1．（3分）下列大學(xué)的?；請D案是軸對稱圖形的是（ ）
A． 清華大學(xué)B． 北京大學(xué)
C． 中國人民大學(xué)D． 浙江大學(xué)
2．（3分）下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cm
C．3cm，3cm，5cmD．3cm，4cm，8cm
3．（3分）和點P（﹣3，2）關(guān)于x軸對稱的點是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
4．（3分）如圖，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．100°B．30°C．50°D．80°
5．（3分）如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列命題中正確的有（ ）個
①三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
②三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
③有兩角和一邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
④等底等高的兩個三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E，連接EA．則∠BAE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．80°C．90°D．110°
9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，8），點B（6，8），若點P同時滿足下列條件：①點P到A，B兩點的距離相等；②點P到∠xOy的兩邊距離相等．則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）
10．（3分）已知直線l及直線l外一點P．如圖，
（1）在直線l上取一點A，連接PA；
（2）作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，PA于點B，O；
（3）以O(shè)為圓心，OB長為半徑畫弧，交直線MN于另一點Q；
（4）作直線PQ．
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．△OPQ≌△OABB．PQ∥AB
C．AP＝BQD．若PQ＝PA，則∠APQ＝60°
二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.
11．（3分）五邊形的內(nèi)角和為 度．
12．（3分）如果等腰三角形有兩條邊長分別為2cm和3cm，那么它的周長是 ．
13．（3分）等腰三角形的一個角等于40°，則它的頂角的度數(shù)是 ．
14．（3分）已知射線OM．以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，如圖所示，則∠AOB＝ 度
15．（3分）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若k＝2，則該等腰三角形的頂角為 度．
16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC經(jīng)過若干次的圖形變化（軸對稱、平移）得到的，寫出一種由△ABC得到△DEF的過程： ．
17．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，且交AD于點P，如果AP＝2，則AC的長為 ．
18．（3分）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB，△PBC均為等腰三角形則滿足條件的點P有 個．
三、解答題：本大題共9個小題，共46分.19題5分，20題4分，21--25題每題5分，26，27題每題6分.
19．（5分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：
如圖，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC邊上取一點P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB邊的垂直平分線，交BC于點P，交AB于點Q；
②連接AP．
請你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊含的數(shù)學(xué)依據(jù)：
∵PQ是AB的垂直平分線
∴AP＝ ，（依據(jù)： ）；
∴∠ABC＝ ，（依據(jù)： ）．
∴∠APC＝2∠ABC．
20．（4分）點D為△ABC的邊BC的延長線上的一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度數(shù)．
21．（5分）已知：如圖，F(xiàn)，C是AD上的兩點，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．
求證：BC＝EF．
22．（5分）已知：如圖，C是線段AB的中點，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BCD．
求證：AD＝BE．
23．（5分）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．
（1）求證：AE⊥CF；
（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度數(shù)．
24．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫出△AOB關(guān)于y軸對稱的△A1OB1，并直接寫出點A1和點B1的坐標(biāo)；（不寫畫法，保留畫圖痕跡）
（2）求△A1OB1的面積．
25．（5分）如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）．
26．（6分）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一點，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠CAP＝20°，則∠AMQ＝ °．
（2）判斷AP與QM的數(shù)量關(guān)系，并證明．
27．（6分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC的延長線上，M是BD的中點，E是射線CA上一動點，且CE＝CD，連接AD，作DF⊥AD，DF交EM延長線于點F．
（1）如圖1，當(dāng)點E在CA上時，填空：AD DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如圖2，當(dāng)點E在CA的延長線上時，請根據(jù)題意將圖形補全，判斷AD與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
附加題
28．定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠BAC+∠DAE＝180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．
（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”．
①如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝ DE；
②如圖3，當(dāng)∠BAC＝120°，ED＝6時，AM的長為 ．
（2）猜想論證：
在圖1中，當(dāng)∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
（3）拓展應(yīng)用
如圖4，在四邊形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝，在四邊形ABCD的內(nèi)部找到點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”．并回答下列問題．
①請在圖中標(biāo)出點P的位置，并描述出該點的位置為 ；
②直接寫出△PBC的“頂心距”的長為 ．
2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)模擬練習(xí)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.
1．（3分）下列大學(xué)的?；請D案是軸對稱圖形的是（ ）
A． 清華大學(xué)B． 北京大學(xué)
C． 中國人民大學(xué)D． 浙江大學(xué)
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義直接判斷得出即可．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故此選項正確；
C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：B．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．
2．（3分）下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cm
C．3cm，3cm，5cmD．3cm，4cm，8cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．
【解答】解：A.3+5＝8，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；
B.8+8＝16＜18，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；
C.3+3＝6＞5，能構(gòu)成三角形，故符合題意；
D.3+4＝7＜8，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意．
故選：C．
【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．
3．（3分）和點P（﹣3，2）關(guān)于x軸對稱的點是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
【解答】解：點P（﹣3，2）關(guān)于x軸對稱的點是（﹣3，﹣2）．
故選：C．
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
4．（3分）如圖，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．100°B．30°C．50°D．80°
【分析】由翻折的特點可知，∠ACB＝∠ADB＝100°，進(jìn)一步利用三角形的內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù)即可．
【解答】解：∵△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC
＝180°﹣100°﹣30°
＝50°．
故選：C．
【點評】此題考查翻折的特點：翻折前后兩個圖形全等；以及三角形的內(nèi)角和定理的運用．
5．（3分）如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點向?qū)呉咕€，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答
【解答】解：∵四個選項中只有AD⊥BC，
∴C正確．
故選：C．
【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟記三角形高線的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）下列命題中正確的有（ ）個
①三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
②三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
③有兩角和一邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
④等底等高的兩個三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正確結(jié)論．
【解答】解：①三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，錯誤；
②三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；
③有兩角和一邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；
④等底等高的兩個三角形不一定全等，錯誤；
故選：B．
【點評】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做題時要按判定全等的方法逐個驗證．
7．（3分）若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左圖中，先利用三角形內(nèi)角和計算出邊a所對的角為50°，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．
【解答】解：在左圖中，邊a所對的角為180°﹣60°﹣70°＝50°，
因為圖中的兩個三角形全等，
所以∠1的度數(shù)為50°．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等．
8．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E，連接EA．則∠BAE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．80°C．90°D．110°
【分析】根據(jù)∠BAE＝∠BAC﹣∠EAD，只要求出∠BAC，∠EAD即可解決問題．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵DE垂直平分線段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAD＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAD＝90°．
故選：C．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，8），點B（6，8），若點P同時滿足下列條件：①點P到A，B兩點的距離相等；②點P到∠xOy的兩邊距離相等．則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到點P在線段AB的垂直平分線x＝3上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵點A（0，8），點B（6，8），點P到A，B兩點的距離相等，
∴點P在線段AB的垂直平分線x＝3上，
∵點P到∠xOy的兩邊距離相等，
∴點P的坐標(biāo)為（3，3）
故選：C．
【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）已知直線l及直線l外一點P．如圖，
（1）在直線l上取一點A，連接PA；
（2）作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，PA于點B，O；
（3）以O(shè)為圓心，OB長為半徑畫弧，交直線MN于另一點Q；
（4）作直線PQ．
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．△OPQ≌△OABB．PQ∥AB
C．AP＝BQD．若PQ＝PA，則∠APQ＝60°
【分析】連接AQ，BP，如圖，利用基本作圖得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，則可根據(jù)“SAS”判斷△OAB≌△OPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠ABO＝∠PQO，于是可判斷PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，則可判斷△PAQ為等邊三角形，于是得到∠APQ＝60°，從而可對各選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：連接AQ，BP，如圖，
由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，
∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
∴∠ABO＝∠PQO，
∴PQ∥AB；
∵BQ垂直平分PA，
∴QP＝QA，
若PQ＝PA，則PQ＝QA＝PA，此時△PAQ為等邊三角形，則∠APQ＝60°．
故選：C．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了菱形的判定與性質(zhì)．
二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.
11．（3分）五邊形的內(nèi)角和為 540 度．
【分析】n邊形內(nèi)角和公式為（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五邊形內(nèi)角和．
【解答】解：五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°．
故答案為：540．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和計算公式，解答時要會根據(jù)公式進(jìn)行正確運算和數(shù)據(jù)處理．
12．（3分）如果等腰三角形有兩條邊長分別為2cm和3cm，那么它的周長是 7cm或8cm ．
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2cm和3cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【解答】解：當(dāng)2是腰時，2，2，3能組成三角形，
周長＝3+2+2＝7（cm）；
當(dāng)3是腰時，3，3，2能夠組成三角形，
周長＝3+3+2＝8（cm），
綜上所述，周長為7cm或8cm，
故答案為：7cm或8cm．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．
13．（3分）等腰三角形的一個角等于40°，則它的頂角的度數(shù)是 40°或100° ．
【分析】由等腰三角形中有一個角等于40°，可分別從①若40°為頂角與②若40°為底角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：分兩種情況討論：
①若40°為頂角，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為40°；
②若40°為底角，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為：180°﹣40°×2＝100°．
∴這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為：40°或100°．
故答案為：40°或100°．
【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等邊對等角的知識，掌握分類討論思想的應(yīng)用．
14．（3分）已知射線OM．以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，如圖所示，則∠AOB＝ 60 度
【分析】首先連接AB，由題意易證得△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求得∠AOB的度數(shù)．
【解答】解：連接AB，
根據(jù)題意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°．
故答案為：60．
【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得到OB＝OA＝AB．
15．（3分）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若k＝2，則該等腰三角形的頂角為 90 度．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵k＝2，
∴設(shè)頂角＝2α，則底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴該等腰三角形的頂角為90°，
故答案為：90．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC經(jīng)過若干次的圖形變化（軸對稱、平移）得到的，寫出一種由△ABC得到△DEF的過程： 將△ABC沿y軸翻折，再將得到的三角形向下平移3個單位長度（答案不唯一） ．
【分析】依據(jù)軸對稱變換以及平移變換，即可得到由△ABC得到△DEF的過程．
【解答】解：將△ABC沿y軸翻折，再將得到的三角形向下平移3個單位長度，即可得到△DEF．
故答案為：將△ABC沿y軸翻折，再將得到的三角形向下平移3個單位長度（答案不唯一）．
【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱或平移，解題的關(guān)鍵是靈活運用圖形的基本變換解決問題．
17．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，且交AD于點P，如果AP＝2，則AC的長為 6 ．
【分析】先計算出∠ABC＝60°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ABP＝∠DBP＝30°，接著計算出∠BAD＝30°，則BP＝AP＝2，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出PD，從而得到AC的長．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴BP＝AP＝2，
在Rt△PBD中，PD＝PB＝1，
∴AD＝AP+PD＝2+1＝3，
在Rt△ADC中，AC＝2AD＝6．
故答案為6．
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：一個角的平分線把這個角分成相等的兩部分；角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
18．（3分）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB，△PBC均為等腰三角形則滿足條件的點P有 5 個．
【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點：①作AB或DC的垂直平分線交l于P；
②在長方形內(nèi)部
在l上作點P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作點P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如圖，在長方形外l上作點P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在長方形外l上作點P，使AP＝AB，PD＝DC．
【解答】解：如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，
如圖，在l上作點P，使PA＝AB，同理，在l上作點P，使PC＝DC，
如圖，在長方形外l上作點P，使AB＝BP，同理，在長方形外l上作點P，使PD＝DC，
綜上所述，符合條件的點P有5個．
故答案為：5．
【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形判定的理解和掌握，此題難度較大，需要利用分類討論的思想分析解答．
三、解答題：本大題共9個小題，共46分.19題5分，20題4分，21--25題每題5分，26，27題每題6分.
19．（5分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：
如圖，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC邊上取一點P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB邊的垂直平分線，交BC于點P，交AB于點Q；
②連接AP．
請你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊含的數(shù)學(xué)依據(jù)：
∵PQ是AB的垂直平分線
∴AP＝ BP ，（依據(jù)： 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等 ）；
∴∠ABC＝ ∠BAP ，（依據(jù)： 等邊對等角 ）．
∴∠APC＝2∠ABC．
【分析】作AB的垂直平分線交BC于P點，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP＝BP，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠BAP，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠APC＝2∠ABC．
【解答】解：如圖，點P為所作；
理由如下：
∵PQ是AB的垂直平分線
∴AP＝BP，（依據(jù)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；
∴∠ABC＝∠BAP，（依據(jù)：等邊對等角）．
∴∠APC＝2∠ABC．
故答案為BP，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；∠BAP，等邊對等角．
【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
20．（4分）點D為△ABC的邊BC的延長線上的一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度數(shù)．
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠B+∠A．欲求∠ACD，需求∠B．由DF⊥AB，得∠AFD＝90°．由∠AFD＝∠B+∠D，得∠B＝∠AFD﹣∠D＝50°．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠AFD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°．
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+35°＝85°．
【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、垂直，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、垂直的定義是解決本題的關(guān)鍵．
21．（5分）已知：如圖，F(xiàn)，C是AD上的兩點，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．
求證：BC＝EF．
【分析】證△ABC≌△DEF（SAS），即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)，證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）已知：如圖，C是線段AB的中點，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BCD．
求證：AD＝BE．
【分析】根據(jù)題意得出∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，進(jìn)而得出△ADC≌△BEC即可得出答案．
【解答】證明：∵C是線段AB的中點，
∴AC＝BC．
∵∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（ASA）．
∴AD＝BE．
【點評】本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
23．（5分）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．
（1）求證：AE⊥CF；
（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度數(shù)．
【分析】（1）由HL證明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可解決問題；
（2）由等腰直角三角形得出∠ACB＝45°，證明∠BAE＝∠BCF＝25°，即可解決問題．
【解答】（1）證明：延長AE交CF于點H，如圖所示：
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE與Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF，
∵∠F+∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠F＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∴AE⊥CF；
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝25°，
∴∠ACF＝45°+25°＝70°．
【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
24．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫出△AOB關(guān)于y軸對稱的△A1OB1，并直接寫出點A1和點B1的坐標(biāo)；（不寫畫法，保留畫圖痕跡）
（2）求△A1OB1的面積．
【分析】（1）利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到點A1和點B1的坐標(biāo)，然后描點即可；
（2）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△A1OB1的面積．
【解答】解：（1）如圖，△A1OB1為所作；A1（1，2），B1（﹣2，1）；
（2）△A1OB1的面積＝3×2﹣×1×2﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．
25．（5分）如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）．
【分析】（1）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BDE＝∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠A＝∠BDC，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠A，∠ACD+∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC．
【點評】此題主要考查了基本作圖，以及平行線的判定，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握同位角相等兩直線平行．
26．（6分）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一點，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠CAP＝20°，則∠AMQ＝ 65 °．
（2）判斷AP與QM的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝45°，則∠PAB＝25°，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）連接AQ，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AP＝AQ，則∠QAC＝∠PAC．再證∠QMA＝∠MQB+45°，∠QAM＝∠QAC+45°，然后證∠BQM＝∠PAC，得∠QMA＝∠QAM，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠B＝45°．
∵∠CAP＝20°，
∴∠PAB＝25°．
∵QH⊥AP于點H，
∴∠AHM＝90°．
∴∠AMQ＝90°﹣∠PAB＝90°﹣25°＝65°，
故答案為：65．
（2）解：AP＝QM，證明如下：
連接AQ，如圖所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥PQ．
又∵CQ＝CP，
∴AP＝AQ．
∵AC⊥PQ，
∴∠QAC＝∠PAC．
∵∠QMA＝∠MQB+∠B，
∴∠QMA＝∠MQB+45°．
∵∠QAM＝∠QAC+∠CAB，
∴∠QAM＝∠QAC+45°．
∵AC⊥PQ，AP⊥MQ，
∴∠BQM＝∠PAC．
∵∠QAC＝∠PAC，
∴∠QAC＝∠MQB．
∴∠QMA＝∠QAM．
∴AP＝QM．
【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明∠QMA＝∠QAM是解題的關(guān)鍵．
27．（6分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC的延長線上，M是BD的中點，E是射線CA上一動點，且CE＝CD，連接AD，作DF⊥AD，DF交EM延長線于點F．
（1）如圖1，當(dāng)點E在CA上時，填空：AD ＝ DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如圖2，當(dāng)點E在CA的延長線上時，請根據(jù)題意將圖形補全，判斷AD與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）連接BE，先證△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠EBM＝∠DAC，再證△EBM≌△FDM（ASA），得BE＝DF，即可得出結(jié)論；
（2）連接BE，先證△ACD和△BCE（SAS），得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，再證△BME≌△DMF（ASA），得BE＝DF，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）AD＝DF，理由如下：
連接BE，如圖1所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠EBM＝∠DAC，
∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠FDM+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠FDM，
∴∠EBM＝∠FDM，
∵M(jìn)是BD的中點，
∴BM＝DM，
在△EBM和△FDM中，
，
∴△EBM≌△FDM（ASA），
∴BE＝DF，
∴AD＝DF，
故答案為：＝；
（2）根據(jù)題意將圖形補全，如圖2所示：
AD與DF的數(shù)量關(guān)系：AD＝DF，證明如下：
連接BE，
∵∠ACB＝90°，點D在BC的延長線上，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠ACB＝90°，DF⊥AD，
∴∠BEC+∠MBE＝∠ADC+∠MDF＝90°，
∴∠MBE＝∠MDF，
∵M(jìn)是BD的中點，
∴MB＝MD，
在△BME和△DMF中，
，
∴△BME≌△DMF（ASA），
∴BE＝DF，
∴AD＝DF．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
附加題
28．定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠BAC+∠DAE＝180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．
（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”．
①如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝ DE；
②如圖3，當(dāng)∠BAC＝120°，ED＝6時，AM的長為 2 ．
（2）猜想論證：
在圖1中，當(dāng)∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
（3）拓展應(yīng)用
如圖4，在四邊形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝，在四邊形ABCD的內(nèi)部找到點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”．并回答下列問題．
①請在圖中標(biāo)出點P的位置，并描述出該點的位置為 點P是線段BC的垂直平分線與AC的交點， ；
②直接寫出△PBC的“頂心距”的長為 ．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AM＝BM＝CM＝BC，由全等三角形性質(zhì)可得BC＝DE，即可求解；
②由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；
（2）過點A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAN＝∠DAE，ND＝DE，由全等三角形的性質(zhì)可得ND＝AM，則可得結(jié)論；
（3）①由“頂補等腰三角形”定義可求解；
②由“頂心距”的定義可求解．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠DAE＝180°
∴∠DAE＝∠BAC＝90°
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC
∴AM＝BM＝CM＝BC
∵AB＝AC＝AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC＝90°
∴△DAE≌△CAB（SAS）
∴BC＝DE，
∴AM＝DE
故答案為：
②∵∠BAC＝120°，∠BAC+∠DAE＝180°
∴∠DAE＝60°，
∵AB＝AC＝AD＝AE，∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠ABM＝30°，△ADE是等邊三角形
∴AB＝2AM，DE＝AD＝AE＝6＝AB，
∴AM＝3
故答案為：3
（2）猜想：結(jié)論AM＝DE．
理由如下：如圖，過點A作AN⊥ED于N
∵AE＝AD，AN⊥ED
∴∠DAN＝∠DAE，ND＝DE
同理可得：∠CAM＝∠CAB，
∵∠DAE+∠CAB＝180°，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，
∵∠CAM+∠C＝90°
∴∠DAN＝∠C，
∵AM⊥BC
∴∠AMC＝∠AND＝90°
在△AND與△AMC中，
∴△AND≌△AMC（AAS），
∴ND＝AM
∴AM＝DE
（3）①如圖，線段BC的垂直平分線交AC于點P，連接DP，BP，
理由如下：∵AD＝AB，CD＝BC，且AC＝AC
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°
∴∠ACB＝60°，AC＝2BC
∵PN垂直平分BC
∴PC＝PB，且∠ACB＝60°
∴△PBC是等邊三角形，
∴AC＝PC，∠BPC＝60°
∴AP＝PC，且∠ADC＝90°
∴AP＝DP
∴△ADP是等腰三角形，∠ADP＝∠DAP＝30°，
∴∠APD＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°
∴△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”．
故答案為：線段BC的垂直平分線交AC于點P，
②如圖，過點P作PH⊥AD于點H，
∵∠DAC＝30°，PH⊥AD，∠ADC＝90°
∴HP＝AP，AC＝2CD＝2
∵AP＝PC
∴AP＝
∴PH＝
∴△PBC的“頂心距”的長為
故答案為：
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解題意，運用“頂補等腰三角形”的定義解決問題是本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:48:05；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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