九年級數(shù)學(xué)試題
一、單選題（每小題3分，共30分）
1. 下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. ﹣1B. 0C. ﹣D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先通過負數(shù)、0和正數(shù)之間的關(guān)系，將比較范圍縮小到兩個負數(shù)之間，再比較兩個負數(shù)的絕對值，得到絕對值較大的數(shù)最小即可．
【詳解】解：∵負數(shù)小于0，0小于正數(shù)；
∴只需判斷和的大小即可；
∵，
∴，
∴最小的數(shù)是，
故選：C．
【點睛】本題考查了正數(shù)、0和負數(shù)之間的大小關(guān)系以及如何比較兩個負數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是要牢記比較法則“兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小”即可．
2. 2023年2月16日交通運輸部發(fā)布信息，為期40天的春運于2月15日收官，全國營業(yè)性客運量約億人次比2022年同期增長50.5%，數(shù)據(jù)“億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：數(shù)據(jù)“億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為．
故選：C．
【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別根據(jù)合并同類項、完全平方公式、單項式的乘法法則進行計算即可．
【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項符合題意；
D、，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】合并同類項、完全平方公式、單項式的乘法是本題的考點，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖是幾個相同的小立方塊所搭的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知條件可知，主視圖有3列，每列小立方塊數(shù)目分別為3，2，2，從而可以確定答案．
【詳解】解：從正面看，最左面一列能看到3個小立方塊，中間一列能看到2個小立方塊，最右面一列能看到2個小立方塊．
即主視圖為：
故選：B．
【點睛】本題考查幾何體的三視圖，滲透了數(shù)學(xué)學(xué)科空間觀念的核心素養(yǎng)．
5. 如圖，直線，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)求出結(jié)果即可．
詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
6. 小明得到數(shù)學(xué)課外興趣小組成員的年齡情況統(tǒng)計如下表，那么對于不同的值，則下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生變化的是（ ）
A. 平均數(shù)、方差B. 中位數(shù)、方差C. 平均數(shù)、中位數(shù)D. 眾數(shù)、中位數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．
【詳解】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x＋10?x＝10，
則總?cè)藬?shù)為：2＋15＋10＝27，
故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為14歲，
即對于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，
故選：D．
【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關(guān)鍵．
7. 若事件“關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根”是必然事件，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴且，
解得：且．
故選：C．
【點睛】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．掌握一元二次方程的定義和根的判別式是解題的關(guān)鍵．
8. 明代程大位有一首類似二元一次方程組的飲酒數(shù)學(xué)詩，現(xiàn)進行了變式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他們總共飲下16瓶酒．試問：其中好酒、薄酒分別是多少瓶?設(shè)有好酒瓶，薄酒瓶。依題意，可列方程組為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他們總共飲下16瓶酒”，分別得出等式求出答案．
【詳解】解：設(shè)有好酒瓶，薄酒瓶，依題意得：．
故選：B．
【點睛】本題考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9. 如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線．若，為邊的中點，為射線上一動點，則的最小值為（ ）
A. 3B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得，CG為的角平分線，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，繼而得到CG垂直平分AA1，則A1為點A關(guān)于CG的對稱點，連接A1D，交CG于點E，此時最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可．
【詳解】
由題意得，CG為的角平分線，
在CB上截取CA1=CA，
，
是等腰直角三角形，
，即CG垂直平分AA1，
A1為點A關(guān)于CG的對稱點，
連接A1D，交CG于點E，
，
此時最小，即A1D的值，
，為邊的中點，
，
，
即，
故選：B．
【點睛】本題考查了角平分線的定義、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
10. 在平面直角坐標系中，菱形位置如圖所示，其中點的坐標為，第1次將菱形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，同時擴大為原來的2倍得到菱形（即，第2次將菱形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，同時擴大為原來的2倍得到菱形（即，第3次將菱形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，同時擴大為原來的2倍得到菱形（即依次類推，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)以及規(guī)律型等知識．由題意得的坐標為，同理的坐標為，即，的坐標為，即， 的坐標為，即， ，再由，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：點的坐標為，第1次將菱形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，同時擴大為原來的2倍得到菱形（即，
的坐標為，
同理：的坐標為，即，
的坐標為，即，
坐標為，即，
，
，
點的坐標為，
故選：A．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 請寫出一個當時，隨的增大而減小的函數(shù)表達式：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】考慮該函數(shù)為一次函數(shù)的情形，求解即可．
【詳解】若該函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的表達式為，
∵當時，隨的增大而減小，
∴只要保證即可，
∴（答案不唯一）；
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．
12. 不等式組的最大整數(shù)解為_____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先分別求出每一個不等式的解集，得出不等式組的解集，進一步得出最大整數(shù)解即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式組的解集為，
最大整數(shù)解為1．
故答案為：1．
【點睛】此題考查求不等式組的整數(shù)解，求出不等式組的解集是解決問題的關(guān)鍵．
13. 將標有“中”“華”“崛”“起”的四個小球裝在一個不透明的口袋中（每個小球上僅標一個漢字），這些小球除所標漢字不同外，其余均相同．從中隨機摸出兩個球，則摸到的球上的漢字可以組成“中華”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)題意列舉出所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式進行計算即可．
【詳解】從不透明口袋中隨機摸出兩個球，共有種等可能的結(jié)果：中華，中崛，中起，華崛，華起，崛起，其中摸到的球上的漢字可以組成“中華”的結(jié)果有1種，
∴摸到的球上的漢字可以組成“中華”的概率是，
故答案為．
【點睛】本題主要考查等可能情形下的概率計算，能夠準確地用畫出樹狀圖或列舉法表示出所有等可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，點B、C在上，邊AB、AC分別交于D、E兩點﹐點B是的中點，則∠ABE=__________．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，連接 先證明再證明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中兩銳角互余可得：再解方程可得答案．
【詳解】解：如圖，連接
是的中點，






故答案為：
【點睛】本題考查的是圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握圓周角定理的含義是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖是一張菱形紙片，，，點在邊AD上，且，點在AB邊上，把沿直線對折，點的對應(yīng)點為點，當點落在菱形對角線上時，則_____．
【答案】或．
【解析】
【分析】分情況討論∶①當點落在菱形對角線BD上時，根據(jù)菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)先證明，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進一步求解即可；②當點落在菱形對角線BD上時，根據(jù)菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可知是等邊三角形，可得．
【詳解】解∶分情況討論∶①當點'落在菱形對角線BD上時，如圖所示∶
在菱形中，，，，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
根據(jù)折疊，可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得（舍去）或．
②當點'落在菱形對角線上時，如圖所示∶．
在菱形中，，
∴，
根據(jù)折疊可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
綜上所述，的長為或，
故答案為∶或．
【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，菱形的性質(zhì)， 等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．
三、解答題（本大題共8題，共75分）
16. （1）計算：
（2）化簡：
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】（1）先開立方、算負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪、化簡特殊角的三角函數(shù)值，再進行加減運算即可求解；
（2）先通分，再進行分式的加減運算即可．
【詳解】（1）解：原式
;
（2）解：原式
．
17. 青春是校園生活的主旋律，某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，煥發(fā)青春活力，激勵學(xué)生成長，推動校園文化建設(shè)，開展了一次“美好青春，和諧校園”的校歌比賽，并在九（1）班和九（2）班各隨機抽取了10名同學(xué)參加．
比賽成績收集、整理如下：
九（1）班成績：9 9.5 9 9 8 10 9 8 4 9.5
九（2）班成績：
比賽成績分析：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：________，_______，________；
（2）如果你是評委，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷兩個班中哪個班的校歌歌唱水平比較好？并說明理由．
【答案】（1）8.35，8.5，9
（2）九（1）班歌唱水平比較好，因為九（1）班成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均高于九（2）班．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的求解方法，進行求解即可；
（2）比較兩組數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：，
由表格可知，第5個數(shù)據(jù)和第6個數(shù)據(jù)都是，
∴；
∵數(shù)據(jù)9出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴；
故答案為：8.35，8.5，9
【小問2詳解】
九（1）班歌唱水平比較好，因為九（1）班成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均高于九（2）班．
【點睛】本題考查數(shù)據(jù)分析．熟練掌握平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的計算方法，是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在中，，點O為邊上一點，以為半徑的與相切于點D，分別交邊于點E，F(xiàn)．

（1）求證：平分；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）7.5
【解析】
【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)可知，即可證，得出，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可求出，即平分；
（2）連接，由，，可得出，結(jié)合勾股定理可求出． 又易證，得出，代入數(shù)據(jù)求解即可．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接．
∵是的切線，是的半徑，D是切點，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小問2詳解】
解：如圖，連接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直徑，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．正確連接輔助線是解題關(guān)鍵．
19. 如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC＝12cm．
（1）當PA＝45cm時，求PC的長；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的長．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）27cm （2）34.6cm
【解析】
【分析】（1）連接PO，利用垂直平分線的性質(zhì)得出PA=PO，然后利用勾股定理即可求出PC；
（2）過D點作DE⊥OC于E點，過D點作DF⊥PC于F點，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知DE=FC，DF=EC，分別在Rt△DOE和Rt△PDF中利用勾股定理以及銳角三角函數(shù)即可求出DE、EO，進而求出PF，即可得解．
【小問1詳解】
連接PO，如圖，
∵點D為AO中點，且PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分線，
∴PA=PO=45cm，
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36(cm)，
∴在Rt△POC中，(cm)，
即PC長為27cm；
【小問2詳解】
過D點作DE⊥OC于E點，過D點作DF⊥PC于F點，如圖，
∵PC⊥OC，
∴四邊形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC，
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∵DO=AD=AO=12(cm)，
∴DE===(cm)，EO=DO=6(cm)，
∴FC=DE=cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)，
∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°，
∴∠PDF=90°-60°=30°，
在Rt△PDF中，PF=(cm)，
∴PC=PF+FC=(cm)，
∴PC，
即PC的長度為34.6cm．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，準確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20. 2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，三名航天員平安歸來，神舟十三號任務(wù)取得圓滿成功．飛箭航模店看準商機，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費100元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多5個．
（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？
（2）飛箭航模店計劃購買兩種模型共200個，且每個“神舟”模型的售價為30元，“天宮”模型的售價為15元．設(shè)購買“神舟”模型個，銷售這批模型的利潤為元．
①求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出的取值范圍）；
②若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】（1）“天宮”模型成本為每個10元，“神舟”模型每個20元
（2）①②購進“神舟”模型50個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為1250元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)總數(shù)，設(shè)立未知數(shù)，建立分式方程，即可求解.
（2）①設(shè)“神舟”模型個，則“天宮”模型為個，根據(jù)利潤關(guān)系即可表示w與a的關(guān)系式.
②根據(jù)購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的，即可找到a的取值范圍，利用一次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
解：設(shè)“天宮”模型成本為每個元，則“神舟”模型成本為每個元.
依題意得.
解得.
經(jīng)檢驗，是原方程的解.
答：“天宮”模型成本為每個10元，“神舟”模型每個20元；
【小問2詳解】
解：①“神舟”模型個，則“天宮”模型為個.
.
②購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的.
.
解得：.
.
.
.
即：購進“神舟”模型50個時，銷售這批模型可以獲得利潤.最大利潤為1250元.
【點睛】本題考查了分式方程、一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，建立方程，不等式，函數(shù)模型.
21. 如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于第二象限的點、點，與軸交于點，其中點的坐標為，點的到軸的距離為．
（1）試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點關(guān)于直線的對稱點（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）點，，與（2）中的點，組成四邊形．求證：四邊形是菱形．
【答案】（1）
（2）圖見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，可以推得直線是線段的垂直平分線，故作圖滿足，的點即為所求；
（3）連接，，根據(jù)點到原點的距離公式可求得，結(jié)合題意求得點的坐標為，根據(jù)點到原點的距離公式可求得，推得，結(jié)合（2）中結(jié)論，根據(jù)菱形的判定即可證明．
【小問1詳解】
解：∵反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點、點，
故將點的坐標代入反比例函數(shù)得：，
解得：，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為．
【小問2詳解】
解：點關(guān)于直線的對稱點，如圖：
作法：以點為圓心，的長為半徑，畫?。稽c為圓心，的長為半徑，畫??；兩弧交于點，即為所求．
理由：連接，，，如圖：

∵，
∴點在線段的垂直平分線上，
同理點也在線段的垂直平分線上，
∴點與點所在的直線垂直平分線段，
即垂直平分，
故點與點關(guān)于直線對稱，
即點與點關(guān)于直線對稱．
【小問3詳解】
解：連接，，如圖：
∵點的坐標為，
∴，
∵點在第二象限且到軸的距離為，
∴，
將代入反比例函數(shù)得，
解得：，
∴；
∴，
∴，
由（2）可得，，
即，
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，坐標中的點到原點的距離公式，菱形的判定等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理證得直線是線段的垂直平分線．
22. 在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點和點B，點B為二次函數(shù)圖象的頂點．
（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集；
（3）點M為二次函數(shù)圖象上的一個動點，且點M的橫坐標為m，將點M向右平移1個單位長度得到點N．若線段與一次函數(shù)圖象有交點，直接寫出點M橫坐標m的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把點代入，可求出b的值，可得到一次函數(shù)的解析式，再求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，可得點B的坐標，再把點A，B的坐標代入二次函數(shù)的解析式，即可求解；
（2）直接觀察圖象，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得點M的坐標為，點N的坐標為，
當點N位于一次函數(shù)的圖象上時，可得或，當點M位于一次函數(shù)的圖象上時，由（1）得：或1，再結(jié)合圖象，即可求解．
【小問1詳解】
解：把點代入得：
，解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線，
把代入得：
，
∴點B的坐標為，
把點，代入得：
，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：觀察圖象得：當時，二次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的上方，
∴不等式的解集為；
【小問3詳解】
解：∵點M的橫坐標為m，
∴點M的坐標為，
∵點M向右平移1個單位長度得到點N，
∴點N的坐標為，
當點N位于一次函數(shù)圖象上時，有
，
解得：或，
當點M位于一次函數(shù)的圖象上時，
由（1）得：或1，
結(jié)合圖象得：若線段與一次函數(shù)圖象有交點，點M橫坐標m的取值范圍為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
23. 已知點C為和的公共頂點，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：
（1）如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；
類比探究：
（2）如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當點B，D，E三點共線時，請直接寫出的長．
【答案】（1），
（2）①不成立，；②成立，理由見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）延長交的延長線于點．由等邊三角形的性質(zhì)可得出，，，進而可求出，即可證，從而得出結(jié)論．再根據(jù)，即得出直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；
（2）由題意易證，得出，，進而可證，得出，，即．由（1）同理可證直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；
（3）分類討論：當點落在線段上時和當點落在線段上時，分別畫出圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可解答．
【小問1詳解】
解：如圖1，延長交的延長線于點．
和都是等邊三角形，
，，，
，
，
，．
∵，
．
綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是．
故答案為：，；
【小問2詳解】
①不成立，；②成立．
理由：如圖2，延長交的延長線于點．
，，
∴，
，，
，
，，
．
∵，
．
綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；
【小問3詳解】
的長為或．
如圖3，當點落在線段上時．
，，，
，，
，．
，
，
；
如圖4，當點落在線段上時，同理可得．
綜上所述，的長為或．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識．正確作出輔助線構(gòu)造全等或相似三角形是解題關(guān)鍵．
年齡（歲）
13
14
15
16
人數(shù)（人）
2
15
成績
6
8
8.5
9
9.5
10
人數(shù)
2
1
3
1
2
1
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
九（1）班
8.5
9
c
九（2）班
a
b
8.5

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