微專題6　極化恒等式、投影向量極化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].(1)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.(2)在平行四邊形PMQN中，O是對角線交點，則：①·＝[||2－||2](平行四邊形模式)；②·＝||2－||2(三角形模式).類型一　投影向量的應(yīng)用由投影與投影所在的向量共線，問題轉(zhuǎn)化為求向量間的投影數(shù)量與投影所在向量方向上單位向量的積.例1 已知|a|＝4，e為單位向量，它們的夾角為，則向量a在向量e上的投影向量是________；向量e在向量a上的投影向量是________.答案?。?/span>2e?。?/span>a解析　由|a|＝4，e為單位向量，它們的夾角為，向量a在向量e上的投影數(shù)量：|a|cosπ＝－2，向量e在向量a上的投影數(shù)量：|e|cosπ＝－，故向量a在向量e上的投影向量：－2e，向量e在向量a上的投影向量：－×＝－a.訓(xùn)練1 (1)已知向量a與b的夾角為π，且|a|＝2，|b|＝3，則a在b方向上的投影向量與投影向量的長度分別是(　　)A.b，  B.b，－C.－b，  D.－b，－(2)已知向量a＝(1，2)，A(6，4)，B(4，3)，b為向量在向量a上的投影向量，則|b|＝________.答案　(1)D　(2)解析　(1)設(shè)a在b方向上的投影向量為λb(λ∈R)，則a·b＝λb·b，故λ＝＝＝－.故a在b方向上的投影向量為－b，a在b方向上的投影向量的長度為|a| cosπ＝－.(2)＝(－2，－1)，由投影公式可知|b|＝＝＝.類型二　利用極化恒等式求向量的數(shù)量積利用極化恒等式求平面向量數(shù)量積的步驟：(1)取第三邊的中點，連接向量的起點與中點；(2)利用極化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差；(3)求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積的值.注：對于不共起點或不共終點的向量需通過平移轉(zhuǎn)化為共起點(終點)的向量，再利用極化恒等式.例2 (1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點.·＝4，·＝－1，則·的值為________.(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則·＋·＝________.答案　(1)　(2)解析　(1)設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1，聯(lián)立解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝.(2)連接EG，FH交于點O(圖略)，則·＝2－2＝1－＝，·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝.訓(xùn)練2 (1)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則·＝________.(2)如圖，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，點D，E分別在邊AB，AC上，且＝2，＝3，若F為DE的中點，則·的值為________.答案　(1)－16　(2)4解析　(1)因為M是BC的中點，由極化恒等式得·＝||2－||2＝9－×100＝－16.(2)取BD的中點N，連接NF，EB，因AB＝4，AE＝2，∠BAC＝60°，故BE⊥AE，所以BE＝2.在△DEB中，FN綉BE，所以FN＝，故·＝2·＝2＝2(3－1)＝4.類型三　利用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)(1)利用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)時，關(guān)鍵在于取第三邊的中點，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式.(2)難點在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察圖形或用點到直線的距離等求解.例3 (1)如圖，在同一平面內(nèi)，點A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1，3，點B，C分別在m，n上，|＋|＝5，則·的最大值是________.(2)(2022·濟南調(diào)研)在△ABC中，點E，F分別是線段AB，AC的中點，點P在直線EF上，若△ABC的面積為2，則·＋2的最小值為________.答案　(1)　(2)2解析　(1)法一(極化恒等式法)連接BC，取BC的中點D，·＝2－2，又AD＝|＋|＝，故·＝－2＝－2，又因為BCmin＝3－1＝2，所以(·)max＝.法二(坐標(biāo)法)以直線n為x軸，過點A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖，則A(0，3)，C(c，0)，B(b，2)，則＝(b，－1)，＝(c，－3)從而(b＋c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9，又·＝bc＋3≤＋3＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立.(2)取BC中點O，·＝2－2?·＋2＝2＋2≥2＝||||，當(dāng)且僅當(dāng)PO＝BC時等號成立.∵PO≥h，∴||||≥h||＝S△ABC＝2，∴·＋2的最小值為2.訓(xùn)練3 (1)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，·的取值范圍是________.(2)如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則·的最大值是________.答案　(1)[0，2]　(2)2解析　(1)由正方體的棱長為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2.當(dāng)弦MN的長度最大時，MN為球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則·＝2－2＝|2|－1.由于P為正方體表面上的動點，故|OP|∈[1，]，所以·∈[0，2].(2)如圖，取BC的中點M，AD的中點N，連接MN，ON，則·＝2－＝||2－.因為OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，當(dāng)且僅當(dāng)O，N，M三點共線時取等號.所以·的最大值為2.一、基本技能練1.設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b等于(　　)A.1  B.2  C.3  D.4答案　A解析　由極化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1.2.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，則·＝(　　)A.－9  B.21  C.－21  D.9答案　D解析　·＝||2－||2＝－7，∴||2＝16，·＝||2－||2＝25－16＝9.3.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則·＝(　　)A.－  B.－  C.－  D.－答案　B解析　∵＝2，圓O的半徑為1，∴||＝.法一　·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝＋0－1＝－.法二　由極化恒等式得·＝2－2＝－1＝－.4.已知正方形ABCD的面積為2，點P在邊AB上，則·的最大值是(　　)A.  B.2  C.  D.答案　B解析　如圖所示，取CD的中點E，連接PE，由極化恒等式可得·＝2－2＝||2－，所以當(dāng)P與A(B)重合時，||＝最大，從而(·)max＝2.5.已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　)A.1  B.2  C.  D.答案　C解析　由極化恒等式(a－c)·(b－c)＝[(a＋b－2c)2－(a－b)2]，∵(a－c)·(b－c)＝0，所以(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，又因為|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝，于是|c|2≤|a＋b||c|＝|c|，∴|c|≤.6.已知AB為圓x2＋y2＝1的一條直徑，點P為直線x－y＋2＝0上任意一點，則·的最小值為(　　)A.1  B.  C.2  D.2答案　A解析　如圖所示，由極化恒等式易知，當(dāng)OP與直線x－y＋2＝0垂直時，·有最小值，即·＝2－2＝()2－12＝1.故選A.7.已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點，P是圓O所在平面上任意一點，則(＋)·的最小值為(　　)A.－  B.－  C.－  D.－1答案　C解析　∵＋＝2，∴(＋)·＝2·，取OC中點D(圖略)，由極化恒等式得，·＝||2－||2＝||2－，又||＝0，∴(＋)·的最小值為－.8.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·(＋)的最小值為(　　)A.－2  B.－  C.－  D.－1答案　B解析　取BC的中點D，連接AD，PD，取AD的中點E，連接PE.由△ABC是邊長為2的等邊三角形，E為中線AD的中點得AE＝AD＝，則·(＋)＝2·＝2(||2－||2)＝2≥2×＝－，當(dāng)且僅當(dāng)||＝0時，取等號，∴·(＋)的最小值為－.9.已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________.答案　1解析　取AE中點O，設(shè)AE＝x(0≤x≤1)，則AO＝x，∴·＝||2－|AE|2＝12＋－x2＝1.10.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，A＝120°，動點P在以C為圓心，2為半徑的圓上，則·的最小值為________.答案　16解析　設(shè)AB的中點為M，則·＝2－2＝||2－9，所以要求·的最小值，只需求||的最小值，顯然當(dāng)點P為線段MC與圓的交點時，||取得最小值，最小值為|MC|－2.在△AMC中，由余弦定理得|MC|2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC|＝7，所以||的最小值為5，則·的最小值為16.11.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且MN＝，則·的取值范圍是________.答案　解析　取MN的中點為P，由極化恒等式得·＝||2－|MN|2＝||2－.當(dāng)P為AB的中點時，||取最小值為，則·的最小值為；當(dāng)M與A(或N與B)重合時，||取最大值為，則·的最大值為2，所以·的取值范圍是.12.已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB＝8，CD＝6，則·的取值范圍是________.答案　[－9，0]解析　如圖，取CD的中點G，連接OG，MO，CO，得OG⊥CD，·＝||2－||2＝||2－16，∵||≥||≥||，∴≤||≤4，∴·∈[－9，0].二、創(chuàng)新拓展練13.若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　)A.2  B.3  C.6  D.8答案　C解析　如圖，由已知OF＝1，取FO中點E，連接PE，由極化恒等式得：·＝||2－||2＝||2－，∵當(dāng)P在橢圓右頂點時，||2有最大值，||＝，∴·的最大值為6.14.(多選)(2022·蘇北四市調(diào)研)已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則(　　)A.·＝2－2   B.存在點P，使||<||C.·＝0   D.AC＝BC答案　AD解析　如圖所示，取BC的中點D，連接PD，根據(jù)向量的極化恒等式，有·＝2－2，·＝2－2.又·≥·，所以||≥||，A正確；B錯誤；故由點P為邊AB上任意一點知：點D到邊AB上點的距離的最小值為||，從而DP0⊥AB，∴·≠0，C錯誤；取AB的中點E，則由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正確.15.(2022·寧波模擬)AB為⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一條弦，|AB|＝6，若點P為⊙C上一動點，則·的取值范圍是(　　)A.[0，100]  B.[－12，48]C.[－9，64]  D.[－8，72]答案　D解析　如圖，取AB中點為Q，連接PQ.∴＋＝2，－＝，∴·＝[(＋)2－(－)2]＝(4||2－||2).又∵||＝6，|CQ|＝＝4，∴·＝||2－9，∵點P為⊙C上一動點，∴|PQ|max＝5＋|CQ|＝9，|PQ|min＝5－|CQ|＝1，∴·的取值范圍為[－8，72].16.在半徑為1的扇形中，∠AOB＝60°，C為弧上的動點，AB與OC交于P，則·的最小值為________.答案　－解析　取OB的中點D，作DE⊥AB于點E，連接PD，則·＝||2－||2＝||2－，易知||∈＝，則·＝2－∈，故所求最小值為－.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∠ABC＝90°，則·的最大值為________.答案　1解析　取CD的中點E，連接EA，EB，∵AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∴AE⊥CD，DE＝ADsin 60°＝，由∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A，B，C，E四點共圓，且AC為直徑，則·＝||2－||2＝||2－()2≤||2－3＝22－3＝1，所以·的最大值為1.18.(2022·金麗衢12校聯(lián)考)已知平面向量a，b，c，d滿足|a|＝|b|＝2，a·b＝0，|b＋2c|＝2，若(d－a)·(d＋2b)≤4，則|c＋d|的取值范圍為________.答案　[0，＋4]解析　如圖，因為|a|＝|b|＝2，a·b＝0，所以不妨設(shè)a＝＝(2，0)，b＝＝(0，2).設(shè)c＝，d＝.因為|b＋2c|＝2，即＝1，所以可知點C在以(0，－1)為圓心，1為半徑的圓上.設(shè)E(0，－4)，M為AE的中點，由(d－a)·(d＋2b)＝·＝2－2＝2－5≤4，可得點D在以M(1，－2)為圓心，3為半徑的圓內(nèi)(包含邊界)，所以|c＋d|＝|d－(－c)|＝|－|＝||∈[0，＋4].  

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