹣3m＜2且m≠0，
∴m的取值范圍是﹣2＜m＜2且m≠0．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、正方形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)找出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|；（2）根據(jù)題意列出方程；（3）表示出點(diǎn)C的“正軌點(diǎn)”的坐標(biāo)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:38:53；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
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這是一份2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共32頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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