山西省長治市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(本試題滿分120分考試時間120分鐘)
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．
2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效．
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上．
4．考試結(jié)束后，只收答題卡．
第Ⅰ卷選擇題(共30分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每個小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求)
1. 下列各點中，位于第一象限的點是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】第一象限的點橫、縱坐標(biāo)均為正數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：位于第一象限的點對應(yīng)的數(shù)都是正數(shù)，
∴位于第一象限點是，
故選：．
【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系象限的特點，掌握平面直角坐標(biāo)系中各象限中符號的特點是解題的關(guān)鍵．
2. 國際學(xué)術(shù)期刊《自然》在2024年5月30日發(fā)表了我國生物專家朱家鵬教授及其團(tuán)隊研究成果，團(tuán)隊突破“蛋白質(zhì)純化”這一傳統(tǒng)概念，直接對線粒體成像，獲得了迄今為止最清晰、最接近真實生理狀態(tài)的線粒體原位膜蛋白高分辨率三維解析結(jié)構(gòu)，局部分辨率最高達(dá)0.00000000018米，其中0.00000000018用科學(xué)計算法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，一般形式為，其中，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】解：，
故選D．
3. 下列分式是最簡分式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了最簡分式，根據(jù)最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式，叫最簡分式，進(jìn)行判斷即可求解，掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．分子分母中含有公因式，不是最簡分式，該選項不合題意；
．分子分母中不含公因式，是最簡分式，該選項符合題意；
．分子分母中含有公因式，不是最簡分式，該選項不合題意；
．分子分母中含有公因式，不是最簡分式，該選項不合題意；
故選：．
4. 數(shù)學(xué)活動課上，已知，惠卓圖同學(xué)利用尺規(guī)作圖找一點，使得四邊形為平行四邊形，以下是其作圖過程：（）作；（）以點為圓心，長為半徑作弧交與點；（）連接CD，則四邊形即為所求．在上述做圖中，可直接判定四邊形為平行四邊形的依據(jù)是（）
A. 兩組對邊分別平行B. 兩組對邊分別相等
C. 對角線互相平分D. 一組對邊平行且相等
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，由題意可得，，進(jìn)而可得，，根據(jù)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解，掌握平行四邊形的的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，，
∵，
∴，
∵，，
∴根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，
故選：．
5. 下列選項中，不是函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義：自變量每取一個值，都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則叫的函數(shù)，據(jù)此即可得判斷求解，掌握函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、自變量每取一個值，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，
∴是函數(shù)，該選項不合題意；
、自變量每取一個值，有兩個值和它對應(yīng)，
∴不是函數(shù)，該選項符合題意；
、自變量每取一個值，都有唯一確定值和它對應(yīng)，
∴是函數(shù)，該選項不合題意；
、自變量每取一個值，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，
∴是函數(shù)，該選項不合題意；
故選：．
6. 我們在學(xué)習(xí)華東師大版八年級下冊“圖形與幾何”部分內(nèi)容時，先學(xué)平行四邊形，再學(xué)矩形、菱形，最后學(xué)正方形，這種學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）
A. 轉(zhuǎn)化思想B. 由一般到特殊的思想
C. 數(shù)形結(jié)合思想D. 統(tǒng)計思想
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，主要表現(xiàn)一般到特殊，數(shù)形結(jié)合思想，模型思想，分類討論等．根據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力逐漸的提高，提出共識找出特殊即可掌握數(shù)學(xué)思想．
【詳解】解：學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)的過程，在學(xué)習(xí)過程中從一般人手找出共性，然后針對一些特殊圖形進(jìn)行研究，這種研究方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為一般到特殊．
故選：B．
7. 如圖，點A、B是反比例函數(shù) 圖象上任意兩點，且軸于點D，軸于點C，和面積之和為6，則k的值為（）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，用含k的式子表示出和面積之和，即可求解．
【詳解】解：點A、B是反比例函數(shù)圖象上任意兩點，
設(shè)，，
軸于點D，軸于點C，
，，，，
和面積之和為6，
，
，
故選A．
8. 如圖，正方形的邊長為3，點E為上的一點，且滿足，連接，過點A作的垂線交于點F，連接．則的長為（）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．由“”可證，可得，由勾股定理可求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
9. 如圖，點是正方形邊上一動點，沿著的方向運動，在運動過程中，設(shè)點運動的路程為，則能表示與的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了動點問題的一次函數(shù)圖象，設(shè)正方形的邊長為，分別求出點在邊上、點在邊和點在邊上時與的函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖形的變化情況即可求解，運用分類討論思想正確求出與的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，
當(dāng)點在邊上時，，為正比例函數(shù)，隨的增大而增大；
當(dāng)點在邊上時，，為一次函數(shù)，隨的增大而減??；
當(dāng)點在邊上時，，為一次函數(shù)，隨的增大而增大；
綜上，隨先增大而增大，再增大而減小，最后又增大而增大，
故選：．
10. 如圖，點F是矩形的邊上一點，連結(jié)，作于點E，且滿足，則下列結(jié)論中①，②，③，④，正確的個數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，證明可得，可證②；證明，推出，，可證③，④．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
，
故②正確；
，，
，
在和中，，
，
，，
，
故③，④正確；
現(xiàn)有條件不能證明，故①錯誤，
綜上可知，正確的有②，③，④，共3個，
故選C．
第11卷非選擇題 (共90分)
二、填空題(本大題共5個小題，每個小題3分，共15分)
11. 使得分式值為0的條件是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的值為0的條件．根據(jù)分式的值為0的條件，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：且，
解得：．
故答案為：
12. 智淵班在期末評選“新時代好少年”活動中，綜合成績是由模范事跡、期末評定和勞動實踐三項得分按的比例計算所得，善思同學(xué)本學(xué)期三項成績分別是95分、91分和90分，則他在此項活動中的得分是___________分．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了求加權(quán)平均數(shù)．利用加權(quán)平均數(shù)的公式計算，即可求解．
【詳解】解：分．
即他在此項活動中的得分是分．
故答案為：
13. 如圖，將一張矩形紙片對折再對折，然后沿圖中的虛線AB剪下，已知，再將剪下的紙片展開，則得到一個新的四邊形，它的面積是________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出對角線的長度，再根據(jù)菱形的面積計算公式計算即可求解，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可知，所得四邊形的對角線互相垂直且平分，
∴得到的新的四邊形為菱形，其邊長，為對角線的一半，
∵，，
∴，
∴菱形的對角線長分別為和，
∴它的面積為，
故答案為：．
14. 如圖，把矩形沿折疊，使點和重合，點與點重合，若，，求CF的長______．
【答案】##5厘米
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，由矩形和折疊可得，，，設(shè)，則，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
由折疊可得，，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
15. 已知，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，點也在這條直線上且橫坐標(biāo)為，點是軸上一個動點，點在直線上，以點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點的坐標(biāo)______．
【答案】：或
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點坐標(biāo)，由一次函數(shù)中，求出，，設(shè)，，然后分當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，情況即可求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由一次函數(shù)中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴，，
∵點是軸上一個動點，點在直線上，
∴設(shè)，，
∵以點為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴如圖，當(dāng)為對角線時，
設(shè)交于點，
∴點在上，
∴即，
∴，，解得：，
∴；
如圖，當(dāng)為對角線時，
∴，，解得，
∴，
如圖，當(dāng)為對角線時，
∴，，解得，
∴，
此時點共線，不符合題意；
綜上點或，
故答案為：或．
三、解答題(本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16. （1）計算：
（2）下面是聰聰同學(xué)解分式方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)：
解：
方程變形得：………………第一步
去分母得：………………第二步
去括號得：………………第三步
移項得：………………第四步
合并同類項得：………………第五步
未知數(shù)的系數(shù)化為1得：………………第六步
任務(wù)：
任務(wù)一：為了計算簡便，第一步方程變形的依據(jù)是___________；
任務(wù)二：上述解題過程中應(yīng)用到“等式基本性質(zhì)2”的步驟有哪兩步？
任務(wù)三：聰聰這道題沒有得滿分的原因是什么？請你寫出此題的正確答案．
【答案】（1）；（2）任務(wù)一：分式的基本性質(zhì)；任務(wù)二：第二步和第六步；任務(wù)三：沒有對根進(jìn)行檢驗，無解
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪計算即可；
（2）任務(wù)一：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母同時乘以或除以相同的不為0的數(shù)，分式值不變；任務(wù)二：理解“等式基本性質(zhì)2”是等式兩邊同時乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，等式不變；任務(wù)三：對分式方程求解后需要驗根．
【詳解】解：（1）
；
（2）任務(wù)一：為了計算簡便，第一步方程變形的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，
故答案為：分式的基本性質(zhì)；
任務(wù)二：“等式基本性質(zhì)2”是等式兩邊同時乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，等式不變，
上述解題過程中應(yīng)用到“等式基本性質(zhì)2”的步驟有：第二步和第六步；
任務(wù)三：沒有對根進(jìn)行檢驗，
當(dāng)時，分式無意義，
故方程無解．
17. 如圖，在中，，E是邊上任意一點，連結(jié)，過點B作交的延長線于點F，連結(jié)．
（1）猜想四邊形的形狀，并證明；
（2）若E是邊延長線上任意一點，且，當(dāng)和滿足_____________關(guān)系時，四邊形是正方形．
【答案】（1）四邊形是菱形，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)：
（1）證明，可得，可證得四邊形是平行四邊形，即可；
（2）證明，可得，可證得四邊形是菱形，再由，可得到是等腰直角三角形，從而得到，即可．
【小問1詳解】
解：四邊形是菱形，證明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：，
如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
18. 長治市漳澤湖國家濕地公園是長治的城市后花園,也是三晉大地獨一無二的城市濕地，更是山西省乃至華北地區(qū)湖泊、河流濕地的典型代表．春日的漳澤湖國家城市濕地公園．就像一幅充滿生機與活力的畫卷．為了讓游客有更好的游覽體驗，公園管理人員計劃購進(jìn)白色和粉色兩種郁金香裝飾景點．已知白色郁金香的單價比粉色郁金香的單價高，用600元購買粉色郁金香的朵數(shù)比用864元購買白色郁金香的朵數(shù)少20朵，求白色郁金香和粉色郁金香兩種花的單價各是多少元？
【答案】白色郁金香的單價為元，粉色郁金香的單價為6元
【解析】
【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)粉色郁金香的單價為x元，則白色郁金香的單價為元，根據(jù)所給等量關(guān)系列分式方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)粉色郁金香的單價為x元，則白色郁金香的單價為元，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
．
答：白色郁金香的單價為元，粉色郁金香的單價為6元．
19. 如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于點兩點，點縱坐標(biāo)為．
（1）求點的坐標(biāo)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象，直接寫出滿足不等式的的取值范圍；
（3）將直線向上平移個單位，交軸于點，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求直線AB平移后的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】（1）點的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（）把代入可得點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（）利用對稱性求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；
（）設(shè)，則，根據(jù)的面積為可得，即得，
得到，由直線向上平移個單位后的函數(shù)表達(dá)式為，把代入計算即可求解；
本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，一次函數(shù)的平移，求一次函數(shù)解析式，掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
【小問1詳解】
解：把代入得，，
∴點的坐標(biāo)為，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：∵點是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
∴點關(guān)于原點對稱，
∴，
由圖象可得，當(dāng)或時，；
【小問3詳解】
解：設(shè)，則，
∵的面積為，
∴，
即，
∴，
∴，
將直線向上平移個單位后的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得，
，
∴，
∴直線AB平移后的函數(shù)表達(dá)式為．
20. 為積極參加長治市“太行杯跳繩比賽”，某校從全校學(xué)生中選出40名學(xué)生，隨機平分成甲乙兩個小組進(jìn)行跳繩比賽，根據(jù)測試成績繪制出如下統(tǒng)計圖表．成績均為整數(shù)，滿分為十分(跳繩成績折合成十分制)．
甲組成績統(tǒng)計表
乙組成績條形統(tǒng)計圖
根據(jù)上面的信息，解答下列問題：
（1）______，甲組成績中位數(shù)是______，乙組成績的眾數(shù)是 ______；
（2）有人說乙組成績優(yōu)于甲組成績，你認(rèn)為他們的看法合理嗎？請結(jié)合圖表中的數(shù)據(jù)從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三個量中至少選兩個說明理由；
（3）通過比賽學(xué)校發(fā)現(xiàn)甲乙兩隊水平相當(dāng)，領(lǐng)導(dǎo)從團(tuán)體發(fā)揮更穩(wěn)定角度考慮，想從甲乙兩隊中選一支，你認(rèn)為選______ 隊參加比賽合適．(填“甲”或“乙”)
【答案】（1），，；
（2）合理，理由見解析；
（3）甲．
【解析】
【分析】（）根據(jù)條線統(tǒng)計圖，眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解；
（）求出甲乙兩組的平均數(shù)、中位數(shù)，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)即可判斷求解；
（）求出甲乙兩隊的方差即可求解；
本題考查了統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差，看懂統(tǒng)計圖表是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：由條線統(tǒng)計圖可得，，
∴乙組成績的眾數(shù)是，
由統(tǒng)計表可得，甲組成績中位數(shù)是，
故答案為：，，；
【小問2詳解】
解：合理，理由如下：
甲組成績的平均數(shù)為分，
乙組成績的平均數(shù)為分，
乙組成績中位數(shù)為分，
∵乙組成績的平均數(shù)和中位數(shù)都比甲組成績的更大，
∴乙組成績優(yōu)于甲組成績；
【小問3詳解】
解：，
，
∵，即，
∴甲隊發(fā)揮更穩(wěn)定，應(yīng)選甲隊參加比賽合適，
故答案為：甲．
21. (閱讀與思考)閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．
高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美稱，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，高斯函數(shù)y=x也常應(yīng)用于生活、生產(chǎn)的各個領(lǐng)域，高斯函數(shù)也叫取整函數(shù)，其符號x表示不超過的最大整數(shù)，如：，，．我們規(guī)定函數(shù)．
任務(wù)：
（1）求當(dāng)時，因變量的值______；
（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中補全函數(shù) 的圖象；(先填寫下表，再描點、連線)
（3）根據(jù)作出的函數(shù)圖象寫出函數(shù)值的取值范圍；
（4）根據(jù)作出的函數(shù)圖象寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)．
【答案】（1）；
（2）補全表格、圖象見解析；
（3）；
（4）見解析．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（）根據(jù)定義即可求解；
（）根據(jù)定義填好表格，再根據(jù)表格中的數(shù)值補全函數(shù)圖象即可；
（）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；
（）根據(jù)函數(shù)圖象即可寫出兩條性質(zhì)即可；
本題考查了函數(shù)的新定義，畫一次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，理解函數(shù)的新定義是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：填表如下：
補全函數(shù)圖象如下：
【小問3詳解】
解：由函數(shù)圖象可得，函數(shù)值的取值范圍為；
【小問4詳解】
解：由函數(shù)圖象可得函數(shù)的兩條性質(zhì)：①當(dāng)時，隨的增大而增大；②當(dāng)取整數(shù)時，的值取最小．
22 綜合與實踐
某街道辦事處積極落實國家垃圾分類政策，預(yù)在所轄小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類宣傳版面及分類垃圾箱，旨在提升居民垃圾分類意識與參與度．為評估這一舉措的有效性，并進(jìn)一步優(yōu)化方案，現(xiàn)邀請友誼班同學(xué)作為小小環(huán)保員，運用數(shù)學(xué)知識與方法，研究如何購買這批物資性價比更高．同學(xué)們首先走訪調(diào)查了居民對垃圾分類的了解程度、日常分類行為及對現(xiàn)有宣傳版面、垃圾箱的滿意程度，同時實地記錄各商場和垃圾生產(chǎn)廠家對垃圾箱的定價，得到如下方案：
方案一：從垃圾箱加工廠直接購買，購買所需的費用與垃圾箱個數(shù)(個)滿足如圖①所示的函數(shù)關(guān)系；
方案二：租賃機器自己加工，所需費用(包括租賃機器的費用和生產(chǎn)垃圾箱的費用)與垃圾箱個數(shù)(個)滿足如圖②所示的函數(shù)關(guān)系．
問題解決：
根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）①方案一中每個垃圾箱的價格是______元；
②方案二中租賃機器的費用是______元，生產(chǎn)一個垃圾箱的費用是______元；
（2）請分別求出，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試說明該街道辦事處購買垃圾箱時，選擇哪種方案更優(yōu)惠？
（4）若該街道辦事處購買垃圾分類宣傳版面和垃圾箱共個，購買個垃圾分類宣傳版面的單價是元，個垃圾箱的單價是元，且購買垃圾箱的個數(shù)不多于垃圾分類宣傳版面?zhèn)€數(shù)的倍，問：該街道購買多少個垃圾分類宣傳版面時，所需總費用最少？最少是多少元？
【答案】（1）①；②，50；
（2），；
（3）當(dāng)時，選擇方案一更優(yōu)惠；當(dāng)時，兩種方案一樣；當(dāng)時，方案二優(yōu)惠；
（4）購買個垃圾分類宣傳版面時，所需總費用最少，最少費用為元．
【解析】
【分析】（）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；
（）利用待定系數(shù)法解答即可求解；
（）分三種情況：，和解答即可求解；
（）設(shè)購買垃圾分類宣傳版面，則購買垃圾箱個，所需總費用為元，列出不等式求出的取值范圍，再求出與的一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；
本題查考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，看懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：①由函數(shù)圖象可得，方案一中每個垃圾箱的價格是元，
故答案為：；
②由函數(shù)圖象可得，方案二中租賃機器費用是元，生產(chǎn)一個垃圾箱的費用是元，
故答案為：，50；
【小問2詳解】
解：設(shè)，把代入得，，
∴，
∴，
設(shè)，把和代入得，
，
解得，
∴；
【小問3詳解】
解：當(dāng)，即時，
解得；
當(dāng)，即時，
解得；
當(dāng)，即時，
解得；
∴當(dāng)時，選擇方案一更優(yōu)惠；當(dāng)時，兩種方案一樣；當(dāng)時，方案二優(yōu)惠；
【小問4詳解】
解：設(shè)購買垃圾分類宣傳版面?zhèn)€，則購買垃圾箱個，所需總費用為元，
由題意得，，
解得，
又由題意得，，
∵，
∴當(dāng)時，的值最小，，
即購買個垃圾分類宣傳版面時，所需總費用最少，最少費用為元．
23. 實踐與探究
【問題情境】
數(shù)學(xué)課活動課上，老師提出了一個問題：圖①是華東師大版八年級下冊教材中我們研究過的圖形，正方形的對角線相交于點，點又是另一個正方形．的一個頂點，如果兩個正方形的邊長相等，那么正方形繞點無論怎樣旋轉(zhuǎn)，兩個正方形重疊部分的面積總等于一個正方形面積的四分之一．理由如下：
證明：如圖②，分別作于點，
，
又，
，
又∵ ，
且，
，
，
【初步感知】
（）請你補全以上證明過程；
（）我們知道正方形是中心對稱圖形，受圖①啟發(fā)，成功小組畫出了圖③，直線經(jīng)過正方形的對稱中心，直線分別與交于點，直線分別與交于點，且若正方形的面積是，則四邊形的面積為______；
【深入探究】
（）受圖③的啟發(fā)，探究組做了圖④，若，求四邊形的面積；
【拓展應(yīng)用】
（）如圖④，請寫出線段與BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（）證明見解析；（）；（）；（），理由見解析．
【解析】
【分析】（）根據(jù)題意補全證明過程即可；
（）根據(jù)（）的結(jié)論即可求解；
（）如圖，構(gòu)造正方形，點為正方形對角線的交點，可得，即得，由即可根據(jù)（）的結(jié)論求解；
（）證明可得，即得，在中利用勾股定理即可求解；
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，余角性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（）證明：如圖②，分別作于點，
，
又，
，
又∵ ，
且，
，
∴，
∴，
即正方形繞點無論怎樣旋轉(zhuǎn)，兩個正方形重疊部分的面積總等于一個正方形面積的四分之一；
（）由（）的結(jié)論可得，，
故答案為：；
（）如圖，構(gòu)造正方形，點為正方形對角線的交點，
則，
∴，
∵，
∴，
由（）可得，；
（），理由如下：
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
成績/分
10
人數(shù)/個

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